第三章 圆【章末复习】-课件(共36张PPT)-数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第三章 圆【章末复习】-课件(共36张PPT)-数学北师大版九年级下册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 06:15:28 | ||
图片预览
文档简介
(共36张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
章末复习
知识梳理
1. 圆的对称性
圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形，_____ 是它的对称中心.
O
轴
对称轴
中心
圆心
第三章 圆 章末复习 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：复习导入（2分钟）
同学们，第三章“圆”的学习已接近尾声。圆是平面几何中极具特殊性的图形，它蕴含着丰富的性质和规律，在生活中也有着广泛的应用，比如车轮的设计、卫星轨道的运行等，都离不开圆的知识。今天我们就对本章内容进行系统梳理，巩固重点知识，突破易错点，提升运用圆的知识解决实际问题的能力。首先，我们一起回顾本章的核心知识框架。
幻灯片2：核心知识梳理——圆的基本概念（5分钟）
1. 圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点为圆心，定长为半径。强调：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，同圆或等圆的半径相等。
2. 相关概念：弦（连接圆上任意两点的线段）、直径（经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、弧（圆上任意两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆）、等弧（在同圆或等圆中，能够互相重合的弧）、圆心角（顶点在圆心，两边与圆相交的角）、圆周角（顶点在圆上，两边与圆相交的角）。
3. 小提问：直径是弦吗？弦是直径吗？（引导学生明确直径与弦的包含关系）
幻灯片3：核心知识梳理——圆的性质（8分钟）
1. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。
2. 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。强调“不是直径”的条件，避免易错点。
3. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反过来，相等的弧所对的圆心角、弦相等，相等的弦所对的圆心角、优弧（或劣弧）相等。核心前提：“同圆或等圆”。
4. 圆周角定理及推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；推论2：圆内接四边形的对角互补。
5. 图形辅助理解：展示垂径定理、圆周角定理对应的示意图，标注关键元素，帮助学生直观记忆。
幻灯片4：核心知识梳理——直线与圆的位置关系（7分钟）
1. 三种位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。① 直线与圆相离：d＞r，无公共点；② 直线与圆相切：d＝r，有且只有一个公共点（切点）；③ 直线与圆相交：d＜r，有两个公共点（交点）。
2. 切线的性质与判定：① 性质：圆的切线垂直于过切点的半径；② 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。强调判定定理的两个条件：“过半径外端”“垂直于半径”，缺一不可。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
4. 小练习：已知圆O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l与圆O的位置关系是？（引导学生快速运用数量关系判断）
幻灯片5：核心知识梳理——圆与圆的位置关系（5分钟）
1. 五种位置关系：设两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d。① 外离：d＞R＋r，无公共点；② 外切：d＝R＋r，有且只有一个公共点；③ 相交：R－r＜d＜R＋r，有两个公共点；④ 内切：d＝R－r，有且只有一个公共点；⑤ 内含：d＜R－r，无公共点（特殊情况：d＝0时为同心圆）。
2. 图形展示：用示意图分别呈现五种位置关系，标注d、R、r的关系，帮助学生区分记忆，重点强调相交和相切的临界条件。
幻灯片6：典例精析1——垂径定理的应用（10分钟）
例题1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
分析：引导学生思考，过圆心作弦的垂线，可构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，一条直角边为圆心到弦的距离，另一条直角边为弦长的一半（垂径定理）。
解答过程：① 过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC＝AB/2＝4cm（垂径定理）；② 在Rt△OAC中，OC＝3cm，AC＝4cm，由勾股定理得OA＝√(OC ＋AC )＝√(3 ＋4 )＝5cm，即⊙O的半径为5cm。
变式提问：若将题目中“圆心O到AB的距离为3cm”改为“⊙O的半径为5cm”，求圆心O到AB的距离，该如何解答？（强化垂径定理与勾股定理的综合运用）
幻灯片7：典例精析2——圆周角定理的应用（10分钟）
例题2：如图，在⊙O中，AB是直径，点C、D在⊙O上，∠BCD＝30°，求∠ABD的度数。
分析：首先，AB是直径，根据圆周角推论，可得出∠ACB＝90°；其次，∠BCD与∠BAD所对的弧都是弧BD，因此∠BCD＝∠BAD（同弧所对的圆周角相等）；最后，在Rt△ABD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD。
解答过程：① ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ADB＝90°（半圆所对的圆周角是直角）；② ∵ ∠BCD和∠BAD都对弧BD，∴ ∠BAD＝∠BCD＝30°；③ 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°。
小结：解决圆周角相关问题，关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角，灵活运用圆周角定理及推论。
幻灯片8：典例精析3——切线的判定与性质（12分钟）
例题3：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，若∠A＝30°，求∠D的度数。
分析：① 切线的性质：CD是⊙O的切线，连接OC，则OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径）；② 等腰三角形性质：OA＝OC（同圆半径相等），则∠A＝∠OCA＝30°；③ 三角形外角性质：∠COD是△AOC的外角，可求出∠COD的度数；④ 最后在Rt△OCD中，求出∠D的度数。
解答过程：① 连接OC，∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥CD，即∠OCD＝90°；② ∵ OA＝OC，∴ ∠OCA＝∠A＝30°；③ ∠COD＝∠A＋∠OCA＝30°＋30°＝60°；④ 在Rt△OCD中，∠D＝90°－∠COD＝90°－60°＝30°。
思考：若要证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，常用什么方法？（连接圆心与公共点，证明垂直）；当直线与圆无明确公共点时，又该如何？（过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径）
幻灯片9：巩固练习（15分钟）
1. 基础题：已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角的度数是______，所对的圆周角的度数是______。（考查圆心角与弦的关系、圆周角定理）
2. 中档题：如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，若AB＝8，CD＝6，求⊙O的半径。（提示：连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，利用圆周角定理将CD转化为BF，再用勾股定理求解）
3. 提升题：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AB交PO于点C，延长PO交⊙O于点D。求证：① PO垂直平分AB；② ∠PAD＝∠PAB。（考查切线长定理、等腰三角形性质）
要求：学生独立完成，小组内交流答案，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解。
幻灯片10：课堂小结与易错点提醒（5分钟）
1. 知识梳理：回顾本章核心知识，包括圆的基本概念、性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，以及切线的判定与性质等，形成知识网络。
2. 易错点提醒：① 运用圆心角、弧、弦的关系时，忽略“同圆或等圆”的前提；② 垂径定理推论中，忘记“弦不是直径”的条件；③ 判定切线时，遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”的条件；④ 判断圆与圆位置关系时，混淆半径和圆心距的数量关系。
3. 解题技巧：遇到圆的相关问题，常作辅助线，如过圆心作弦的垂线、连接圆心与切点、连接直径所对的圆周角等，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理、圆周角定理求解。
幻灯片11：布置作业（3分钟）
1. 整理本章错题本，分析错误原因；2. 完成章末复习题A组全做，B组选做；3. 预习下一章内容，提前了解基本概念。
2. 垂径定理
这条弦
弦所对的两条弧
直径
弦所对的两条弧
C
D
A
B
M
O
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；
平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AM = BM，
3. 圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.
弧
弦
在同圆或等圆中，如果两个_______，两条____，两条____，中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别_______.
O
A
B
A′
B′
圆心角
弧
弦
相等
相等
4. 圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对弧的圆心角 .
·
A
C
B
O
·
A
C1
O
C2
C3
B
相等
度数的一半
4. 圆周角定理
·
A
C
B
O
·
A
C1
O
C2
C3
B
直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
直角
直径
5. 与圆有关的位置关系
r
·
O
A
P
P
P
圆外
圆上
圆内
>
=
<
·
l
O
r
l
l
相交
相切
相离
(1) 点与圆的位置关系
① d r
② d r
③ d r
（2）直线与圆的位置关系
① d r
② d r
③ d r
<
=
>
6. 圆的切线的性质
圆的切线 过切点的半径.
垂直于
∵l是⊙O的切线，切点为A，OA是⊙O的直径，
∴OA⊥l.
·
O
l
A
7. 圆的切线的判定
经过________的外端，并且________这条________的直线是圆的切线.
·
O
A
l
半径
垂直于
半径
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A,
∴ l是⊙O的切线.
8.切线长定理
A
P
O
.
B
从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB.
9. 圆的内接多边形
A
B
C
D
圆的内接四边形对角互补
圆的内接正多边形
10.弧长与扇形面积的计算
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 .
n°的圆心角所在的扇形面积为 .
返回
C
1.
下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆．其中说法正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
2.
56°
3.
如图，点O是正方形网格中的格点，点P，P1，P2，P3，P4是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点P2，则点P关于直线m的对称点是( )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
D
返回
4.
一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20 cm，弓形高CD为2 cm，则镜面半径是( )
A．24 cm
B．26 cm
C．28 cm
D．30 cm
B
返回
5.
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝________.
115°
返回
6.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为( )
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
A
返回
7.
B
返回
8.
3
返回
9.
如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，连接CA，CB，AB，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为________.
1
10.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE.
(1)求证：DB＝DE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形，
∴∠AED＋∠C＝180°.
∵∠BED＋∠AED＝180°，
∴∠BED＝∠C，∴∠BED＝∠B，∴DB＝DE.
(2)延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为________°.
38
返回
返回
11.
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，若⊙O的半径为2，且△ABC的面积为24，则△ABC的周长为( )
C
返回
12.
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为________.
20°
返回
13.
平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
返回
14.
在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点A为圆心，以4 cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
A
返回
15.
[2025安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________°.
20
返回
16.
如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为( )
D
17.
(8分)[2024济宁中考]如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE.
(1)若AB＝8，求AE的长；
解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠DAE＝∠CAB.
又∵AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，
∴△DAE≌△CAB，
∴AE＝AB＝8.
(2)求证：EB是⊙O的切线.
返回
圆
圆的有关性质
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距(圆心到弦的距离)，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
圆的概念
圆的对称性
圆
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
点与圆的位置关系
点在圆内：
r ＜ d ＜ R
直线与圆的位置的关系
添加辅助
线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式
谢谢观看！
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
章末复习
知识梳理
1. 圆的对称性
圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形，_____ 是它的对称中心.
O
轴
对称轴
中心
圆心
第三章 圆 章末复习 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：复习导入（2分钟）
同学们，第三章“圆”的学习已接近尾声。圆是平面几何中极具特殊性的图形，它蕴含着丰富的性质和规律，在生活中也有着广泛的应用，比如车轮的设计、卫星轨道的运行等，都离不开圆的知识。今天我们就对本章内容进行系统梳理，巩固重点知识，突破易错点，提升运用圆的知识解决实际问题的能力。首先，我们一起回顾本章的核心知识框架。
幻灯片2：核心知识梳理——圆的基本概念（5分钟）
1. 圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点为圆心，定长为半径。强调：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，同圆或等圆的半径相等。
2. 相关概念：弦（连接圆上任意两点的线段）、直径（经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、弧（圆上任意两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆）、等弧（在同圆或等圆中，能够互相重合的弧）、圆心角（顶点在圆心，两边与圆相交的角）、圆周角（顶点在圆上，两边与圆相交的角）。
3. 小提问：直径是弦吗？弦是直径吗？（引导学生明确直径与弦的包含关系）
幻灯片3：核心知识梳理——圆的性质（8分钟）
1. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。
2. 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。强调“不是直径”的条件，避免易错点。
3. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反过来，相等的弧所对的圆心角、弦相等，相等的弦所对的圆心角、优弧（或劣弧）相等。核心前提：“同圆或等圆”。
4. 圆周角定理及推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；推论2：圆内接四边形的对角互补。
5. 图形辅助理解：展示垂径定理、圆周角定理对应的示意图，标注关键元素，帮助学生直观记忆。
幻灯片4：核心知识梳理——直线与圆的位置关系（7分钟）
1. 三种位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。① 直线与圆相离：d＞r，无公共点；② 直线与圆相切：d＝r，有且只有一个公共点（切点）；③ 直线与圆相交：d＜r，有两个公共点（交点）。
2. 切线的性质与判定：① 性质：圆的切线垂直于过切点的半径；② 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。强调判定定理的两个条件：“过半径外端”“垂直于半径”，缺一不可。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
4. 小练习：已知圆O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l与圆O的位置关系是？（引导学生快速运用数量关系判断）
幻灯片5：核心知识梳理——圆与圆的位置关系（5分钟）
1. 五种位置关系：设两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d。① 外离：d＞R＋r，无公共点；② 外切：d＝R＋r，有且只有一个公共点；③ 相交：R－r＜d＜R＋r，有两个公共点；④ 内切：d＝R－r，有且只有一个公共点；⑤ 内含：d＜R－r，无公共点（特殊情况：d＝0时为同心圆）。
2. 图形展示：用示意图分别呈现五种位置关系，标注d、R、r的关系，帮助学生区分记忆，重点强调相交和相切的临界条件。
幻灯片6：典例精析1——垂径定理的应用（10分钟）
例题1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
分析：引导学生思考，过圆心作弦的垂线，可构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，一条直角边为圆心到弦的距离，另一条直角边为弦长的一半（垂径定理）。
解答过程：① 过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC＝AB/2＝4cm（垂径定理）；② 在Rt△OAC中，OC＝3cm，AC＝4cm，由勾股定理得OA＝√(OC ＋AC )＝√(3 ＋4 )＝5cm，即⊙O的半径为5cm。
变式提问：若将题目中“圆心O到AB的距离为3cm”改为“⊙O的半径为5cm”，求圆心O到AB的距离，该如何解答？（强化垂径定理与勾股定理的综合运用）
幻灯片7：典例精析2——圆周角定理的应用（10分钟）
例题2：如图，在⊙O中，AB是直径，点C、D在⊙O上，∠BCD＝30°，求∠ABD的度数。
分析：首先，AB是直径，根据圆周角推论，可得出∠ACB＝90°；其次，∠BCD与∠BAD所对的弧都是弧BD，因此∠BCD＝∠BAD（同弧所对的圆周角相等）；最后，在Rt△ABD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD。
解答过程：① ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ADB＝90°（半圆所对的圆周角是直角）；② ∵ ∠BCD和∠BAD都对弧BD，∴ ∠BAD＝∠BCD＝30°；③ 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°。
小结：解决圆周角相关问题，关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角，灵活运用圆周角定理及推论。
幻灯片8：典例精析3——切线的判定与性质（12分钟）
例题3：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，若∠A＝30°，求∠D的度数。
分析：① 切线的性质：CD是⊙O的切线，连接OC，则OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径）；② 等腰三角形性质：OA＝OC（同圆半径相等），则∠A＝∠OCA＝30°；③ 三角形外角性质：∠COD是△AOC的外角，可求出∠COD的度数；④ 最后在Rt△OCD中，求出∠D的度数。
解答过程：① 连接OC，∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥CD，即∠OCD＝90°；② ∵ OA＝OC，∴ ∠OCA＝∠A＝30°；③ ∠COD＝∠A＋∠OCA＝30°＋30°＝60°；④ 在Rt△OCD中，∠D＝90°－∠COD＝90°－60°＝30°。
思考：若要证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，常用什么方法？（连接圆心与公共点，证明垂直）；当直线与圆无明确公共点时，又该如何？（过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径）
幻灯片9：巩固练习（15分钟）
1. 基础题：已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角的度数是______，所对的圆周角的度数是______。（考查圆心角与弦的关系、圆周角定理）
2. 中档题：如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，若AB＝8，CD＝6，求⊙O的半径。（提示：连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，利用圆周角定理将CD转化为BF，再用勾股定理求解）
3. 提升题：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AB交PO于点C，延长PO交⊙O于点D。求证：① PO垂直平分AB；② ∠PAD＝∠PAB。（考查切线长定理、等腰三角形性质）
要求：学生独立完成，小组内交流答案，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解。
幻灯片10：课堂小结与易错点提醒（5分钟）
1. 知识梳理：回顾本章核心知识，包括圆的基本概念、性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，以及切线的判定与性质等，形成知识网络。
2. 易错点提醒：① 运用圆心角、弧、弦的关系时，忽略“同圆或等圆”的前提；② 垂径定理推论中，忘记“弦不是直径”的条件；③ 判定切线时，遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”的条件；④ 判断圆与圆位置关系时，混淆半径和圆心距的数量关系。
3. 解题技巧：遇到圆的相关问题，常作辅助线，如过圆心作弦的垂线、连接圆心与切点、连接直径所对的圆周角等，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理、圆周角定理求解。
幻灯片11：布置作业（3分钟）
1. 整理本章错题本，分析错误原因；2. 完成章末复习题A组全做，B组选做；3. 预习下一章内容，提前了解基本概念。
2. 垂径定理
这条弦
弦所对的两条弧
直径
弦所对的两条弧
C
D
A
B
M
O
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；
平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AM = BM，
3. 圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.
弧
弦
在同圆或等圆中，如果两个_______，两条____，两条____，中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别_______.
O
A
B
A′
B′
圆心角
弧
弦
相等
相等
4. 圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对弧的圆心角 .
·
A
C
B
O
·
A
C1
O
C2
C3
B
相等
度数的一半
4. 圆周角定理
·
A
C
B
O
·
A
C1
O
C2
C3
B
直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
直角
直径
5. 与圆有关的位置关系
r
·
O
A
P
P
P
圆外
圆上
圆内
>
=
<
·
l
O
r
l
l
相交
相切
相离
(1) 点与圆的位置关系
① d r
② d r
③ d r
（2）直线与圆的位置关系
① d r
② d r
③ d r
<
=
>
6. 圆的切线的性质
圆的切线 过切点的半径.
垂直于
∵l是⊙O的切线，切点为A，OA是⊙O的直径，
∴OA⊥l.
·
O
l
A
7. 圆的切线的判定
经过________的外端，并且________这条________的直线是圆的切线.
·
O
A
l
半径
垂直于
半径
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A,
∴ l是⊙O的切线.
8.切线长定理
A
P
O
.
B
从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB.
9. 圆的内接多边形
A
B
C
D
圆的内接四边形对角互补
圆的内接正多边形
10.弧长与扇形面积的计算
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 .
n°的圆心角所在的扇形面积为 .
返回
C
1.
下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆．其中说法正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
2.
56°
3.
如图，点O是正方形网格中的格点，点P，P1，P2，P3，P4是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点P2，则点P关于直线m的对称点是( )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
D
返回
4.
一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20 cm，弓形高CD为2 cm，则镜面半径是( )
A．24 cm
B．26 cm
C．28 cm
D．30 cm
B
返回
5.
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝________.
115°
返回
6.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为( )
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
A
返回
7.
B
返回
8.
3
返回
9.
如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，连接CA，CB，AB，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为________.
1
10.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE.
(1)求证：DB＝DE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形，
∴∠AED＋∠C＝180°.
∵∠BED＋∠AED＝180°，
∴∠BED＝∠C，∴∠BED＝∠B，∴DB＝DE.
(2)延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为________°.
38
返回
返回
11.
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，若⊙O的半径为2，且△ABC的面积为24，则△ABC的周长为( )
C
返回
12.
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为________.
20°
返回
13.
平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
返回
14.
在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点A为圆心，以4 cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
A
返回
15.
[2025安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________°.
20
返回
16.
如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为( )
D
17.
(8分)[2024济宁中考]如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE.
(1)若AB＝8，求AE的长；
解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠DAE＝∠CAB.
又∵AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，
∴△DAE≌△CAB，
∴AE＝AB＝8.
(2)求证：EB是⊙O的切线.
返回
圆
圆的有关性质
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距(圆心到弦的距离)，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
圆的概念
圆的对称性
圆
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
点与圆的位置关系
点在圆内：
r ＜ d ＜ R
直线与圆的位置的关系
添加辅助
线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式
谢谢观看！