6.2反比例函数的图像和性质寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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6.2反比例函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（ ）
A．4 B． C． D．2
2．已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
3．如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数图像上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，的面积将（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
4．点，，，在反比例函数的图像上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
7．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．分布在第二、第四象限
C．关于直线对称 D．越大，越接近轴
8．若点都在反比例函数（m为常数）的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象上有两点A、C，点A在第二象限，点C在第四象限，以为对角线作矩形，其中轴．若点B在函数的图象上，且矩形的面积50，则m的值为（ ）
A． B． C．6 D．3
10．已知、、是反比例函数上的三点，若，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
12．若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是( )
A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ．
14．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则 ．
15．已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为 ．
16．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是 ．（写一个符合条件的m的值即可）
17．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为。点为轴上的一点， 连接，.若的面积为， 则的值是 ．
三、解答题
18．如图，平面直角坐标系中矩形的一边在x轴上，B点的坐标为．双曲线交于点P，交于点Q．
（1）若P为边的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）若双曲线和线段有公共点，求k的取值范围；
（3）连接，当存在时，是否总成立 若成立请证明，若不成立，请说明理由．
19．小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：

x … 0 1 2 …
y … 3 2 m …
(1)绘制函数图象．
①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(2)探究函数性质．
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数图象关于原点对称；（ ）
函数图象与直线没有交点；（ ）
②请写出该函数图象的变化趋势 ．
20．（1）在所给平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象；
（2）函数的图象是轴对称图形吗？有几条对称轴？
（3）上述图象的两个分支是否成中心对称，请指出对称中心，并写出两对对称点坐标．
21．下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______．
22．对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是________．
(2)根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．
0 1 3 4 5
－6 6 3 2
(3)从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．
23．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．
24．如图，已知反比例函数的图像的一个分支，补画它的另一个分支．
《6.2反比例函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C C D C D C A
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】本题综合考查了反比例函数系数k的几何意义，同底等高三角形的面积相等，重点掌握反比例函数系数k的几何意义．
连接，根据，可得，即可求解．
【详解】解∶如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴．
故选：A
2．A
【详解】∵反比例函数的k=3＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
∴当x1＞x2＞0时，有0＜y1＜y2．故选A．
考点：反比例函数的性质．
3．C
【分析】根据反比例函数的性质可知，的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，由此可解．
【详解】解：根据反比例函数的增减性可知：反比例函数图象y随x的增大而减小，
的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，
又不变，
的面积将逐渐减小．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握：对于反比例函数，当时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
4．C
【分析】根据题意易知反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知，
∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数的图像上，
∴，
∴最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数的增减性和绝对值运算来解答.
比较出点和点横坐标的大小，得出和的大小；再根据反比例函数判断出和之间的大小关系.
【详解】解：
，
，
又∵反比例函数在每一象限内，函数值随的值增大而减小，
∵，
∴
故选: C.
6．D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的性质及一次函数的图象．先根据题意判断出、的符号，故可得出的符号，进而得出结论．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
，
反比例函数的图象在二、四象限．
故选：D．
7．C
【分析】根据反比例函数的性质，k=5＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【详解】解：A、把点（2，3）代入反比例函数，得2.5≠3不成立，故A选项错误；
B、∵k=5＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
C、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故C选项正确；
D、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
8．D
【分析】由可知，反比例函数的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，由于，所以，由于点C在第一象限，故，从而可得结果．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（m为常数）的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴点C在第一象限，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，要比较点的横坐标的大小，解本题的关键在熟练掌握反比例函数在每个象限的增减性．
9．C
【分析】本题考查了反比例，矩形的性质等知识，设，根据反比例函数点的坐标特点求出，，然后根求出，，然后根据矩形的面积求解即可．
【详解】解∶ 设，则，
∴
∵矩形，轴，
∴轴，轴，
∴B的纵坐标为b，
又B在图象上，
∴B的横坐标为，
∴C的横坐标为，
又C在的图象上，
∴C的纵坐标为，
∴，
∴，，
∵矩形的面积50，
∴，
∴，即
∴，
故选∶C．
10．A
【详解】解：∵反比例函数中，1＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1x2＞0．A不正确．故选A．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．
11．C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查反比例函数的性质，先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∴图象位于第二、四象限；故A错误；
点不在该函数图象上；故B错误；
当时，y随x的增大而增大，故C正确；
当时，或；故D错误；
故选：C
13．3
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【详解】连接OC，如图，
∵轴于点A，C是线段AB的中点，
∴，
而，
∴，
而，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
14．8
【分析】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，2b），根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：如图作EF⊥BC，则，
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
15．3
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
解得：，
∵它的两个分支分别在第一、三象限，
∴，即，
则．
故答案为：3．
16．1（不唯一）
【分析】根据反比例函数增减性进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x增大而减小，
∴，
∴m的值可以是1，
故答案为：1（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
17．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18．（1），；（2）＜；（3）成立，证明见解析．
【分析】（1）由中点坐标公式先求解的坐标，可得反比例函数解析式，再求解的纵坐标即可；
（2）反比例函数的k=xy，由线段BC上的点的纵坐标为3，可得： 再根据的范围求解的范围即可得；
（3）分别先表示的坐标，再求解 再证明：再证明：利用相似三角形的性质，可得结论．
【详解】解：（1） P为边BC的中点，，
P（2，3），，
函数表达式为．
由图可知点Q的横坐标为4， 把x=4代入，
解得：， 则；
（2） 线段BC上的点的纵坐标为3，
由双曲线(x＞0)和线段BC有公共点，即y的值恒为3，
当x值取最大值为4时，可得k最大值为12，
又反比例函数的图像在第一象限，
＞
则k取值范围为0＜k≤12；
（3）成立；理由如下：
点P、Q都是在反比例函数上，
由，可得：；
．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的图像与性质，三角形相似的判定与性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)①1，②③见详解
(2)①；，②每一个分支上，函数值y随x的增大而减小
【分析】本题考查函数的图形及性质．
（1）①将代入即得m的值；②描出即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；
（2）①②根据图象，数形结合即可判断．
【详解】（1）解：①时，，
故答案为：1；
②如图：
，
∴A即为的点；
③补充图象如图：

（2）解：根据函数图象可得：
①图象关于对称，故“函数图象关于原点对称”的说法错误，应为：，
时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为．
故答案为： ；．
②该函数图象的变化趋势：每一个分支上，函数值y随x的增大而减小．
20．（1）见解析（2）函数的图象是轴对称图形，有条对称轴；（3）图象的两个分支成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和、和．
【分析】(1)从正数,负数中各选几个值作为x的值,进而得到y的值,描点,连线即可;
(2)观察函数的图象即可确定其对称性;
(3)观察函数的图象得到中心对称图形,从而确定对称中心和两对对称点的坐标即可.
【详解】（1）列表得：
描点，连线得：
（2）函数的图象是轴对称图形，有条对称轴；（3）图象的两个分支成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和、和．
【点睛】本题主要考查画反比例函数图像及反比例函数的对称性.
21．(1)第四组，
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可；
（3）令，代入，得，由此即可求出的值．
【详解】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下：
通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了），
设，把代入，得：，
，
关于的函数表达式为；
（2）解：画出函数图象如图所示：
（3）解：令，代入，得：，
，
长方体A的受力面积至少为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，求自变量的值，用表格表示变量间的关系等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．(1)x≠2
(2)见解析
(3)该函数图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y=x-2和直线y=-x+2成轴对称，当x＞2和x＜2时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据分式的分母不为零求解即可；
（2）先根据表格数据找到对应的点，再用平滑的曲线画出函数图象即可；
（3）结合反比例函数的性质，由图象直接写出对应的性质即可．
【详解】（1）解：由x-2≠0得：x≠2，
∴自变量的取值范围是x≠2，
故答案为：x≠2；
（2）解：该函数的图象如图所示：
（3）解：根据图象知，该函数图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y=x-2和直线y=-x+2成轴对称，当x＞2和x＜2时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查画函数图象、函数图象上点的坐标特征，能类比反比例函数的图象与性质，从图象上获取相关信息是解答的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
∴的取值范围为；
（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
24．见解析
【分析】根据反比例函数的图像的两个分支是关于原点对称的中心对称图形，进而得解．
【详解】解：另一分支如图所示．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，中心对称等知识点，熟知反比例函数的图像的两个分支是关于原点对称的中心对称图形是解本题的关键．
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