3.8 圆内接正多边形-课件(共26张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共26张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
3.8 圆内接正多边形 教学过程内容
第1页：情境导入（约1.5分钟）
同学们，在我们的生活中藏着许多优美的几何图形。大家请看屏幕上的图片：天坛的祈年殿、古罗马的圆形剧场、精致的正六边形螺母……这些图形中都蕴含着一种特殊的多边形——正多边形。它们不仅对称美观，还与圆有着密切的联系。大家观察这些正多边形，有没有发现它们的顶点似乎都在同一个圆上？今天，我们就一起来探究这种特殊的关系——圆内接正多边形。通过本节课的学习，我们将掌握圆内接正多边形的定义、性质，以及如何利用圆来绘制正多边形。
第2页：新知探究一：圆内接正多边形的定义（约3分钟）
首先，我们回顾两个旧知识点：什么是正多边形？各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。什么是圆内接多边形？如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
结合这两个定义，大家能尝试给出圆内接正多边形的定义吗？（引导学生思考发言）没错，各边相等、各内角也相等的圆内接多边形叫做圆内接正多边形，这个外接圆的圆心叫做圆内接正多边形的中心，外接圆的半径叫做圆内接正多边形的半径。
大家思考一个问题：任意一个正多边形都有外接圆吗？答案是肯定的，任意正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆。我们可以通过尺规作图的方式验证，比如正三角形、正方形，它们的外接圆很容易作出，且中心就是它们的对称中心。
第3页：新知探究二：圆内接正多边形的相关概念（约4分钟）
结合屏幕上的圆内接正六边形图形，我们进一步认识圆内接正多边形的相关概念：1. 中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。如图，正六边形ABCDEF的中心为O，∠AOB就是它的一个中心角。2. 边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距，图中OH垂直于AB，OH的长度就是正六边形的边心距。
大家思考：正n边形有多少个中心角？每个中心角的度数是多少？因为正n边形的n条边都相等，所以它们所对的中心角也相等，因此正n边形有n个中心角，且每个中心角的度数为360°/n。比如正三角形的中心角是120°，正方形的中心角是90°，正六边形的中心角是60°，大家可以动手计算验证一下。
补充说明：圆内接正多边形的半径、边心距和边长的一半构成了一个直角三角形，其中斜边是半径，一条直角边是边心距，另一条直角边是边长的一半。这个直角三角形是解决正多边形相关计算问题的关键，大家一定要牢记这个基本模型。
第4页：新知探究三：圆内接正多边形的性质（约3分钟）
根据前面的探究，我们总结圆内接正多边形的主要性质：1. 圆内接正多边形是轴对称图形，它有n条对称轴，每条对称轴都经过正多边形的中心，同时也是正多边形的中心角的平分线、边的垂直平分线。2. 当n为偶数时，圆内接正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中心就是对称中心；当n为奇数时，圆内接正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形。比如正方形是中心对称图形，而正三角形不是。3. 同圆的内接正n边形和外切正n边形是相似图形，它们的相似比等于圆的半径与边心距的比。
我们通过实例验证性质：以圆内接正方形为例，它有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线，且这4条对称轴都经过中心；正方形是中心对称图形，中心就是对角线的交点。再比如正五边形，它有5条对称轴，每条都经过中心，但旋转180°后不能与自身重合，因此不是中心对称图形。
第5页：例题讲解（约5分钟）
例题1：已知一个圆内接正六边形的半径为6cm，求这个正六边形的边长、边心距和周长。
分析：我们先回忆正六边形的特殊性质，正六边形的中心角是60°，且正六边形的半径等于它的边长。接下来结合直角三角形模型求解边心距。
解答过程：1. 求边长：因为正六边形的中心角为360°/6=60°，且OA=OB（都是半径），所以△AOB是等边三角形，因此AB=OA=6cm，即正六边形的边长为6cm。2. 求边心距：作OH⊥AB于H，OH为边心距。在Rt△AOH中，OA=6cm，AH=AB/2=3cm，根据勾股定理，OH=√(OA - AH )=√(6 - 3 )=√27=3√3 cm。3. 求周长：正六边形的周长C=6×AB=6×6=36 cm。
总结：解决这类问题的关键是利用正多边形的中心角、半径、边心距构成的直角三角形，结合勾股定理或三角函数进行计算。大家要注意正六边形的特殊性质，半径等于边长，这是解题的突破口。
第6页：巩固练习（约4分钟）
1. 填空题：（1）正八边形的中心角是______度；（2）一个圆内接正三角形的半径为2cm，它的边心距是______cm。
2. 解答题：已知一个圆内接正方形的边心距为2cm，求这个正方形的半径和面积。
（给学生3分钟时间独立完成，然后指名学生回答，讲解解题思路）第1题（1）：正八边形中心角=360°/8=45°；（2）正三角形边心距=半径×sin30°=2×1/2=1cm。第2题：设正方形半径为R，边心距为2cm，在Rt△中，边心距=R×cos45°，即2=R×√2/2，解得R=2√2 cm；正方形边长=2×（R×sin45°）=2×（2√2×√2/2）=4cm，面积=4×4=16 cm 。
第7页：尺规作图：作圆内接正多边形（约3分钟）
我们以作圆内接正六边形和正方形为例，学习尺规作圆内接正多边形的方法：1. 作圆内接正六边形：（1）作一个圆O；（2）以圆上任意一点A为圆心，以圆O的半径为半径画弧，交圆O于B、F两点；（3）分别以B、F为圆心，同样的半径画弧，依次交圆O于C、E两点；（4）连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，六边形ABCDEF就是圆内接正六边形。
2. 作圆内接正方形：（1）作圆O的直径AC；（2）作直径BD垂直于AC，交点为O；（3）连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD就是圆内接正方形。
大家可以动手在练习本上作图，体会正多边形与圆的关系。思考：如何作圆内接正三角形？（引导学生：正三角形的中心角是120°，可以利用正六边形的顶点来作，间隔一个顶点连接即可）
第8页：课堂小结与作业布置（约1.5分钟）
小结：今天我们学习了圆内接正多边形的相关知识，大家回顾一下：1. 圆内接正多边形的定义和相关概念（中心、半径、中心角、边心距）；2. 圆内接正多边形的性质；3. 利用直角三角形模型解决正多边形的计算问题；4. 简单的尺规作图方法。核心是理解正多边形与圆的关系，掌握半径、边心距、边长之间的计算关系。
作业布置：1. 教材习题3.8第1、2、3题；2. 拓展题：尝试作一个圆内接正五边形，并思考其作图原理；3. 观察生活中的圆内接正多边形，记录3个实例并分析其应用优势。
探究新知
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
探究新知
怎样由圆得到多边形呢？
把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
探究新知
如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
解：连接 OD.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4 .
在Rt△COG 中，OC = 4，
∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为60°， 边长为 4，边心距为
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
O
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法一
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径 R . 所以，在半径为 R 的圆上，依次截取等于 R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
R
O
分别以F，C
为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，
与⊙O相交于点E，A和D，B，
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法二
作⊙O的任意一条直径FC，
F
C
E
A
D
B
则 A，B，C，D，E，F 是 ⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
O
C
D
A
B
返回
B
1.
正十边形的中心角的度数为(　　)
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
返回
2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
返回
3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为(　　)
A．8
B．10
C．12
D．14
返回
4.
B
返回
5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为(　　)
返回
6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　　)
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
返回
7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
返回
8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　)
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
返回
返回
10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
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11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
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12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为(　　)
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
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13.
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正 n 边形各顶点等分其外接圆
谢谢观看！