3.9 弧长及扇形的面积-课件(共30张PPT)-数学北师大版九年级下册

(共30张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.9 弧长及扇形的面积
新课导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
2πr
=20πcm
3.9 弧长及扇形的面积 教学课件幻灯片教学过程
第1页：情境引入——激发求知欲
1. 展示情境：播放200米田径比赛视频片段，聚焦运动员起跑位置，提问：“同学们观察到运动员的起跑位置相同吗？为什么终点相同但起跑位置要错开？”
2. 抽象问题：引导学生发现跑道弯道是圆弧，要保证路程相等，需计算弯道的“展直长度”，即弧长。引出课题：今天我们就来探究弧长及扇形的面积计算方法。
第2页：新知探究一——弧长公式推导
1. 回顾旧知：提问学生圆的周长公式（C=2πR），引导思考：圆的周长可看作多少度圆心角所对的弧长？（360°）
2. 分步探究：
（1）1°圆心角所对弧长：因为360°对应周长2πR，所以1°对应的弧长是2πR/360，简化为πR/180；
（2）n°圆心角所对弧长：n°是1°的n倍，因此弧长l=n×πR/180；
3. 公式说明：强调公式中n为圆心角度数（无单位），R为圆的半径，l、n、R三个量知二求一。
第3页：典例精讲一——弧长公式应用
1. 例题呈现：制造弯形管道时，需先计算中心线“展直长度”再下料。已知管道圆弧部分半径900mm，圆心角100°，直线部分长700mm，求展直长度L（结果取整数）。
2. 解题步骤：
（1）代入弧长公式：l=100×π×900/180=500π≈1570mm；
（2）计算展直长度：L=2×700+1570=2970mm；
3. 思路总结：展直长度=圆弧长+两段直线长度，强化公式实际应用场景。
第4页：新知探究二——扇形面积公式推导
1. 扇形定义：展示扇形图形，引导学生归纳：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
2. 类比推导：
（1）回顾圆的面积公式S=πR ，圆面积可看作360°圆心角对应的扇形面积；
（2）1°圆心角对应扇形面积：πR /360；
（3）n°圆心角对应扇形面积：S扇形=nπR /360；
3. 公式关联：对比弧长和扇形面积公式，引导发现：S扇形=1/2lR（将l=nπR/180代入S扇形=nπR /360推导得出）。
第5页：典例精讲二——扇形及弓形面积应用
1. 例题呈现：水平放置的圆柱形排水管道截面半径0.6m，水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留两位小数）。
2. 解题引导：
（1）构造图形：连接OA、OB，作AB的垂直平分线OD，得OD=0.6-0.3=0.3m，推出∠AOB=120°；
（2）转化思想：有水部分为弓形，面积=扇形OAB面积-△OAB面积；
（3）计算过程：S扇形=120×π×0.6 /360=0.12π，S△OAB=1/2×AB×OD≈0.1559，故有水面积≈0.22m 。
第6页：巩固提升——分层练习
1. 基础题：
（1）已知扇形半径3cm，圆心角60°，求弧长和面积；
（2）已知弧长4πcm，半径6cm，求扇形面积。
2. 提升题：扇形OAB中，OA=6cm，∠AOB=140°，AC为弦且∠CAO=60°，求弧BC的长。
3. 反馈矫正：师生共同核对答案，强调公式灵活运用及转化思想的重要性。
第7页：课堂小结与作业布置
1. 小结梳理：
（1）核心公式：弧长l=nπR/180，扇形面积S=nπR /360=1/2lR；
（2）数学思想：类比思想（弧长、扇形面积与圆的周长、面积类比）、转化思想（不规则图形面积转化为规则图形）。
2. 作业布置：
（1）必做题：教材对应练习第2、3题；
（2）选做题：计算折扇展开后扇面的面积（已知折扇半径30cm，圆心角120°）。
探究新知
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
探究新知
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为________________________.
n°
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（结果精确到0.1mm）.
110°
A
B
40mm
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
想一想
πr2 = 9π m2
解：半径为 3m 的圆的面积
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
想一想
n°
3m
狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？
O
半径
半径
圆心角
弧
B
A
O
A
B
扇形
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
扇形的定义：
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
O
A
B
扇形
半径
圆心角
（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大.
圆心角是360°
圆心角是180°
圆心角是90°
圆心角是270°
O
O
O
O
1个圆面积
个圆面积
个圆面积
个圆面积
圆的面积是 πR2，那么 1°圆心角所对的扇形的面积是_________.
圆面积的1/360
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为
S扇形=___________________.
比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表示扇形面积吗？
例2 扇形 AOB 的半径为12cm，∠AOB = 120°，求 的长（结果精确到0.1cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到0.1cm2）.
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B
1.
正十边形的中心角的度数为(　　)
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
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2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
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3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为(　　)
A．8
B．10
C．12
D．14
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4.
B
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5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为(　　)
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6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　　)
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
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7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
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8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　)
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
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10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
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11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
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12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为(　　)
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
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13.
计算公式
弧长
面积公式
面积公式
________
扇形
弓形
________
________
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
谢谢观看！