1.5 三角函数的应用-课件(共34张PPT)-数学北师大版（2024）九年级下册

(共34张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
1.5 三角函数的应用 教学过程
一、教学基本信息
课题：1.5 三角函数的应用；课时：1课时；对象：九年级学生；学情：已掌握解直角三角形方法，需强化“实际问题建模”能力，理解仰角、俯角等概念。
4. 小结与作业（5分钟）：小结：建模关键是构Rt△。作业：测量树顶仰角及水平距，计算树高；教材习题1.5第2题。
1. 情境导入（5分钟）：展示吊车吊货示意图，提问“吊臂长不变，货物升高时角度如何变化？如何求吊臂长度？”引出应用核心——将实际问题转化为直角三角形。
2. 核心概念与方法（15分钟）：讲解仰角（低处看高处，视线与水平线夹角）、俯角（高处看低处），强调二者为内错角时相等。建模步骤：①画示意图；②标已知量（角度、边长）；③构Rt△；④选三角函数计算。
3. 例题与练习（20分钟）：例：吊车吊臂AD长x，货物D高12m，吊臂与水平线夹角53°，初始夹角18°，求x（sin53°≈0.8，sin18°≈0.3）。解：12=x·0.8+x·0.3→x≈10.9m。练习：测得楼顶仰角53°，水平距15m，求楼高（tan53°≈1.33）。
引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
1
解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD = x ，
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD - CD，得
链接中考
1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离.
（ ，结果精确到 0.1 n mile ）
北
东
A
B
C
60°
解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°.
在Rt△BCD 中，
D
D
在Rt△ACD 中，
即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile.
北
东
A
B
C
60°
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
归纳总结
仰角和俯角问题
2
如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高
（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）
想一想
解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.
Rt△ADC 中， .
Rt△BDC 中， .
∴ x = ≈43 ( m ).
∴ AB = AC－BC = .
30°
60°
50 m
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
知识要点
2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物
的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号）
E
解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.
则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC.
设 BE = x .
在Rt△ABE中，∠BAE = 30°，
链接中考
答：这两座建筑物的地面距离
DC 为 .
E
利用坡角解决实际问题
3
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).
A
D
C
B
40°
35°
4 m
？
A
D
C
B
40
35
4 m
？
解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.
Rt△ACD 中，
∴ AD = 4sin40°.
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
知识要点
链接中考
3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°，
∠β = 30°，求 BC 的长.
解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形 AEFD 是矩形.
∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m.
∵∠α = 45°，∠β = 30°，
∴BE = AE = 6m，
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24
米，那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米
B
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛
的北偏西 40° 方向，则从 C 岛
看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °．
90
3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树
15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高
度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米).
A
D
B
E
C
20.9 米
4. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC ＝ PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.8
在Rt△BPC 中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．
65°
34°
P
B
C
A
45°
30°
O
B
A
200 米
5. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P
点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和
45°，求飞机的高度 PO.
P
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.
C
则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．
∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° =
∴ AC = 米．∴ PO = BC = 米.
6. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．
解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．
由题意可知 DE＝CF＝4(米)，
　 CD＝EF＝12(米)．
在 Rt△ADE 中，
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
返回
D
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(　　)
A．35 n mile
B．35cos 37° n mile
C．35tan 37° n mile
D．35sin 37° n mile
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2.
[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________.
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3.
82.0
如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．
4.
(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，
cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
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5.
[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________.
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6.
30°
8
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7.
[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)
44 m
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8.
如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.
谢谢观看！