3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质-课件(共35张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共35张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
新课导入
观察上面的三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？
3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质 教学课件分页内容
第1页：情境导入——感受生活中的位置关系
1. 展示生活情境图片：日出时太阳与地平线的动态关系、铁轨与车轮的接触关系、台风中心移动时与城市的位置关系。
2. 提问引导：观察这些图片，直线与圆形物体之间存在哪些不同的位置状态？这些状态可以分为几类？请结合生活经验尝试描述。
3. 引出课题：今天我们就来系统探究直线和圆的位置关系，并重点学习切线的相关性质。
第2页：新知探究一——直线和圆的位置关系分类
1. 定义呈现：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，结合图形给出三类位置关系的定义：
（1）相离：直线l与⊙O没有公共点，此时d＞r；
（2）相切：直线l与⊙O有且只有一个公共点（这个公共点叫做切点），此时d＝r；
（3）相交：直线l与⊙O有两个公共点（这两个公共点叫做交点），此时d＜r。
2. 动态演示：通过几何画板动画展示，当直线l逐渐靠近圆心O时，d逐渐减小，直线与圆的位置关系从相离过渡到相切，再到相交；反之，远离时则从相交过渡到相切，再到相离，强化d与r的数量关系对位置关系的决定作用。
3. 即时小练：给出⊙O半径r＝5cm，分别给出圆心到直线l的距离d＝3cm、d＝5cm、d＝7cm，让学生判断直线与圆的位置关系，口头回答并说明理由。
第3页：新知探究二——切线的性质定理
1. 提出问题：在相切的位置关系中，切线与过切点的半径之间存在怎样的特殊位置关系？请结合画出的切线图形大胆猜想。
2. 猜想验证：引导学生通过动手操作——在⊙O的切线上取一点P（切点），连接OP，测量∠OPL的度数（L为切线上另一点），发现∠OPL＝90°；再通过反证法证明猜想：假设切线l与过切点P的半径OP不垂直，那么圆心O到直线l的距离d＜r，这与直线l是切线（d＝r）矛盾，故假设不成立，因此OP⊥l。
3. 定理总结：切线的性质定理——圆的切线垂直于过切点的半径。强调关键词：“切线”“过切点”“半径”，三者缺一不可，几何语言表示为：∵直线l是⊙O的切线，P为切点，∴OP⊥l。
4. 推论拓展：引导学生思考并推导推论——经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。结合图形说明两个推论的几何意义，强化对定理的全面理解。
第4页：例题讲解——切线性质的应用
1. 例题呈现：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC交⊙O于点D，连接AD，若∠C＝40°，求∠BAD的度数。
2. 解题分析：引导学生梳理已知条件——AB是直径、BC是切线、∠C＝40°，要求∠BAD。首先根据切线性质定理，BC是切线，B是切点，AB是半径，故AB⊥BC，即∠ABC＝90°；在Rt△ABC中，可求出∠BOC的度数；再根据同圆中半径相等，OA＝OD，故△OAD是等腰三角形，结合∠BOC与∠AOD是对顶角，求出∠BAD的度数。
3. 规范解题：分步写出解题过程，标注每一步的依据（切线性质定理、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形两底角相等），强调几何证明的逻辑性和规范性。
4. 思路总结：总结切线性质应用的常见思路——见到切线，优先连接过切点的半径，构造直角三角形，利用直角三角形的相关性质解决问题。
第5页：巩固练习——深化理解与应用
1. 基础题：如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于点B，若PA＝3cm，PB＝1cm，求⊙O的半径。（要求学生独立完成，一名学生板演，师生共同点评）
2. 提升题：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，过点A作AD⊥OB于点D，求证：∠DAC＝∠B。（引导学生分析证明思路，小组讨论后代表发言，教师补充完善）
3. 错题辨析：给出一道错误应用切线性质的题目，让学生找出错误原因（如未明确“过切点”的半径），强化对定理条件的把握。
第6页：课堂小结与作业布置
1. 小结梳理：引导学生回顾本节课核心内容——①直线和圆的三类位置关系及对应的d与r的数量关系；②切线的性质定理及两个推论；③切线性质的应用思路（连半径，构直角）。采用师生问答的形式，构建知识框架。
2. 作业布置：
（1）基础作业：教材习题3.6第1、2、3题，巩固直线和圆位置关系的判断及切线性质的基本应用；
（2）拓展作业：搜集生活中直线与圆相切的实例，结合本节课知识分析其几何原理，下节课分享交流。
3. 课后思考：经过圆外一点作圆的切线，能作几条？这两条切线之间有什么数量关系？为下一节课学习切线长定理做好铺垫。
新课导入
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
探究新知
作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
O
l
O
l
相离
O
l
相切
相交
1个公共点
2个公共点
0个公共点
l
O
O
l
O
l
相离
相切
相交
探究新知
切线
切点
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.
l
O
O
l
O
l
相离
相切
相交
圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系？
你能根据 d 与 r 的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
r
r
r
d
d
d
想一想
l
O
O
l
O
l
相离
相切
相交
r
r
r
d
d
d
想一想
d ＞ r
d ＝ r
d ＜ r
归纳总结
直线和圆相交，即 d _____ r；
直线和圆相切，即 d _____ r；
直线和圆相离，即 d _____ r.
<
=
>
议一议
（1）请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例.
议一议
（2）下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
l
O
O
l
O
l
都是轴对称图形.
议一议
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
∵右图是轴对称图形，AB是对称轴，
∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°.
议一议
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.
议一议
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M.
M
议一议
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
则OMM
议一议
（3）如图，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直线 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.
O
D
C
A
B
AB ⊥ CD .
所以AB与CD垂直.
M
O
D
C
A
B
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理：
几何语言：
∵CD是⊙O的切线，A是切点，OA是⊙O的半径，
∴CD⊥OA.
作过切点的半径是常用的辅助线之一.
例1 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4cm.
（1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与 ⊙C 相切？
C
A
B
解：（1）如图，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D.
∵ AC = 4 cm，AB = 8 cm，
∴ ∠A = 60°.
∴ CD = AC sinA = 4 sin 60°
D
你还有其他解法吗？
例1 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8 cm，AC = 4cm.
（2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？
C
A
B
D
（2）由（1）可知，圆心 C 到 AB 的距 离 ，所以
当 r = 2 cm时，d > r， ⊙C 与 AB 相离；
当 r = 4 cm时，d < r， ⊙C 与 AB 相交.
返回
B
1.
如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
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2.
A
已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5 cm，则⊙O的半径可能为(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
返回
3.
C
如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，以点C为圆心，1.5为半径的圆与OA的公共点有(　　)
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
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4.
相切
平面直角坐标系中，以点A(3，4)为圆心，4为半径的圆一定与x轴________，与y轴________．(填“相交”“相切”或“相离”)
相交
5.
(12分)[教材P91“习题3.7”第1题变式]在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，以点C为圆心作⊙C．
(1)若⊙C与AB相切，求⊙C的半径r；
(2)若⊙C与直线AB相交，求⊙C的半径r的取值范围；
(3)若⊙C与直线AB没有公共点，求⊙C的半径r的取值范围.
返回
返回
6.
40°　
[2024浙江中考] 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________.
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7.
C
如图，已知PA与⊙O相切于点A，⊙O的半径为3，
OP＝5，则PA为(　　)
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8.
D
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
返回
9.
A
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD是⊙O的切线，D为切点，若∠A＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
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10.
D
已知⊙O的半径为2，点P在直线l上，OP＝2，则直线l与⊙O的位置关系为(　　)
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
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11.
A
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12.
B
已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相切
B．相离
C．相交
D．相切或相交
直线与圆有唯一公共点
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分:
直线与圆没有公共点
直线与圆有两个公共点
切线的
性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
性质定理
谢谢观看！