3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形-课件(共30张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共30张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
70°
x
x =_____
C
·
O
A
B
C
D
120°
x
x =_____
35°
120°
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
复习导入
求图中角x的度数
第1页：复习导入——衔接旧知引新题（5分钟）
1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了圆周角定理，谁能复述一下核心内容？”（引导学生回忆：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）；补充提问“基于定理我们得出的重要推论有哪些？”（回顾：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角）。
2. 情境设问：展示圆形零件图纸，标注直径AB和圆上一点C，连接AC、BC。提问“图纸中∠ACB是设计的关键角，结合之前的推论，它的度数是多少？这个角度特征对零件设计有什么意义？”；再展示一个内接于圆的四边形ABCD，提问“这个四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形有什么特殊性质呢？”
3. 引出课题：明确本节课主题——3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形，重点探究直径与圆周角的特殊关联、圆内接四边形的定义及性质。
第2页：深入探究——圆周角和直径的关系（8分钟）
1. 定理梳理：结合复习推论，提炼核心结论——圆周角和直径的关系定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。
2. 逻辑证明：引导学生完成严谨证明：① 正向证明：已知AB是⊙O的直径，C是圆上任意一点（不与A、B重合），求证∠ACB=90°。证明：∵AB是直径，∴弧AB是半圆，对应的圆心角∠AOB=180°，由圆周角定理得∠ACB=1/2∠AOB=90°；② 逆向证明：已知⊙O中，∠ACB=90°，C在圆上，求证AB是⊙O的直径。证明：设∠ACB所对的弧为弧AB，对应的圆心角为∠AOB，由圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=180°，∴A、O、B三点共线，即AB是⊙O的直径。
3. 特征强调：总结直径与圆周角的双向关联——直径是产生90°圆周角的“前提”，90°圆周角是判定直径的“依据”，二者相互对应，缺一不可。
第3页：新知探究——圆内接四边形的定义与性质（15分钟）
1. 定义给出：结合导入环节的四边形，给出圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
2. 性质探究：① 动手测量：请学生在练习本上画一个⊙O和其内接四边形ABCD，分别测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，记录数据（如∠A=100°、∠B=80°、∠C=80°、∠D=100°），小组内交流数据，观察角度之间的关系；② 猜想归纳：引导学生基于测量数据猜想：圆内接四边形的对角互补；③ 逻辑证明：连接OA、OC，∵∠A和∠C分别是弧BCD和弧BAD所对的
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
60°
x
x =_____
C
·
O
A
B
C
D
20°
x
x =_____
D
60°
E
F
30°
50°
复习导入
求图中角x的度数
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究新知
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
·
O
A
B
C
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴
探究新知
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
·
O
A
B
C
解：弦BC是直径.
连接OC、OB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°.
∴B、O、C三点在同一直线上.
∴BC是⊙O的一条直径.
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
∵BC为直径，
∴∠BAC = 90°.
几何语句：
∵∠BAC = 90°，
∴ BC为直径 .
几何语句：
议一议
（1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
议一议
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD，
则
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
这两个四边形ABCD有什么共同的特点？
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
推论 圆内接四边形的对角互补.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）.
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
·
O
D
B
C
A
E
解：∠A =∠DCE
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD = 180°.
∵∠BCD+∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE.
返回
C
1.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为(　　)
A．80°
B．60°
C．50°
D．40°
返回
2.
A
如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
返回
3.
B
[教材P83“随堂练习”第2题变式]用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的是(　　)
返回
4.
A
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　)
A．65°
B．55°
C．50°
D．75°
5.
解：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．由圆周角定理，
得∠ABC＝∠ADC＝30°，∵AC＝5，∴AB＝2AC＝10.
即⊙O的直径长为10.
(8分)如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，AC＝5.
(1)求⊙O的直径长；
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6.
C
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数为(　　)
A．50°
B．80°
C．100°
D．160°
返回
7.
D
[教材P82“想一想”变式]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点E是AB延长线上一点，若∠CBE＝65°，则∠ADC的度数为(　　)
A．115°
B．130°
C．50°
D．65°
返回
8.
C
如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)
A．50°
B．100°
C．130°
D．150°
返回
9.
60°
[2024滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数是________.
返回
10.
D
[2025西安高新一中一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是(　　)
A．28°
B．56°
C．46°
D．26°
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11.
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
谢谢观看！