3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆-课件(共29张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共29张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆
新课导入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 教学过程内容
第1页：复习导入（约5分钟）
1. 回顾旧知：提问学生“直线与圆有几种位置关系？如何判定？”引导学生回忆直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，以及通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系（d＜r相交、d＝r相切、d＞r相离）进行判定的方法。
2. 引出课题：展示生活中的切线实例（如转动的车轮与地面的接触、砂轮打磨工件的火花轨迹），提问“除了用距离法，还有没有其他方法判定直线是圆的切线？”顺势引出本节课主题——切线的判定与三角形的内切圆。
第2-3页：新知探究一：切线的判定定理（约15分钟）
1. 动手操作：让学生在练习本上画一个圆O，在圆上取一点A，连接OA（半径），过点A画一条直线l垂直于OA。引导学生观察：直线l与圆O有几个交点？（只有一个交点A）
2. 猜想定理：基于操作结果，提问“结合刚才的操作，你认为满足什么条件的直线是圆的切线？”引导学生总结：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3. 定理辨析：展示两个反例图形（①直线过半径外端但不垂直于半径；②直线垂直于半径但不过外端），让学生判断是否为切线，强化“两个条件缺一不可”的认知。
4. 符号表示：给出圆O、半径OA、直线l⊥OA于A，引导学生用符号语言表述定理：∵ OA是⊙O的半径，l⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线。
第4-5页：例题讲解一：切线判定的应用（约10分钟）
例题1：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝45°，AB⊥CD于点D。求证：CD是⊙O的切线。
分析引导：① 要证CD是切线，需满足什么条件？（找到半径，证明直线垂直于半径外端）② 已知AB是直径，点C在圆上，连接OC，OC即为半径；③ 需证明OC⊥CD，结合AB⊥CD，可转化为证明OC∥AB？或利用角度关系证明∠OCD＝90°。
规范证明：连接OC ∵ OC＝OB（⊙O的半径） ∴ ∠OCB＝∠ABC＝45° ∴ ∠AOC＝∠OCB＋∠ABC＝90° 又∵ AB⊥CD ∴ ∠CDB＝90° ∴ ∠AOC＝∠CDB ∴ OC∥CD？（修正：∠AOC＝90°，AB⊥CD则∠ODC＝90°，故∠OCD＝90°） ∵ OC是⊙O的半径，OC⊥CD ∴ CD是⊙O的切线。
小结方法：判定切线的两种思路——① 已知直线与圆有公共点：连半径，证垂直；② 未知公共点：作垂直，证半径。
第6-7页：新知探究二：三角形的内切圆（约15分钟）
1. 问题引入：提问“能否作一个圆，使它与三角形的三条边都相切？”引导学生思考：这样的圆的圆心到三条边的距离有什么关系？（等于半径，且到三条边距离相等的点是三角形内角平分线的交点）
2. 作图演示：在黑板上画一个△ABC，作∠A、∠B的内角平分线，交于点I。过点I作ID⊥AB于D，以I为圆心、ID为半径画圆，观察圆与△ABC三条边的位置关系（均相切）。
3. 概念总结：① 与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆；② 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点；③ 内心的性质：到三角形三条边的距离相等，且在三角形内部。
4. 符号与公式：给出△ABC的内心I，内切圆半径r，引导学生得出三角形面积公式：S△ABC＝ （AB＋BC＋AC）·r（利用内心到三边距离相等，将三角形分成三个等高的小三角形，面积相加）。
第8-9页：例题讲解二：三角形内切圆的应用（约10分钟）
例题2：如图，△ABC的内切圆⊙I与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，已知AB＝10cm，BC＝14cm，AC＝12cm，求内切圆半径r。
分析引导：① 由切线长定理（回顾：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），设AD＝AF＝x，BD＝BE＝y，CE＝CF＝z；② 根据三边长度列方程组：x＋y＝10，y＋z＝14，x＋z＝12；③ 解方程组求出x、y、z，再用海伦公式求出三角形面积，最后结合面积公式S＝ （a＋b＋c）·r求r。
规范解答：解方程组得x＝4，y＝6，z＝8；三角形周长为36，半周长p＝18；由海伦公式S＝√[p(p－a)(p－b)(p－c)]＝√[18×(18－14)×(18－12)×(18－10)]＝√(18×4×6×8)＝24√6；又S＝ ×36×r＝18r，故18r＝24√6，解得r＝(4√6)/3 cm。
第10页：巩固练习（约8分钟）
1. 判断题：① 经过半径外端的直线是圆的切线（×）；② 三角形的内心到三个顶点的距离相等（×）；③ 任意三角形都有且只有一个内切圆（√）。
2. 解答题：如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB，CD⊥AD于D。求证：CD是⊙O的切线；若AD＝3，AC＝√15，求⊙O的半径。
第11页：课堂小结与作业布置（约2分钟）
1. 小结：① 切线判定定理（两个条件：过半径外端、垂直于半径）及应用思路；② 三角形内切圆、内心的概念及内心性质；③ 三角形面积与内切圆半径的关系。
2. 作业：教材习题3.6第4、5、7题；预习切线的性质。
l
探究新知
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
（1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
d
l
l
l
O
A
B
α
d
l
l
探究新知
∠α 从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切.
l
探究新知
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
d
l
l
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
l
O
A
B
α
d
l
l
探究新知
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理
符号语言表达
∵ l ⊥OA ，且 l 经过⊙O上的 A 点，
∴直线 l 是 ⊙O 的切线.
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
O
A
l
如何判定一条直线是已知圆的切线？
定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（d = r）
判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线.
l
O
A
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线，
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
∴圆心O到直线l 的距离等于半径.
∴ l⊥OA.
∴OA是圆心O到直线l的距离.
如图是一张三角形的铁皮，工人师傅要从中截下一块圆形的用料，怎样才能使截下的圆的面积尽可能大呢？
三角形与圆的位置关系
猜测
第一种情况
A
B
C
A
B
C
第二种情况
A
B
C
第三种情况
A
B
C
第四种情况
例 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
A
B
C
圆心 I 到三边的距离 d 都等于 ⊙I 的半径 r .
圆心 I 在△ABC 的角平分线上.
例 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
A
B
C
E
F
I
D
作法：
1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF， 交点为 I .
2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D .
3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
A
B
C
E
F
I
D
这样的圆可以作出几个 为什么
∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等.
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个.
A
B
C
I
和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
这个三角形叫圆的外切三角形
三角形三条角平分线的交点
内心
返回
C
1.
下列直线中，一定是圆的切线的是(　　)
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．与圆心的距离等于半径的直线
D．经过圆的直径一端的直线
返回
2.
D
如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(　　)
A．OA2＋PA2＝OP2 　　
B．PA⊥OA
C．∠P＝30°，∠O＝60° 　　
D．OP＝2OA
返回
3.
60
如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝______°时，AC与⊙O相切.
4.
(4分)如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰好使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切.
返回
证明：连接OD.∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
又∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切．
返回
5.
B
已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
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6.
D
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，D为⊙O与BC的切点，∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
返回
7.
115°
[教材P93“习题3.8”第2题变式]如图，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数是________.
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8.
15
如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心．若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为________.
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9.
解：面积最大的圆即为△ABC的内切圆，分别作∠ACB，∠ABC的平分线，交点为点O，过点O作BC的垂线，垂足为点E.以点O为圆心，以OE为半径作⊙O.⊙O就是所求作的圆．图略．
(4分)[教材P92“例2”变式]如图，有一块三角形材料(△ABC)，请在这块材料上作一个面积最大的圆.
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10.
C
如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是半圆O的切线的是(　　)
A．∠E＝∠CFE
B．∠E＝∠ECF
C．∠ECF＝∠EFC
D．∠ECF＝60°
A
B
C
I
和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
这个三角形叫圆的外切三角形
三角形三条角平分线的交点
内心
谢谢观看！