2.5.1二次函数与一元二次方程的关系-课件(共26张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共26张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.5.1二次函数与一元二次方程的关系
竖直上抛物体的高度h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示：
h＝－5t2+v0t+h0
抛出时的高度
抛出时的速度
新课导入
一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示.
h＝－5t2+v0t+h0
抛出时的高度
抛出时的速度
新课导入
那么：
（1）h与t的关系式是什么？
h=－5t2＋40t
（2）小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流.
①由图象可知8秒后小球落地.
②将h=0代入二次函数解得t=0或t=8
t=0为开始时间，t=8为结束时间.
探究新知
二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示.
（1）
（2）
（3）
与同伴交流并回答问题.
二次函数 的图象与x轴有几个交点？
两个交点
一元二次方程
有几个根？
两个根
二次函数 的图象与x轴有几个交点？
一个交点
一元二次方程
有几个根？
两个相同的根
二次函数 的图象与x轴有几个交点？
没有交点
一元二次方程
有几个根？
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
ax2+bx+c = 0 的根
△= b2 – 4ac
有两个交点
有两个不同实根
△ > 0
有一个交点
有两个相同实根
△ = 0
没有交点
没有实数根
△ < 0
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
想一想
h=－5t2＋40t
何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
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C
1.
[教材P53“习题2.10”第2题变式]二次函数y＝x2＋2x－2的图象与x轴的交点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
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2.
C
下列函数的图象与x轴没有交点的是(　　)
A．y＝x2＋2x－3
B．y＝－x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝x2－2x＋1
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3.
若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴有交点，则c的取值范围是________.
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4.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
B
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5.
(－1，0)和(－5，0)
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝－5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标是__________________.
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6.
x1＝－1，x2＝3
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为________________.
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7.
A
已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，则(a＋1)(b＋1)的值为(　　)
A．－5
B．－1
C．3
D．7
8.
x1＝－1，x2＝3
(20分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是_____________；
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是___________；
(3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是______________；
(4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________；
x1＝0，x2＝2
x1＝－2，x2＝4
x1＝x2＝1
解：此方程无实数根．
(5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况是什么？
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9.
证明：因为(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2≥0，
所以对于任意实数m，
该二次函数图象与x轴总有公共点．
(8分) [教材P53“习题2.10”第4题变式]已知二次函数
y＝2x2－mx－m2.
(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
解：把(1，0)代入二次函数表达式，得0＝2－m－m2，
解得m1＝－2，m2＝1，
当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4，
令y＝0，则2x2＋2x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－2，
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且点A的坐标为(1，0)，求点B的坐标.
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二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
Δ = b2 - 4ac
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象
一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2
x2
x1
x
y
O
x1= x2
x
y
O
x
y
O
没有实数根
谢谢观看！