3.6直线和圆的位置关系寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.6直线和圆的位置关系寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 06:25:17 | ||
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文档简介
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3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
3．若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．如图，在△ABC中， AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（ ）
A．AG平分CD
B．
C．点E是△ABC的内心
D．点E到点A，B，C的距离相等
6．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
9．等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ）
A．6 B． C． D．3
10．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．当你站在博物馆的展览厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距地面2.5米，最低点Q距地面2米，观赏者的眼睛F距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（ ）米．
A．1 B．0.6 C．0.5 D．0.4
12．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
13．过圆外一点可以作圆的 条切线；过圆上一点可以作圆的 条切线；过圆内一点的圆的切线 ．
14．两圆半径分别为和，当圆心距为时，两圆的位置关系是 ．
15．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝ ．
16．在平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 .
17．如图，已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上移动, 则当OB= cm时, ⊙O与AB相切
三、解答题
18．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，记的半径，求证：．
19．如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明．
20．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围．
21．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）．
(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；
(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；
(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
23．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组 .
（1）求函数y的表达式；
（2）若点P的坐标为（m,0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围.
24．已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．
【解决问题】：
(1)证明：是的内切圆；
(2)若，，求的半径．
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C C B B C A
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可．
【解答】解：、，，
是△的中位线，
，
，
，
是的切线，故本选项不符合题意；
B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意；
C、，
，
，
，
，
，
，
是的切线，故本选项不符合题意；
D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．B
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【详解】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,熟悉直线与圆的位置关系是解题关键.
3．B
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是，等面积法即可求解．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8，根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是，
设直角三角形内切圆半径为r，则，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理以及三角形内切圆与内心，牢记直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解此题的关键．
4．B
【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，
∵ ，
∴．
∵为的中点，
∴ ．
又∵点与点关于对称，
∴ ，
∴．
又∵ ，
根据勾股定理得，即的最小值为．
故选：B.
5．C
【分析】根据作法可得CD平分∠ACB，结合题意即可求解．
【详解】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【点睛】此题考查了尺规作图（角平分线），以及三角形角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
【详解】解：∵直线l与相交，
∴点O到直线l的距离，
又∵，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，①正确；
②由图可知不一定；
∵为的切线，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，③正确．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
9．C
【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接，
则：点是三条角平分线的交点， ，
∴，，
∴三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，即的半径为；
故选C．
10．A
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点作、、，设，，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可．
【详解】解：如下图所示，过点作、、，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
是的内切圆，
设，，
则有，，，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，，
．
故选：A ．
11．B
【分析】可根据切割线定理得出HE2=HQ HP，HE=x，然后根据PR=2.5m，QR=2m，HR=1.6m，进而求出HE．
【详解】解：由题意可知：据PR=2.5m，QR=2m，HR=1.6m，HE=x，
∴HQ=QR﹣HR=0.4m，PH=PR﹣HR=0.9m，
∵HE是圆O的切线，
∴HE2=HQ HP，
∴x2=0.4×0.9
解得：x=0.6．
故选B．
12．A
【分析】连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误；
由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④.
【详解】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选A．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点.
13． 2 1 0条
【分析】根据切线的定义即可直接写出答案．
【详解】解：过圆外一点可以作圆的2条切线，过圆上一点可以作圆的1条切线，过圆内一点的圆的切线0条.
故答案是：2，1，0条
【点睛】本题考查了切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．此题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
14．相交
【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，由两圆半径分别为和，圆心距为，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【详解】解：∵两圆半径分别为和，
∴两圆半径和为：，差为：，
∵圆心距为，
∴两圆的位置关系是：相交．
15．1.5
【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论．
【详解】连接DE，如图，
∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
∵点M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN是△ODE的中位线．
∴MN＝DE＝1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键．
16．相交
【分析】本题可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较.
【详解】圆心到y轴的距离是3<5，
则圆的y轴所在直线的位置关系是相交．
故答案是：相交．
【点睛】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
17．4
【详解】试题解析：如图，设切点为M，连接OM，
∴OM⊥AB，∵OM=2，∠B=30°，∴OB=4．【点睛】本题主要考查切线的性质、含30度角的直角三角形，关键在于根据题意画出图形，然后作出辅助线OM．
18．(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）如图所示（见详解），连接，是的直径，是的切线，即，根据，，可证，则有，由此即可求证；
（2）是的直径，可知，由（1）可知，由此可求出，从而证明，且，由此即可求证．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）证明：是圆的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基本知识，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．相切，证明见解析
【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键．
【详解】解：相切，理由如下，
过点P作于点E，
∵点是平分线上一点，
∴，
即为的半径，
∴与相切．
20．当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法．
判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点．
，
．
．
①当与相离时，有，即，解得．
又点O在上（不与点重合），，；
②当与相切时，有，即，解得；
③当与相交时，有，即，解得．
又．
综上所述，当与相离时，；
当与相切时，；
当与相交时，．
21．(1)60°；
(2)见解析；
(3)4
【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答；
（2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD =∠APB，最后证△DAO≌△APB；
（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值．
【详解】（1）连接AP，OP，
根据题意可知，∠AOP = 120°
所对的圆心角为∠AOP，
∴ ∠PCA=∠AOP = 60°；
（2）连接PO，
根据题意可知，∠AOE= ∠BOP = 60°，
∵BO = PO，
∴ΔBOP是等边三角形，
∴PB = OB，∠ABP = ∠AOD = 60°，
∵AO = OB，
∴AO = BP ，
∵AB是直径，
∴∠APB = 90°，
∵AD是OO的切线，
∴∠OAD = 90°，
∴∠OAD =∠APB，
在ΔDAO和ΔAPB中
∴；
（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，
根据对称性可知EO =E'O =2，
根据题意可知∠AOE= 60°，
∵AO = EO，
∴ΔΑΕΟ是等边三角形，
∴∠AEO = 60°，
∵ΕΕ'⊥AO，
∴∠ΟEE'= ∠AEO = 30°，
∴∠EE'O =∠OEE'= 30°，
∴∠EΟE'= 120°，
∵∠AOE =∠BOP = 60°，
∴∠EOP = 180°-∠AOE-∠BOP=60°，
∴∠EOP + ∠EOE'=180°，
∴E'、O、P在同一条直线上，
∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM = E'P = 2+ 2 = 4．
【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用．
22．（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
【详解】解：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为⊙O的直径；
（2）DE与⊙O相切，
理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：连接BF，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，DE=BF，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴BF=，则DE=BF=．
23．（1）y=-x+；（2）3-≤m≤3+.
【分析】（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；
（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．
【详解】（1）,
①×3，得3x+9y=12-3a③
②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3,
得，y=-x+；
（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0）.
当x=0时，y=，即函数y的图象与y轴交于点B（0，）,
当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC直线y，
此时∠PCA=90°,
∴∠PCA=∠BOA,
且∠BAO=∠PAC,
∴△ABO∽△APC,
∴，即，
∴AC=2,
∴PA=,
此时，P的横坐标为3-或3+,
∴当圆P与直线y有交点时，3-≤m≤3+.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．
24．(1)见详解
(2)2
【分析】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，根据角平分线的性质有OP=OD=OM，即O点到Rt△ABC三边的距离相等，则有O点是Rt△ABC的内心，可知⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，先证明四边形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再证明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，则有AB=AD+BD=AP+BM，则r可求．
【详解】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图，
根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，
∴OP=OD，OD=OM，
∴OP=OD=OM，
∴O点到Rt△ABC三边的距离相等，
∴O点是Rt△ABC的内心，
∴⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，
∴四边形OPCM是正方形，
∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，
∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，
∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，
∴BM=BD，
同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，
∴r=2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
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3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
3．若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．如图，在△ABC中， AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（ ）
A．AG平分CD
B．
C．点E是△ABC的内心
D．点E到点A，B，C的距离相等
6．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
9．等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ）
A．6 B． C． D．3
10．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．当你站在博物馆的展览厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距地面2.5米，最低点Q距地面2米，观赏者的眼睛F距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（ ）米．
A．1 B．0.6 C．0.5 D．0.4
12．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
13．过圆外一点可以作圆的 条切线；过圆上一点可以作圆的 条切线；过圆内一点的圆的切线 ．
14．两圆半径分别为和，当圆心距为时，两圆的位置关系是 ．
15．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝ ．
16．在平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 .
17．如图，已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上移动, 则当OB= cm时, ⊙O与AB相切
三、解答题
18．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，记的半径，求证：．
19．如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明．
20．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围．
21．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）．
(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；
(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；
(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
23．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组 .
（1）求函数y的表达式；
（2）若点P的坐标为（m,0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围.
24．已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．
【解决问题】：
(1)证明：是的内切圆；
(2)若，，求的半径．
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C C B B C A
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可．
【解答】解：、，，
是△的中位线，
，
，
，
是的切线，故本选项不符合题意；
B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意；
C、，
，
，
，
，
，
，
是的切线，故本选项不符合题意；
D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．B
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【详解】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,熟悉直线与圆的位置关系是解题关键.
3．B
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是，等面积法即可求解．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8，根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是，
设直角三角形内切圆半径为r，则，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理以及三角形内切圆与内心，牢记直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解此题的关键．
4．B
【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，
∵ ，
∴．
∵为的中点，
∴ ．
又∵点与点关于对称，
∴ ，
∴．
又∵ ，
根据勾股定理得，即的最小值为．
故选：B.
5．C
【分析】根据作法可得CD平分∠ACB，结合题意即可求解．
【详解】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【点睛】此题考查了尺规作图（角平分线），以及三角形角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
【详解】解：∵直线l与相交，
∴点O到直线l的距离，
又∵，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，①正确；
②由图可知不一定；
∵为的切线，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，③正确．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
9．C
【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接，
则：点是三条角平分线的交点， ，
∴，，
∴三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，即的半径为；
故选C．
10．A
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点作、、，设，，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可．
【详解】解：如下图所示，过点作、、，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
是的内切圆，
设，，
则有，，，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，，
．
故选：A ．
11．B
【分析】可根据切割线定理得出HE2=HQ HP，HE=x，然后根据PR=2.5m，QR=2m，HR=1.6m，进而求出HE．
【详解】解：由题意可知：据PR=2.5m，QR=2m，HR=1.6m，HE=x，
∴HQ=QR﹣HR=0.4m，PH=PR﹣HR=0.9m，
∵HE是圆O的切线，
∴HE2=HQ HP，
∴x2=0.4×0.9
解得：x=0.6．
故选B．
12．A
【分析】连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误；
由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④.
【详解】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选A．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点.
13． 2 1 0条
【分析】根据切线的定义即可直接写出答案．
【详解】解：过圆外一点可以作圆的2条切线，过圆上一点可以作圆的1条切线，过圆内一点的圆的切线0条.
故答案是：2，1，0条
【点睛】本题考查了切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．此题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
14．相交
【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，由两圆半径分别为和，圆心距为，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【详解】解：∵两圆半径分别为和，
∴两圆半径和为：，差为：，
∵圆心距为，
∴两圆的位置关系是：相交．
15．1.5
【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论．
【详解】连接DE，如图，
∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
∵点M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN是△ODE的中位线．
∴MN＝DE＝1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键．
16．相交
【分析】本题可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较.
【详解】圆心到y轴的距离是3<5，
则圆的y轴所在直线的位置关系是相交．
故答案是：相交．
【点睛】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
17．4
【详解】试题解析：如图，设切点为M，连接OM，
∴OM⊥AB，∵OM=2，∠B=30°，∴OB=4．【点睛】本题主要考查切线的性质、含30度角的直角三角形，关键在于根据题意画出图形，然后作出辅助线OM．
18．(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）如图所示（见详解），连接，是的直径，是的切线，即，根据，，可证，则有，由此即可求证；
（2）是的直径，可知，由（1）可知，由此可求出，从而证明，且，由此即可求证．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）证明：是圆的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基本知识，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．相切，证明见解析
【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键．
【详解】解：相切，理由如下，
过点P作于点E，
∵点是平分线上一点，
∴，
即为的半径，
∴与相切．
20．当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法．
判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点．
，
．
．
①当与相离时，有，即，解得．
又点O在上（不与点重合），，；
②当与相切时，有，即，解得；
③当与相交时，有，即，解得．
又．
综上所述，当与相离时，；
当与相切时，；
当与相交时，．
21．(1)60°；
(2)见解析；
(3)4
【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答；
（2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD =∠APB，最后证△DAO≌△APB；
（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值．
【详解】（1）连接AP，OP，
根据题意可知，∠AOP = 120°
所对的圆心角为∠AOP，
∴ ∠PCA=∠AOP = 60°；
（2）连接PO，
根据题意可知，∠AOE= ∠BOP = 60°，
∵BO = PO，
∴ΔBOP是等边三角形，
∴PB = OB，∠ABP = ∠AOD = 60°，
∵AO = OB，
∴AO = BP ，
∵AB是直径，
∴∠APB = 90°，
∵AD是OO的切线，
∴∠OAD = 90°，
∴∠OAD =∠APB，
在ΔDAO和ΔAPB中
∴；
（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，
根据对称性可知EO =E'O =2，
根据题意可知∠AOE= 60°，
∵AO = EO，
∴ΔΑΕΟ是等边三角形，
∴∠AEO = 60°，
∵ΕΕ'⊥AO，
∴∠ΟEE'= ∠AEO = 30°，
∴∠EE'O =∠OEE'= 30°，
∴∠EΟE'= 120°，
∵∠AOE =∠BOP = 60°，
∴∠EOP = 180°-∠AOE-∠BOP=60°，
∴∠EOP + ∠EOE'=180°，
∴E'、O、P在同一条直线上，
∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM = E'P = 2+ 2 = 4．
【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用．
22．（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
【详解】解：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为⊙O的直径；
（2）DE与⊙O相切，
理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：连接BF，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，DE=BF，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴BF=，则DE=BF=．
23．（1）y=-x+；（2）3-≤m≤3+.
【分析】（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；
（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．
【详解】（1）,
①×3，得3x+9y=12-3a③
②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3,
得，y=-x+；
（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0）.
当x=0时，y=，即函数y的图象与y轴交于点B（0，）,
当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC直线y，
此时∠PCA=90°,
∴∠PCA=∠BOA,
且∠BAO=∠PAC,
∴△ABO∽△APC,
∴，即，
∴AC=2,
∴PA=,
此时，P的横坐标为3-或3+,
∴当圆P与直线y有交点时，3-≤m≤3+.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．
24．(1)见详解
(2)2
【分析】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，根据角平分线的性质有OP=OD=OM，即O点到Rt△ABC三边的距离相等，则有O点是Rt△ABC的内心，可知⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，先证明四边形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再证明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，则有AB=AD+BD=AP+BM，则r可求．
【详解】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图，
根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，
∴OP=OD，OD=OM，
∴OP=OD=OM，
∴O点到Rt△ABC三边的距离相等，
∴O点是Rt△ABC的内心，
∴⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，
∴四边形OPCM是正方形，
∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，
∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，
∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，
∴BM=BD，
同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，
∴r=2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
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