3.4.1 圆周角和圆心角的关系-课件(共31张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共31张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.4.1 圆周角和圆心角的关系
1.圆心角的定义
　　　顶点在圆心的角叫圆心角.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弧
弦
第1页：情境导入——认识两种角（5分钟）
1. 回顾旧知：提问“什么是圆心角？”（引导学生回忆：顶点在圆心的角叫做圆心角，如⊙O中∠AOB），并复习圆心角定理的核心内容（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
2. 情境设问：展示圆形笑脸图案，标注圆心O和圆上一点C，连接AC、BC，形成∠ACB。提问“这个角（∠ACB）的顶点在哪里？它和圆心角有什么不同？我们把这样的角叫做什么角？它和对应的圆心角∠AOB之间又存在怎样的关系呢？”
3. 引出课题：明确本节课主题——3.4.1 圆周角和圆心角的关系，共同探究两种角的定义、特征及数量关系。
第2页：概念辨析——圆周角的定义与特征（8分钟）
1. 圆周角定义：结合导入环节的∠ACB，给出圆周角的严格定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2. 特征提炼：引导学生总结圆周角的两个核心特征：① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交（缺一不可）。
3. 辨析练习：展示一组角（包含顶点在圆内、圆外的角，两边不都与圆相交的角，圆周角、圆心角），让学生判断哪些是圆周角，并说明理由，强化对定义的理解。
第3页：实验探究——圆周角与圆心角的关系（15分钟）
1. 明确探究对象：在同圆⊙O中，画出同一条弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB（C为圆上任意一点），明确探究核心：同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系。
2. 动手测量：请学生拿出量角器，测量自己画出的∠AOB和∠ACB的度数，记录数据（如∠AOB=80°，∠ACB=40°；∠AOB=120°，∠ACB=60°），小组内交流数据，初步猜想关系。
3. 分类探究：考虑到圆心与圆周角的位置关系有三种（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部），引导学生分情况画图探究：
① 情况一：圆心在圆周角一边上（如∠ACB，OC在AC上）：∵ OA=OC，∴ ∠A=∠C，又∵ ∠AOB=∠A+∠C，∴ ∠ACB=1/2∠AOB；② 情况二、三：通过作辅助线（过C作直径CD），转化为情况一，最终均得出∠ACB=1/2∠AOB的结论。
第4页：定理总结与拓展（10分钟）
1. 核心定理：引导学生归纳得出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2. 符号表示：结合图形（⊙O中，弧AB所对的圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB），用符号表示：∵ ∠ACB和∠AOB都对应弧AB ∴ ∠ACB=1/2∠AOB。
3. 推论拓展：基于定理推导两个重要推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等；② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。（结合图形直观演示，帮助学生理解）
探究新知
顶点在圆心
圆心角
角顶点发生变化时,我们得到几种情况
点A在圆内
点A在圆上
点A在圆外
圆周角
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
指出图中的圆心角和圆周角.
A
B
O
C
圆心角：
∠AOB
、∠AOC
、∠BOC
圆周角：
∠BAC
、∠ABC
、∠ACB
在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关.
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？
做一做
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所
对的圆周角，这几个圆周角有
什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？
议一议
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
先证明哪一种情况？
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
证明：（1）圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
∵ OA = OC，
∴ ∠A =∠C.
∴ ∠AOB = 2∠C，
C
C
你能完成另两种情况的证明吗？
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
C
已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角.
求证：
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
●
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
●
O
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
返回
C
1.
下图中，∠α为圆周角的是(　　)
返回
2.
∠BAC
∠D和∠C
返回
3.
B
[2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
返回
4.
B
如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为(　　)
A．60°
B．75°
C．80°
D．90°
返回
5.
C
[教材P104“复习题”第5题变式]如图，点A，B，C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝52°，则∠OAC的度数为(　　)
A．52°
B．45°
C．26°
D．20°
返回
6.
B
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　　)
A．28° B．34°
C．56° D．62°
返回
7.
5
如图，⊙O的直径是10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝30°，则BC＝________.
返回
8.
D
[教材P80“随堂练习”第2题变式]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
返回
9.
28°
返回
10.
55
[2024北京中考]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________°.
11.
(4分)如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝47°，求∠ADB的度数.
返回
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.
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