2.2.1 二次函数y＝±x^2的图象与性质-课件(共30张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共30张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.2.1 二次函数y＝±x 的图象与性质
① 一次函数 y = kx + b (k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
2.2.1 二次函数y＝±x 的图象与性质 教学过程幻灯片分页内容
第1页：情境导入——回顾旧知，聚焦新探究
1. 回顾旧知：上节课我们认识了二次函数的定义，形如y=ax +bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数是二次函数。其中最简形式是y=ax （b=0，c=0），今天我们重点探究a=1和a=-1时的情况，即y=x 和y=-x 的图象与性质。
2. 生活联想：展示投篮上升再下落的轨迹、抛物线形拱桥的正反面视图，提问：这些曲线的形状有什么关联？能否用我们即将探究的函数描述？
3. 引出课题：今天我们深入学习——二次函数y＝±x 的图象与性质
第2页：探究新知1——用描点法绘制y=x 的图象
【回顾描点法步骤】：列表→描点→连线（光滑曲线）
1. 列表：自变量x可取任意实数，为方便绘制，选取关于原点对称的x值，计算对应y值：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| y | ... | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... |
2. 描点：在平面直角坐标系中，准确描出各对应点（-3,9）、（-2,4）、（-1,1）、（0,0）、（1,1）、（2,4）、（3,9）...
3. 连线：用平滑的曲线从左到右顺次连接各点，注意图象向两端无限延伸，得到的曲线叫做抛物线。
第3页：探究新知2——归纳y=x 的图象性质
【小组讨论】观察y=x 的图象，思考并交流以下问题：
1. 图象的开口方向是什么？（向上）
2. 图象是否是轴对称图形？若是，对称轴是什么？（是，对称轴为y轴，即直线x=0）
3. 图象的顶点在哪里？这个点是图象的最高点还是最低点？（顶点为(0,0)，是图象的最低点）
4. 增减性：当x<0时，y随x的增大而如何变化？当x>0时，y随x的增大而如何变化？（x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大）
5. 最值：当x取何值时，y有最值？最值是多少？（x=0时，y有最小值0）
【总结】y=x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0,0)（最低点），x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大，x=0时y最小值=0。
第4页：探究新知3——猜想与验证y=-x 的图象
1. 合理猜想：对比y=x ，猜想y=-x 的图象形状、位置会有什么变化？（引导学生猜想：形状仍是抛物线，可能开口方向向下，与y=x 关于x轴对称）
2. 验证操作：用描点法绘制y=-x 的图象
（1）列表：选取与y=x 相同的x值，计算y值：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| y | ... | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | ... |
（2）描点：描出（-3,-9）、（-2,-4）等对应点
（3）连线：用平滑曲线连接各点，得到y=-x 的抛物线
3. 猜想验证：观察图象，发现y=-x 的图象与y=x 的图象关于x轴对称，开口方向向下，验证猜想成立。
第5页：探究新知4——归纳y=-x 的图象性质
【自主探究】参照y=x 的性质探究方法，分析y=-x 的图象，完成以下问题：
1. 开口方向：向下
2. 对称性：是轴对称图形，对称轴为y轴（直线x=0）
3. 顶点：(0,0)，是图象的最高点
4. 增减性：x<0时，y随x的增大而增大；x>0时，y随x的增大而减小
5. 最值：x=0时，y有最大值0
【小组交流】核对探究结果，分享探究思路，强化对性质的理解。
第6页：对比归纳——y=x 与y=-x 的图象与性质异同
【表格对比】整理y=x 与y=-x 的核心性质，明确异同点：
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值情况 | 增减性（x<0） | 增减性（x>0） |
|------------|----------|----------|----------|----------------|----------------|----------------|
| y=x | 向上 | y轴（x=0）| (0,0) | x=0时，y最小=0 | 随x增大而减小 | 随x增大而增大 |
| y=-x | 向下 | y轴（x=0）| (0,0) | x=0时，y最大=0 | 随x增大而增大 | 随x增大而减小 |
【异同总结】
1. 相同点：图象均为抛物线，对称轴都是y轴，顶点都在原点(0,0)，都关于y轴对称。
2. 不同点：开口方向相反（y=x 向上，y=-x 向下）；最值类型相反（y=x 有最小值，y=-x 有最大值）；增减性在对称轴两侧相反。
第7页：巩固应用——典型例题与练习
【例题1】已知点A(-2, y )、B(1, y )在y=x 的图象上，比较y 与y 的大小。（解析：代入计算得y =4，y =1，故y >y ；或利用对称性，A(-2,4)与(2,4)对称，x>0时y随x增大而增大，2>1，故y >y ）
【例题2】若点P(m, 4)在y=-x 的图象上，求m的值。（解析：代入得4=-m ，此方程无实数解，故点P不在该图象上）
【练习1】函数y=-x 的图象顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而增大。（答案：(0,0)；x<0）
【练习2】已知点C(-3, y )、D(2, y )在y=-x 的图象上，则y 与y 的大小关系是______。（答案：y 第8页：课堂小结与拓展
1. 知识梳理：
- 图象：y=x 和y=-x 的图象都是抛物线，关于y轴对称，顶点在原点。
- 性质：核心关注开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值五个方面，关键区分a=1和a=-1时的差异。
- 方法：掌握用描点法绘制抛物线的步骤，学会通过观察、对比、猜想、验证探究函数性质。
2. 思想方法：数形结合思想（图象直观反映性质）、类比探究思想（由y=x 类比探究y=-x ）、对比归纳思想。
3. 拓展展望：下节课我们将探究y=ax （a≠±1）的图象与性质，看看a的绝对值变化会对抛物线产生什么影响。
② 反比例函数
O
x
y
2. 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线.
3. 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质
1
合作探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
函数图象画法
列表
描点
连线
2. 描点：根据表中 x， y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　
问题1 你能描述图象的形状吗？
二次函数 y = x2 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
观察思考
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0，0).
问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？
x = 0 时，ymin= 0.
－3
3
o
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点，
它是图象的最低点，
为 (0，0).
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？
这条抛物线于 y轴对称，y 轴就是它的对称轴.
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性
质说出 y = －x2 有哪些性质？
合作探究
抛物线关于 y 轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
图象是一条开口向下的抛物线.
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x = 0 时，ymax = 0.
y
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在 x 轴上方
开口向下,在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x ＝ 0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x=0 时，y最小值 = 0
当 x=0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
例1 若点 A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数 y = -x2图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是________.
y2＞y1
例1变式 若点 A(-1，y1)， B(2，y2) 是二次函数 y = -x2 图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是__________.
y1 ＞ y2
典例精析
例2 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为 A(4，16)
和 B(－1，1)．
∵直线 y＝3x＋4与 y 轴相交于点C(0，4)，即 CO ＝ 4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
1. 两条抛物线 y = x2 与 y = -x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
C
2．若点 A(2，m) 在抛物线 y = x2 上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是 　 　　．
(-2，4)
a
S
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
3．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2 (a>0)
列表：
a 0 1 2 3 …
S …
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
4. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：∵二次函数 y = x2，
∴ m≤0．
∵当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0，
5. 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，则 a =________.
解析：由题意可知
3
∴a = 3.
又∵当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小，
解得 a = 3 或 a = -3.
∴ y = -x2 或 y = 5x2.
返回
(0，0)
1.
如图为二次函数y＝x2的图象，它与x轴的交点坐标是________，当x＞0时，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)，当x＜0时，y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”)；抛物线的顶点坐标是______； 当x＝____时，函数取得最小值，为______；抛物线的对称轴是______；抛物线的开口向______(填“上”或“下”).
增大
减小
(0，0)
0
0
y轴
上
返回
2.
<
返回
3.
D
二次函数y＝－x2的图象大致是(　　)
返回
4.
－1
高
返回
5.
③
抛物线y＝x2与y＝－x2相同的性质是_______．(填序号)
①开口向上；②有最高点；③顶点是原点；
④当x<0时，y随x的增大而增大．
返回
6.
x
函数y＝x2与y＝－x2的图象关于________轴对称，也可以认为函数y＝x2的图象是由函数y＝－x2的图象绕________旋转________得到的.
原点
180°
返回
7.
D
如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为(　　)
返回
8.
4
关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当x>1时，y随x的增大而减小；
③当－1≤x≤2时，－4≤y≤0；
④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0；
⑤若点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，且x1<0其中正确的有________个.
返回
9.
2π
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________.
10.
解：当r＝1时，V＝1，即圆柱的体积为1.
(2)根据图象，求出当r＝1时，圆柱的体积；
由图象可知当r≥2时，V≥4.
(3)根据图象，求出当r为何值时，V≥4.
返回
二次函数
y = x2 和y=－x2
图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
谢谢观看！