3.5 确定圆的条件-课件(共32张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共32张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.5 确定圆的条件
新课导入
1. 过一点可以作几条直线？
● A
无数条
2. 过几点可确定一条直线？
● A
● B
两点
3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形、3.5 确定圆的条件 教学过程幻灯片分页内容
第1页：复习导入——衔接旧知引新题（5分钟）
1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了圆周角定理，谁能复述一下核心内容？”（引导学生回忆：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）；补充提问“基于定理我们得出的重要推论有哪些？”（回顾：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角）。
2. 情境设问：展示圆形零件图纸，标注直径AB和圆上一点C，连接AC、BC。提问“图纸中∠ACB是设计的关键角，结合之前的推论，它的度数是多少？这个角度特征对零件设计有什么意义？”；再展示一个内接于圆的四边形ABCD，提问“这个四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形有什么特殊性质呢？”
3. 引出课题：明确本节课主题——3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形、3.5 确定圆的条件，重点探究直径与圆周角的特殊关联、圆内接四边形的定义及性质，以及确定圆的条件。
第2页：深入探究——圆周角和直径的关系（8分钟）
1. 定理梳理：结合复习推论，提炼核心结论——圆周角和直径的关系定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。
2. 逻辑证明：引导学生完成严谨证明：① 正向证明：已知AB是⊙O的直径，C是圆上任意一点（不与A、B重合），求证∠ACB=90°。证明：∵AB是直径，∴弧AB是半圆，对应的圆心角∠AOB=180°，由圆周角定理得∠ACB=1/2∠AOB=90°；② 逆向证明：已知⊙O中，∠ACB=90°，C在圆上，求证AB是⊙O的直径。证明：设∠ACB所对的弧为弧AB，对应的圆心角为∠AOB，由圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=180°，∴A、O、B三点共线，即AB是⊙O的直径。
3. 特征强调：总结直径与圆周角的双向关联——直径是产生90°圆周角的“前提”，90°圆周角是判定直径的“依据”，二者相互对应，缺一不可。
第3页：新知探究——圆内接四边形的定义与性质（15分钟）
1. 定义给出：结合导入环节的四边形，给出圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
2. 性质探究：① 动手测量：请学生在练习本上画一个⊙O和其内接四边形ABCD，分别测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，记录数据（如∠A=100°、∠B=80°、∠C=80°、∠D=100°），小组内交流数据，观察角度之间的关系；② 猜想归纳：引导学生基于测量数据猜想：圆内接四边形的对角互补；③ 逻辑证明：连接OA、OC，∵∠A和∠C分别是弧BCD和弧BAD所对的圆周角，且弧BCD+弧BAD=360°，由圆周角定理得∠A=1/2弧BCD，∠C=1/2弧BAD，∴∠A+∠C=1/2（弧BCD+弧BAD）=180°，同理可证∠B+∠D=180°，即圆内接四边形的对角互补。
3. 推论拓展：引导学生推导推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（结合图形讲解：延长四边形ABCD的边AD至点E，∠CDE是外角，证明∠CDE=∠B，因为∠CDE+∠ADC=180°，且∠B+∠ADC=180°，所以∠CDE=∠B）。
第4页：典例解析——定理与性质的应用（12分钟）
例1：圆周角与直径关系应用。如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD=30°，求∠BAD的度数。（提示：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABD=∠ACD=30°（同弧AD所对的圆周角相等），∴∠BAD=90°-30°=60°）
例2：圆内接四边形性质应用。如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=70°，∠B=100°，求∠C和∠D的度数。（答案：∠C=180°-∠A=110°，∠D=180°-∠B=80°，直接应用圆内接四边形对角互补的性质）
例3：综合应用。如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BCD=130°，求∠ABD的度数。（提示：∵AB是直径，∴∠ADB=90°；∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=180°-∠BCD=50°；在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=40°）
第5页：巩固练习与易错辨析（10分钟）
1. 巩固练习：① 计算题：如图，⊙O的直径AB=10cm，点C在⊙O上，∠ABC=30°，求AC的长度（答案：5cm，由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，30°所对的直角边是斜边的一半，故AC=1/2AB=5cm）；② 应用题：四边形ABCD内接于⊙O，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数（答案：90°，设∠A=2x、∠B=3x、∠C=4x，由对角互补得2x+4x=180°，解得x=30°，则∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°）。
2. 易错辨析：展示典型错题，引导学生分析错误原因：① 误将“圆内接四边形的邻角互补”当作性质（纠正：是对角互补，邻角不一定互补）；② 已知90°圆周角时，未确认顶点在圆上就判定对应弦是直径（纠正：90°圆周角的顶点必须在圆上，其对弦才是直径）。
第6页：课堂小结与作业布置（5分钟）
1. 课堂小结：① 核心关联：圆周角与直径的双向关系（直径→90°圆周角；90°圆周角→直径）；② 核心概念：圆内接四边形的定义（四个顶点在同圆上）；③ 核心性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角；④ 解题关键：遇直径优先联想90°圆周角，遇圆内接四边形优先利用对角互补关系。
2. 作业布置：① 基础题：教材习题中与圆周角和直径关系、圆内接四边形相关的计算题；② 拓展题：画一个圆内接梯形，探究它是否为等腰梯形（提示：利用圆内接四边形对角互补和梯形两底平行的性质证明）；③ 实践题：观察生活中的圆形物品（如井盖、圆桌），找出其中蕴含的圆周角与直径的关系，记录下来。
探究新知
● A
1. 作圆，使它过已知点A. 你能作出几个这样的圆？
经过一个已知点能作无数个圆.
探究新知
2. 作圆，使它过已知点A，B. 你能作出几个这样的圆？
A
B
O
●
O
●
O
●
O
●
O
●
经过两个已知点能作无数个圆.
其圆心的位置有什么特点？与线段AB 有什么关系？为什么？
探究新知
A
B
O
●
O
●
O
●
O
●
O
●
它们的圆心在线段AB的垂直平分线上.
其圆心的位置有什么特点？与线段AB 有什么关系？为什么？
探究新知
A
B
O
●
O
●
O
●
O
●
O
●
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这点到A或B的距离为半径作圆.
探究新知
3. 作圆，使它经过已知点 A，B，C（A，B，C 三点不在同一条直线上）.你能作出几个这样的圆？
B
A
C
你准备如何（确定圆心，半径）作圆？
能否转化为2的情况：经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
B
A
C
作法
（1）连结 AB，BC.
（2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O.
E
D
F
G
O
（3）以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆.
⊙O 就是所要求作的圆.
B
A
C
E
D
F
G
O
直线 DE 和 FG 只有一个交点 O，并且点 O 到 A，B，C 三个点的距离相等.
经过 A，B，C 三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆.
B
A
C
E
D
F
G
O
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
三角形的三个顶点确定一个圆，
这个圆叫做三角形的外接圆.
一个三角形有___个外接圆，
而一个圆有_____个内接三角形.
一
无数
B
A
C
O
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
B
A
C
O
O
B
A
C
锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.
B
A
C
O
如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？
讨论
A
B
C
长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？
A
B
C
方法
①在圆弧上任取三点A、B、C.
②作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心.
O
③以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.
随堂练习
1. 判断题：
①经过三点一定可以作圆 （ ）
②任意一个三角形有且只有一个外接圆 （ ）
③三角形的外心是三角形三边中线的交点 （ ）
④三角形外心到三角形三个顶点距离相等 （ ）
返回
C
1.
下列条件中，不能确定一个圆的是(　　)
A．圆心和半径
B．直径和圆心
C．平面上的三个点
D．三角形的三个顶点
返回
2.
C
[教材P88“习题3.6”第3题变式]如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
返回
3.
①
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号)
4.
解：这样的圆能画2个．
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，2 cm为半径画弧交l于点O1和O2，然后分别以点O1和O2为圆心，以
2 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2即为所求．图略．
(12分)[教材P88“习题3.6”第2题变式]已知线段AB＝3 cm.
(1)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
这样的圆能画1个．
作AB的垂直平分线l，交AB于点O，然后以点O为圆心，以1.5 cm为半径作圆，则⊙O即为所求．图略．
(2)画半径为1.5 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
这样的圆不存在．
(3)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
返回
5.
D
下列说法中，正确的是(　　)
A．一个三角形有无数个外接圆
B．钝角三角形的外心在三角形内部
C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
返回
6.
C
如图，AC，BE是⊙O的直径，下列三角形中，外心是点O的是(　　)
A．△ABF
B．△ACF
C．△ABE
D．△AEF
返回
7.
C
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．不确定
返回
8.
A
[2025泰州月考]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是(　　)
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
返回
9.
解：如图，点P即为所求．
(4分)[教材P87“习题3.6”第1题变式]如图，一只猫观察到三个老鼠洞口A，B，C，这三个老鼠洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能同时顾及三个老鼠洞口(即猫到三个老鼠洞口的距离相等)？作出这个位置.
返回
10.
C
平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数是(　　)
A．0或3或4
B．0或1或3
C．0或1或3或4
D．0或1或4
返回
11.
C
点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是(　　)
A．40°
B．100°
C．40°或140°
D．40°或100°
返回
12.
(－2，－1)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是____________.
返回
13.
16
如图，点O为△ABC的外心，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，连接DE，若DE＝
8 cm，则BC＝________cm.
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
三角形外接圆
概念
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
外心
外接圆的圆心叫三角形的外心
谢谢观看！