3.7 切线长定理-课件(共26张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共26张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.7 切线长定理
新课导入
过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看.
O
P
2 条
切线长定理教学课件教学过程内容
第1页：情境导入（约200字）
同学们，上节课我们已经学习了直线与圆相切的性质和判定定理，知道了圆的切线垂直于过切点的半径。今天我们继续深入探究与圆的切线相关的重要结论——切线长定理。首先来看一个生活情境：如图，有一个圆形草坪，在草坪外有一点P，现在要从点P向草坪引两条切线，修建两条通往草坪边缘的小路。大家思考一下，这两条小路的长度有什么关系呢？带着这个问题，我们开启今天的探究之旅。通过今天的学习，我们不仅要解决这个问题，还要掌握切线长定理的内容、证明方法，并能运用它解决实际的几何问题。
第2页：探究新知——切线长的定义（约150字）
首先，我们明确一个新的概念——切线长。请大家结合屏幕上的图形（展示点P及从P引圆O的两条切线，切点分别为A、B）思考：什么是切线长？大家可以类比“线段的长度”来理解。其实，从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间线段的长度，就叫做这点到圆的切线长。比如图中，线段PA、PB的长度就是点P到圆O的两条切线长。注意区分“切线”和“切线长”：切线是直线，无法度量长度；切线长是线段的长度，可以度量。
第3页：探究新知——猜想切线长的关系（约200字）
了解了切线长的定义后，回到我们导入时的问题：从圆外同一点引圆的两条切线，这两条切线长有什么关系呢？请大家拿出草稿纸，画一个圆O，在圆外取一点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，然后用刻度尺测量PA和PB的长度，记录测量结果。大家分享一下自己的测量数据：有的同学测量得PA=2.5cm，PB=2.5cm；有的同学测量得PA=3.2cm，PB=3.2cm……通过测量，大家发现这两条切线长似乎相等。那这是不是一个普遍规律呢？接下来我们通过几何推理来验证这个猜想。
第4页：定理证明（约250字）
已知：如图，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。求证：PA=PB。请大家先独立思考证明思路，再小组交流。我们回忆一下切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以从这个性质出发，我们可以连接OA、OB。因为PA是圆O的切线，所以OA⊥PA；同理，OB⊥PB，因此∠OAP=∠OBP=90°。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA和OB都是圆O的半径，所以OA=OB；OP是两个直角三角形的公共斜边，即OP=OP。根据直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可以得出Rt△OAP≌Rt△OBP。根据全等三角形的对应边相等，所以PA=PB。这样我们就证明了刚才的猜想，这个结论就是我们今天要学习的切线长定理。
第5页：切线长定理及推论（约200字）
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。我们再进一步观察刚才的全等三角形，除了PA=PB，还能得出什么结论呢？因为Rt△OAP≌Rt△OBP，所以对应角相等，即∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP。这就得到了切线长定理的推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，同时也平分两条切线切点的连线所对的圆心角。简单来说，OP既是∠APB的角平分线，也是∠AOB的角平分线，而且OP垂直平分AB（大家可以课后自行证明这一结论）。请大家把定理和推论整理在笔记本上，注意定理的条件是“从圆外一点引圆的两条切线”，结论是“切线长相等”和“圆心与该点的连线平分夹角”。
第6页：例题应用（约250字）
接下来我们通过例题巩固切线长定理的应用。例1：如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OP=10cm，求PA的长度和圆O的半径OA。大家先独立解题，再听讲解。解题思路：首先，根据切线长定理，PA=PB，且OP平分∠APB，所以∠APO=∠BPO=30°。又因为OA⊥PA，所以Rt△OAP是含30°角的直角三角形。在Rt△OAP中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以OA=1/2 OP=5cm。再根据勾股定理，PA=√(OP - OA )=√(10 - 5 )=√75=5√3 cm。通过这个例题，我们可以发现，运用切线长定理时，常常需要结合切线的性质、直角三角形的性质和勾股定理来解题。
第7页：巩固练习（约150字）
现在我们来做两道练习题，检验大家的学习效果。1. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长分别为3cm和x cm，则x=______。2. 如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，若∠AOB=120°，则∠APB的度数为______。请大家在草稿纸上快速解题，完成后举手示意。第一题根据切线长定理，直接得出x=3；第二题先利用四边形内角和为360°，得出∠APB=360°-90°-90°-120°=60°，也可以利用推论得出∠AOP=60°，再在Rt△OAP中求出∠APB=60°。
第8页：课堂小结与作业布置（约100字）
今天的课程接近尾声，我们一起来回顾一下：本节课我们学习了切线长的定义、切线长定理及其推论，掌握了定理的证明方法，并能运用定理解决简单的几何问题。作业布置：1. 课本习题第X题；2. 画一个圆，在圆外取一点，作出该点到圆的两条切线，测量并验证切线长相等。
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
探究新知
O
P
A
B
PA、PB就是点P到⊙O的切线长.
切线与切线长的区别与联系：
探究新知
O
P
A
B
切线是一条与圆相切的直线.
切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.
O
P
如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
A
B
O
P
如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
A
B
（2）在这个图中 你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
PA = PB
该如何证明？
O
P
A
B
已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接 OA，OB.
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴Rt△POA ≌ Rt△POB.
∴ PA = PB.
O
P
A
B
切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
符号语言表达
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB .
O
P
A
B
∠APO=∠BPO
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
你还知道这两个角是什么关系吗？
O
P
A
B
你还知道这两个角是什么关系吗？
∠APO=∠BPO
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
A
B
O
C
D
E
F
G
H
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
例 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
B
D
A
F
C
E
O
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，
AC = 10，BC = 24，
26
r
B
D
A
F
C
E
O
26
r
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，
∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，
即 ⊙O 的半径为 4.
返回
C
1.
已知点P是⊙O外一点，过点P可作⊙O的切线条数是(　　)
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
返回
2.
B
如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝6，则PB的长是(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
返回
3.
C
如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠APO＝30°，OA＝2，则BP的长为(　　)
返回
4.
D
如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．60
B．55
C．45
D．50
返回
5.
B
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．45°
D．50°
返回
6.
D
如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．PC＝CD
返回
7.
A
[教材P96“习题3.9”第2题变式]如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，CA相切于点D，E，F，若AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为(　　)
A．18
B．17
C．16
D．15
返回
8.
A
[教材P96“习题3.9”第1题变式]如图，射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12 cm，则点P到⊙O的切线长是(　　)
A．6 cm B．3 cm
C．24 cm D．12 cm
返回
9.
6
如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径为________.
10.
(4分)[教材P95“例”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长.
解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x.
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2.
又∵BC＝5，∴BD＝BF＝3.
在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，
解得x＝10，∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12，
∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30.
返回
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
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