第二章二次函数寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于的函数是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(-1，8) B．(1，-8)
C．(-1，-3) D．(1，3)
3．已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A． B． C．-k D．k
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（　　）
A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
5．如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
6．关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
7．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，对于任意实数x，y随x的增大而减小的是( ).
A．y=x B．y= C．y=－x+2 D．y=2x2
9．下列哪些式子表示y是x的二次函数（　　）
A． B．
C． D．
10．抛物线是由抛物线怎样平移得到的( )
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
11．对于题目：“已知，若抛物线与线段拾有一个公共点，求a的取值范围．”甲的答案是：；乙的答案是：．下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才对 D．甲、乙合在一起也不对
12．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数图像的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到3米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是
14．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．
15．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
16．如图抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
17．已知二次函数的图像上有两点，那么的值等于 ．
三、解答题
18．问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．
(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．
(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．
(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．
(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．
19．如图，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PM+PB的值最小时，求点P的坐标；
20．如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．
21．已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(3)根据图象，直接写出：
①当函数值为正数时，自变量x的取值范围；
②当时，函数值y的取值范围．
22．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)若点是二次函数的图象上一点，线段交轴于点，为原点，的面积是的面积的倍，则点的坐标为 ．
23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)联结、、，求的值；
(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标．
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B D D C B C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】形如（为常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
C、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是二次函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义和一般形式是解题关键．
2．B
【分析】根据题意可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标．
【详解】
抛物线的图像与x轴的交点是、
对称轴是直线x=1，
当x=1时，y=-8，顶点坐标是．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标．
3．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为轴，从而可得，进而求解．
【详解】解：，
抛物线对称轴为轴，
，
将代入得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
4．D
【详解】试题分析：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．
故选D．
考点：二次函数的图象与系数的关系
5．B
【分析】分别求出当时，时和时S关于t的函数解析式，再根据解析式判断函数图象即可．
【详解】解：由题意得：AB，
当时，点P在AC上，点Q在AB上，
则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t，
如图，过点Q作QM⊥AC于M，
∴sin∠A＝，即，
∴，
此时，
当时，点P在AB上，点Q在AC上，
则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5，
如图，过点P作PN⊥AC于N，
同理可得：，
此时，
∵二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当时，函数图象为二次函数的图象的一部分，
当时，点Q与点C重合，点P在AB上，
此时，
∴当时，函数图象为直线的一部分，
故选：B．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出的面积并能够根据函数解析式选择相应的函数图象是解题的关键．
6．D
【分析】根据抛物线的性质由a=得到图象开口向上，将x=0代入求出相应的y值即可判断是否经过原点，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案.
【详解】二次函数y＝(x+1)2中a=>0，所以抛物线开口向上，
当x=0时，y=，所以图象不经过原点，
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线(a≠0)的开口向下．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标是．
故选：D．
8．C
【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，可得答案．
【详解】A、y=x, y随x的增大而增大，故A错误；
B、y=，当x<0或x>0时，y随x的增大而减小，故B错误；
C、y=－x+2，对于任意实数x，y随x的增大而减小，故C正确；
D、y=2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质y=kx+b,k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小；y=ax2，a＞0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的增大而增大．
9．B
【分析】根据二次函数的定义判定即可．
【详解】A、该函数y不是x的二次函数，故本选项错误；
B、该函数化简后:y=2x -2x符合y是x的二次函数的定义，故本选项正确；
C、, y是x的一次函数，故本选项错误；
D、由原函数得到：y=，属于一次函数，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
10．C
【详解】由“上加下减”的原则可知，
把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是： ．
故选：C．
11．B
【分析】分a＞0、a＜0根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定a的值，即可求解．
【详解】解：把x=1代入y=ax(x 4)得：y= 3a，
设P(1， 3a)，则点P在抛物线y=ax(x 4)上，
当a>0时，点M在点P上方，如图①，
∵抛物线与线段MN恰有一个公共点，
∴点N的纵坐标小于或等于0，
∴3a+3≤0，解得（不符合题意，舍去）；
当a<0时，点M在点P下方，如图②，
∵抛物线与线段MN恰有一个公共点，
∴点N的纵坐标大于或等于0，
∴3a+3≥0，
解得a≥ 1，
∴ 1≤a<0．
∴乙的答案是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数性质和图象，根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点是解题的关键．
12．B
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，可得当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，再由抛物线的增减性，即可求解．
【详解】解：∵，
∴当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，
∵ ，
∴在直线的左侧， 随 的增大而增大；在直线的右侧， 随 的增大而减小，
∵当 时， ，当 时， ，且 ，
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5米到8米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．a＞1或a＜-1
【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.
【详解】解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，
②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，
综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.
14．
【详解】解：∵在中，令x=0，则y=，∴点A（0，），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴△OAB的中位线在对称轴上．
∴顶点C的纵坐标为．∴根据顶点公式，得，解得b1=3，b2=﹣3．
由图可知，，∴b＜0．∴b=﹣3．
∴对称轴为直线x=．∴点D的坐标为（，0）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，解得．
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴，解得．
故答案为：．
16．．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，C（0，﹣6），通过解方程得 A（﹣3，0），B（1，0），再根据三角形中位线性质得，，所以 ，连接AC交直线于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+ DF的最小值．
【详解】解：抛物线可化为：
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当x＝0时，，则C（0，﹣6），
当y＝0时，，解得， ，则A（﹣3，0），B（1，0），
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE和DF都为△PBC的中位线，
∴，，
∴，
连接AC交直线于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此时PB+PC的值最小，其最小值为
∴DE+DF的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
17．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．根据点坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，据此可求出m的值．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点都在抛物线上，
∴点A、B关于直线对称，
∴，
∴．
故答案为：．
18．(1)
(2)见解析
(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
【分析】（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；
（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；
（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；
（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．
【详解】（1）解：令，
整理得：，
可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，
故答案为：；
（2）解：先在坐标轴上描出点，
再连线即可，如下图：
（3）解：如图：
当时，与有一个交点，
当时，与有两个交点，
当时，与有一个交点，
综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
（4）解：如下图：
当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；
当时，（其中，m为常数）与没有公共点；
要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足
且，
解得：且，
，
故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．
19．（1）二次函数的解析式为：；（2）点P的坐标为(-1，2)
【分析】（1）把顶点N的坐标和点M的坐标代入计算，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出点A、B的坐标，连接AM，与对称轴相交于点P，求出直线AM的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图象过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，得到关于a、b、c的方程组：
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴二次函数的解析式为：.
（2）如图：连接AM，与对称轴相交于点P，连接BP，
∵抛物线与x轴相交于点A、B，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA=PB，
∴PM+PB的最小值为PA+PM=AM的长度；
∵，令y=0，则
∴，
∴，，
∴点A的坐标为：（1，0），
∵点M的坐标为（2，3），
∴直线AM的解析式为：，
当x=时，y=2，
∴点P的坐标为（1，2）；
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，一次函数的性质，待定系数法求解析式，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到点P的坐标．
20．或．
【详解】试题分析：分两种情况：（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立；
（2）当时，函数是关于x的二次函数．由于 它的图象与x轴只有一个公共点，令△=0，解方程即可．
试题解析：解：（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立；
（2）当时，函数是关于x的二次函数．∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根；∴；整理，得 ；解得 ；综上，或．
考点：抛物线与x轴的交点．
21．(1)对称轴为，顶点坐标为
(2)图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．
(3)①；②．
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先将二次函数解析式化成顶点式，然后确定出顶点坐标即可；
（2）分别令、求解即可确定其与两坐标轴的交点坐标；
（3）①确定函数图象在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围即可；②根据函数图象确定y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为．
（2）解：令可得：，即函数图象与y轴的交点坐标为；
令可得：，解得：或3，即函数图象与x轴的交点坐标为．
（3）解：①∵函数图象与x轴的交点坐标为，
∴根据函数图象可得：函数值为正数时，自变量x的取值范围为；
②如图：可知：当时，有最大值：；
当时，有最小值：；
∴当时，函数值y的取值范围为．
22．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数表达式、画二次函数图象，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键
（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）先确定抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）设，利用三角形面积公式可得到点到轴的距离等于点到轴的倍，则，然后解方程可确定点坐标．
【详解】（1）解：将点，代入
得
解得：
∴二次函数的表达式为
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
如图，
（3）设，
的面积是的面积的倍，
点到轴的距离等于点到轴的倍，
，
解得，
点坐标为或．
故答案为：或．
23．（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【分析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围；
（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.
【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件
由题意得：
整理得：
由每件售价不能高于65元得：，即
又因x为正整数
则x的取值范围为：，且x为正整数
综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；
（2）的对称轴为：
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润
将代入得：，此时售价为
将代入得：，此时售价为
答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解.
24．(1)该抛物线的表达式为；
(2)
(3)点的坐标为．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案；
（3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线关于直线对称，
设抛物线的解析式为，把、代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令，得，
，
、，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，过点作轴于，则，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
（3）证明：如图，连接，
由（2）知是等腰直角三角形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
点在对称轴右方的抛物线上，
，且，
解得：，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．
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