2.2.2二次函数y=ax^2和y=ax^2+c的图象与性质-课件(共25张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共25张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.2.2二次函数y=ax 和y=ax +c的图象与性质
y =－x2
y =x2
二次函数y＝x2与y=－x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？
x ··· －2 －1 0 1 2 ···
··· 2 0.5 0 0.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ···
在画有y =x2直角坐标系中，画出 ，y =2x2的图象.
探究新知
y =x2
①列表；
②描点；
③连线.
y=2x2
y =x2
y=2x2
函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
在画有 y =－x2的直角坐标系中，画出 的图象．
y =－x2
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
··· -2 -0.5 0 -0.5 -2 ···
y = -2x2 ··· -8 -2 0 -2 -8 ···
①列表；
②描点；
③连线.
y=-2x2
y =－x2
y=-2x2
函数 ，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向下；
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
a值越小，抛物线的开口越小．
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴 (x=0)
y轴 (x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
在画有y =2x2直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
x … -2 -1 0 1 2 …
y =2x2+1 … 9 3 1 3 9 …
y = 2x2 －1 … 7 1 -1 1 7 …
y=2x2
①列表；
y=2x2＋1
y=2x2－1
②描点；
③连线.
y=2x2
y=2x2＋1
y=2x2－1
二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
下
2
抛物线
y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____（c＞0）或 （c＜0）平移 个单位.
抛物线
y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
y=ax2+c
y=ax2
y = ax2
c
y = ax2+c（c＞0）
c
y = ax2＋c（c＜0）
向上
向下
|c|
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
课堂小结
返回
(0，0)
1.
如图为二次函数y＝x2的图象，它与x轴的交点坐标是________，当x＞0时，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)，当x＜0时，y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”)；抛物线的顶点坐标是______； 当x＝____时，函数取得最小值，为______；抛物线的对称轴是______；抛物线的开口向______(填“上”或“下”).
增大
减小
(0，0)
0
0
y轴
上
返回
2.
<
返回
3.
D
二次函数y＝－x2的图象大致是(　　)
返回
4.
－1
高
返回
5.
③
抛物线y＝x2与y＝－x2相同的性质是_______．(填序号)
①开口向上；②有最高点；③顶点是原点；
④当x<0时，y随x的增大而增大．
返回
6.
x
函数y＝x2与y＝－x2的图象关于________轴对称，也可以认为函数y＝x2的图象是由函数y＝－x2的图象绕________旋转________得到的.
原点
180°
返回
7.
D
如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为(　　)
返回
8.
4
关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当x>1时，y随x的增大而减小；
③当－1≤x≤2时，－4≤y≤0；
④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0；
⑤若点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，且x1<0其中正确的有________个.
返回
9.
2π
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________.
10.
解：当r＝1时，V＝1，即圆柱的体积为1.
(2)根据图象，求出当r＝1时，圆柱的体积；
由图象可知当r≥2时，V≥4.
(3)根据图象，求出当r为何值时，V≥4.
返回
二次函数
y = x2 和y=－x2
图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
谢谢观看！