3.8圆内接正多边形寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．内角为的正多边形是（ ）
A． B． C． D．
2．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．150°或30°
3．如图，正五边形的外接圆为，P为优弧上一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A 的度数为（ ）
A．36° B．56° C．72° D．144°
8．如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
10．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是（ ）
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
11．边长为2的等边三角形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
12．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的是（　　）
A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2
C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4
二、填空题
13．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ．
14．正八边形的内角是 度，外角是 度，中心角是 度．
15．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ．
16．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．

17．如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题
18．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
19．各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
20．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
21．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
22．求半径为的圆内接正四边形的边长、边心距和面积．
23．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长．
（2）求这个正六边形的边心距．
（3）设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB划过的面积.
24．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_______，此时BD=_______；
②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．
《3.8圆内接正多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B B D B D A
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】先求解正多边形的每一个外角，再利用外角和除以这个外角的大小可得正多边形的边数，从而可得答案．
【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为：
∴正多边形的边数为：
故选B
【点睛】本题考查的是正多边形的内角与相邻的外角互补，求解正多边形的边数，掌握“利用正多边形的外角和为”是解本题的关键．
2．D
【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案．
【详解】如图，
根据题意得：OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
∴∠ADB=180° ∠ACB=150°.
即这条弦所对的圆周角的度数为：30°或150°.
故答案为30°或150°.
【点睛】本题考查圆周角定理与圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理与圆的内接四边形的性质.
3．A
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，则，则可由圆周角定理得到．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】根据题意，设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，分别表示出黑色部分面积和正方形的面积，进而即可求得的比值．
【详解】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a
∴，圆的面积为
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
∴黑色部分面积为圆面积的一半
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形为的内接正五边形，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
故选：B
6．B
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得到∠A+∠C=180°，把∠C=36°代入计算即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
而∠C=36°，
∴∠A=180°-36°=144°
故选D．
【点睛】考查了圆的内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补．
8．B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠ABC，
∵
∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE
∴AC=CE
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质．
9．D
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
10．A
【分析】根据正三角形，正方形，正六边形的周长为，即可求出各图形的边长，再结合正多边形的性质和解直角三角形，即可求解各图的面积
【详解】如图（1），正三角形的周长为
AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，
∴ OD＝．
∴ ．

如图（2），正方形的周长为
AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．
如图（3），正六边形的周长为
CD＝2，
∴OC＝2，CM＝1，
∴OM＝．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图像，再根据正三角形，正方形，正六边形的周长求出各图形的边长，再分别求出其面积进行比较．
11．A
【分析】设是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，由，得，而，则，由，求得即可．
【详解】解：如图，是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴边长为2的等边三角形的边心距是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】设等边三角形的边长是，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率；设正方形的边长是，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是，过作交于，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．
【详解】解：设等边三角形的边长是，则等边三角形的周率
设正方形的边长是，由勾股定理得：对角线是，则正方形的周率是，
设正六边形的边长是，过作交于，得到平行四边形和等边三角形，直径是，
正六边形的周率是，
圆的周率是，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解题的关键是理解题意并能根据性质进行计算．
13．36
【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴正六边形的中心角是，
故答案为：36．
14． 135 45 45
【分析】此题主要考查了正多边形的中心角与内角度数的求法，关键是掌握多边形内角与外角的关系．
利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数，进而可得到内角的度数；根据正多边形的圆心角定义可知：正边形的中心角为：，代入求解即可．
【详解】解：∵正八边形的每个外角为：，
∴每个内角为；
正八边形的中心角为：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：在正六边形中，，
，
，
故答案为：．
16．/36度
【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质，可求出正五边形的每个内角度数，再根据等腰三角形的性质得出是等腰三角形，并求出各个内角度数，由全等三角形的性质可求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，即五边形是正五边形，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握正五边形的性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
17．
【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积．如图，过点作于点，于点．证明，，可得，，从而可得答案．
【详解】如图，过点作于点，于点．
点是正方形的中心，，，
，
，
，即，
，
，即，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．见解析
【分析】作互相垂直的两条直径AC，BD即可解决问题．
【详解】如图，正方形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．是，理由见解析；不一定，如可以是长方形
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理得出各边相等的圆内接四边形的各角一定相等，得出各边相等的圆内接四边形是正多边形；各角相等的圆内接四边形，例如矩形不是正四边形．
【详解】解：各边相等的圆内接四边形是正方形；理由如下：
各边相等的圆内接四边形的各角是圆周角，一定相等，
各边相等的圆内接四边形是正方形；
各角相等的圆内接四边形不一定是正多边形，
例如：长方形的四个角相等，
但长方形不是正四边形．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，矩形的性质；解题的关键是正确理解正多边形的概念．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．
21．见解析
【详解】试题分析：根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．
试题解析：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
22．，，
【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，可得，根据勾股定理，可得到正方形的边长，从得到正方形的面积，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：根据题意如图， 的内接正方形为ABCD，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵的半径为，
∴OB=OC=6cm，
在 中，由勾股定理得：
，
∴正方形为ABCD的面积为 ，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴点G为BC的中点，即OG是 的中点，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（1）正六边形的边长为2；（2）OD=；（3）线段AB划过的面积为πcm2 ．
【分析】（1）根据题意和正六边形的性质求出正六边形的边长；
（2）求出正六边形的中心角，根据正弦的概念解答即可；
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．
【详解】（1）∵六边形DFABGE是正六边形，
∴∠EDF=∠DFA=∠FAB=∠ABG=∠BGE=∠GED=120°，DE=DF，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴△HDE是等边三角形，
∴HD=DE=HE，
同理：FK=KA=AF，
∴HD=DF=FK=2，
∴正六边形的边长为2 cm；
（2）解：连接OA，OB，过点O作ON⊥AB于点N，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴ON=OA sin60°=2×cm；
（3）如图：
线段AB划过的轨迹是一个圆环，其面积=π×22﹣π×（）2=πcm2 ．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距，正确运用三角函数或勾股定理进行计算是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）①4，；②60°
【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；
（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求得BD；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．
【详解】(1)证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP∥AB，
∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=AB，
∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
∴△CDP≌△POB(SAS)；
(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，
(4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4；
BD==
②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∵四边形BPDO是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA的度数为60°.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS得出△CDP≌△POB.
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