6.3反比例函数的应用寒假练习（含解析） 北师大版数学九年级上册

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6.3反比例函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）是关于镜片焦距的反比例函数，当时，．下列说法中，错误的是（ ）
A．y与x的函数关系式为
B．当远视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是
C．当远视眼镜的镜片焦距是时，该镜片的度数是500度
D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于
2．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积S（）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则人和木板对湿地的压力是（ ）
A．600N B．300N C．2000N D．150N
3．在同一坐标系中函数y=kx和y=的大致图象必是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，点N是反比例函数图象上的一个动点，过点N作轴，交直线于点M，则面积的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
7．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y＝的图象相交于A（﹣2、m）B（1，n）两点，连接OA、OB给出下列结论：①k1k2＜0；②m+n＝0③S△AOP＝S△BOQ；④不等式k1x+b＞的解集是x＜﹣2或0x＜1，其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．③④ C．①②③④ D．②③④
8．小琪家计划利用一堵长为8m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场．如图，设的长为，的长为，则y关于x的函数关系式为（ ）（包括自变量x的取值范围）
A． B． C． D．
9．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，坐标原点O为矩形的对称中心，顶点A的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点O为位似中心，点，分别是点A，B的对应点，．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（　　）
A． B．1 C． D．
12．如图，某反比例函数的图象过点M（，1），则此反比例函数表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
二、填空题
13．如图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象只经过点P，则它的解析式是 ．
14．已知函数y=与y=﹣x+5的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 ．
15．已知y与2x+1成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=﹣2时，y= ．
16．已知一个长方形的面积是20，那么这个长方形的长为与宽为之间的函数关系式为 ．
17．如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．
三、解答题
18．如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
19．如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边AB⊥x轴,垂足为A,C的坐标为(1,0),反比例函数y= (x>0)的图象经过BC的中点D,交AB于点E.已知AB=4,BC=5.求k的值
20．如图，A、B两点在函数（x＞0）的图象上．
（1）求m的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
21．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于和B两点，点B的纵坐标是2，一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围；
(3)求证：．
22．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面，通过一次又一次地拉长面条，测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(横截面积)
（1）请根据表中的数据求出面条的总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)函数关系式；
(2)求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少？
23．医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，)
动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊
体重(单位∶ )
脉搏率(单位∶ 次/)
借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数．
(1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？
(2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；)
24．如图，一次函数的图象与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点、，将直线绕点A逆时针旋转后与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求证：是等腰直角三角形．
《6.3反比例函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B D B D A C D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题考查求反比例函数的解析式、反比例函数的性质，先正确求得反比例函数的解析式，进而利用反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：设y与x的函数关系式为，
∵当时，，
∴，解得，
∴y与x的函数关系式为，故选项A正确，不符合题意；
当时，由得，
∴当远视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是，故选项B正确，不符合题意；
当时，，
∴当远视眼镜的镜片焦距是时，该镜片的度数是500度，故选项C正确，不符合题意；
∵，
∴当时，，
∴若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不小于，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意，将代入计算，即得答案．
【详解】解：根据，将代入，得，
（N），
人和木板对湿地的压力是600N．
故选：A．
3．C
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】A、由函数y=kx的图像过原点可知本选项错误；
B、∵由正比例函数的图象经过二、四象限可知，k>0，∴当01时，反比例函数的图象经过一、三象限，故本选项错误；
C、∵由正比例函数的图象经过二、四象限可知，k＜0，∴k-1＜0，∴一反比例函数的图象经过二、四象限，故本选项正确；
D、由函数y=kx的图像过原点可知本选项错误
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据正比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据反比例函数的性质进行解答．
4．B
【分析】设点N的坐标为，则点M的坐标为，由此可得出MN的长度，再利用三角形的面积公式可得出S△OMN=(m 1)2+2，从而得出答案．
【详解】解：设点N的坐标为，则点M的坐标为
∴，
∴S△OMN=MN m=m2 2m+3=(m 1)2+2，
∴当m=1时，△OMN面积最小，最小值为2．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用三角形面积公式找出S△OMN=(m 1)2+2是解题的关键．
5．D
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，证明△AEO∽△ODC，运用反比例函数k的几何意义，相似三角形面积之比等于相似比的平方，确定相似比为2，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明△BCG≌△AOE，得到BF-CD=BG=AE，构造方程解答即可．
【详解】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠OAE=∠COD
∴△AEO∽△ODC，
∴，
设A(m，)，
∴C(，)，
过点C作CG⊥BF，垂足为G，
∴CG∥OD，
∴∠COD=∠GCO，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC=AO，∠BCO=90°，
∴∠BCG+∠GCO=90°，∠AOE+∠COD=90°，
∴∠BCG=∠AOE，
∴△BCG≌△AOE，
∴AE=BG，
∴BF-CD=BG=AE，
∴3-(-2m)=，
整理得，，
解得，
所以其纵坐标分别为，
其和为2+1=3，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的几何意义和性质，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴此函数的图象位于一、三象限，
故选：B．
7．D
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝ 中得到﹣2m＝n故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得到y＝﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP＝S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确．
【详解】由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①错误；
A（﹣2，m）、B（1，n）在反比例函数y＝图象上，
∴﹣2m＝n，
∴m+ n＝0，故②正确；
把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得 ，
∴，
∵﹣2m＝n，
∴y＝﹣mx﹣m，
∵已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），
∴OP＝1，OQ＝m，
∴S△AOP＝ m，S△BOQ＝m，
∴S△AOP＝S△BOQ；故③正确；
由图象知不等式k1x+b＞的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确；
综上，正确的答案为：②③④，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查的是反比例函数的应用．设的长为，的长为，利用矩形的面积即可求解．
【详解】解：设的长为，的长为，
∴，且，即，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
，故正确；
∵，
∴，，
∴，，
如答图，过点作轴于点，
则，，
在线段上取一点，使得，连接，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
又∵，
∴点与点关于直线对称，故正确；
由题意，点与点不重合，
∴，
∴， 故错误；
设， 则，，
设直线的解析式为，则有，
，解得，
∴，
令，得，
∴，
令，得，
∴，
如上答图， 过点作轴于点，则，，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，解得，
∴, 故命题正确；
综上所述，正确的命题是：，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
10．D
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，连接，作轴于D，轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设A点坐标为，得出得出，，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
【详解】解：如图，连接，作轴于D，轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设A点坐标为，得出，，
∴C点坐标为，
∵，
∴点C在比例函数图象上．
故选：D．
11．B
【分析】先求出点的坐标为，点的坐标为，根据关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，求出，且，根据以m，n为坐标记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上，得出反比例函数的图象只经过点或，分两种情况进行讨论求出结果即可．
【详解】解：∵矩形与矩形是位似图形，，顶点A的坐标为，
∴点的坐标为，
∵坐标原点O为矩形的对称中心，
∴点C的坐标为，
∴点的坐标为，
∵关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，
∴，且，
即，
∵以m，n为坐标记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上，
∴反比例函数的图象只经过点或，
由，可得：，
（1）若反比例函数的图象经过点，
∵，，
解得：，
（2）若反比例函数的图象经过点，
∵，，
解得：，
∵，，
∴不符合题意，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，二元一次方程组的解，坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
12．B
【详解】设反比例函数表达式为y＝，
把M（，1）代入y＝得,k=(-2) ×1=-2,
∴ .
故选B.
13．y=
【分析】设反比例函数为：y=（k≠0），把P点坐标求出并代入解析式即可．
【详解】解：过P作PA⊥x轴于A，
∵△OPQ是边长为2的等边三角形，
∴PQ=OP=OQ=2，∠POQ=，
∴OA=1，
∴，
∴点P的坐标为（1，），
设反比例函数为：y=（k≠0），
∵反比例函数的图象过点P，
∴k=．
∴所求解析式为：y=．
故答案为y=．
【点睛】本题考查函数解析式的求解，属基础题，难度不大，要熟练掌握求解析式的常用方法．
14．
【详解】分析：由函数y=与y=-x+5的图象的交点坐标为（a，b），可得ab=4，a+b=5，则可求得的值．
详解：∵函数y=与y=﹣x+5的图象的交点坐标为（a，b），
∴b=，b=﹣a+5，
∴ab=4，a+b=5，
∴==．
故答案为
点睛：此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，此题难度不大，注意掌握点与函数的关系是解答此题的关键.
15．－2
【详解】试题分析：设反比例函数的解析式为：y=，根据题意可得y=，当x=－2时，y=－2.
考点：待定系数法求反比例函数解析式.
16．
【详解】试题解析：根据长方形的面积公式得，xy=20，
变形得，.
故答案为.
17．y=-
【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为，再证明△COD≌△OAE（AAS），表示C点坐标为，从而可得答案.
【详解】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=，CD=OE=a，
∴C点坐标为，
∵，
∴点C在反比例函数图象上．
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，反比例函数的图象与性质，利用三角形的全等确定的坐标是解本题的关键.
18．(1)y，
(2)
(3)或或
【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案；
（3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点，
∴，
解得：，
∴、，反比例函数的解析式是y，
∵一次函数（）的图象过点、，
∴
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意得，，，
∴，，
当时，点M在点N的上方，则；
当时，点M在点N的下方，则；
综上，d与t之间的函数关系式为
（3）解：由（1）知，直线的解析式为，
令，则，
令，则，解得，
∴，，
∴，，
如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当，时，
过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当，时，
过点作轴于点G，
同理可证，
∴，，
∴
∴；
③当，时，
过点作轴于点K，作轴于点L，
同理可得，，
∴，，
∴设（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键．
19．k=5
【分析】先由勾股定理求出AC的长度，得到点C坐标，再确定出点B的坐标，由中点坐标公式得出点D的坐标，最后把点D坐标代入反比例函数解析式中即可求得k的值.
【详解】∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=5，
∴AC===3，
∵点C坐标（1，0），
∴OC=1，
∴OA=OC+AC=4，
∴点A坐标（4，0），
∴点B（4，4），
∵点C（1，0），点B（4，4），
∴BC的中点D（，2），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，
∴k=xy=
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，中点坐标公式，熟练运用反比例函数图象性质是解决问题的关键．
20．（1）m=6 直线AB的解析式为y=﹣x+7 （2）3
【详解】解：（1）由题意得出，图形经过点（1,6）代入得出m=6
设直线AB解析式是y=ax+b
且经过点（1,6）和（6,1）
（2）符合条件的是（2，4）、（3，3）、（4，2）
21．(1)，
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）、将A 坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再求出B 点，再用待定系数法求出一次函数解析式．
（2）、找出A、B两点的横坐标，分四个范围 、 、 、
看图即可求得．
（3）、求出C、D两点的坐标，进而求出OC、OD长，即可证明．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．解得，
∴反比例函数的解析式是，
∵点B在反比例函数上，点B的纵坐标是2，
∴，
解得，
∴点B的坐标是，
∵一次函数过点和点，
，
解得：，
∴一次函数的解析式是．
（2）∵A 点横坐标为-4，B点的横坐标为6，
∴可以分为四个范围，分别是： 、 、 、 ，
由图像可知：
当时，x的取值范围是或．
（3）（3）证明：把代入中，，
∴点D的坐标是，
∴，
把代入中，，
∴点C的坐标是，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题以及观察图像的能力．熟练掌握待定系数法以及观察图像的能力是解题的关键．
22．（1）（s＞0）；（2）当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是100m.
【分析】（1）观察表格中的数据可得sy≈160，可把总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)近似的看作反比例函数关系，设面条的总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)函数关系式，利用待定系数法求得k值，即可求得面条的总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)函数关系式；（2）把s=1.6mm2代入（1）中的解析式即可求解.
【详解】（1）观察表格中的数据可得sy≈160，可把总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)近似的看作反比例函数关系，
设面条的总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)函数关系式，
把y=0.8，s=200代入得，，
解得k=160，
∴面条的总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)函数关系式（s＞0）.
（2）把s=1.6mm2代入可得，m.
∴当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是100m.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据把总长度y（m）与面条的粗细(横截面积) s(mm2)近似的看作反比例函数关系是解决问题的关键.
23．(1)当增大时，变小
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用；
（1）根据反比例函数的性质，即可求解；
（2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式．
【详解】（1）解：，则当增大时，变小
（2）解：由题意得：．
∵，；，
∴．
解得：
24．(1)反比例函数为，一次函数为；
(2)证明见解析
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求得交点坐标是解题的关键．
（1）由，在反比例函数的图象上，得出，即可求C的坐标和反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）利用勾股定理分别求解，，再结合勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴反比例函数为，
∵在的图象上，
∴，
∵一次函数的图象过点B、D，
∵，，
∴，解得，
∴一次函数为；
（2）∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵由旋转可得：，
∴为等腰直角三角形．
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