第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第二册
第二章　平面向量及其应用
§1　从位移、速度、力到向量
基础过关练
题组一　向量的相关概念及表示
1.(2025广东惠州仲恺中学等五校联考)下列关于向量的表述中,正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量;
②向量的模是一个正实数;
③零向量没有方向;
④两个有共同起点的单位向量,其终点必相同;
⑤向量与向量的长度相等.
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.(多选题)(2025河北石家庄月考)已知向量a,b,下列四个命题正确的是(　　)
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=0,则a=0
C.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
D.方向相反的两个非零向量一定共线
3.在平面直角坐标系中,O为原点,若||=3,则所有满足条件的点P都落在　　　　　　.
4.中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半边棋盘,在A处的马可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量或表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
5.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向上;
(2),使||=4,点B在点A正东方向上;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向上.
6.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 m到达B点,然后向北偏西40°的方向行驶了200 m到达C点,最后向东行驶了100 m到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
题组二　相等向量与共线向量
7.(多选题)(2024江西南昌第一中学月考)下列说法正确的是(　　)
A.若a=b,b=c,则a=c
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.共线向量又叫平行向量
D.若|a|=|b|,则a=b
8.(多选题)(2025天津河北区期中质量检测)下列说法中,正确的是(　　)
A.若a≠b,则a,b不是共线向量
B.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
C.若a与b共线,b与c共线,且b为非零向量,则a与c共线
D.若a与b不共线,则a与b都是非零向量
9.(2025山西临汾新华中学月考)在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(　　)
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
10.(2024河南许平汝部分学校期中)已知四边形ABCD,则下列说法正确的是(　　)
A.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形
B.若||=||,则四边形ABCD为矩形
C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形
D.若=,则四边形ABCD为平行四边形
11.已知△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中:
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量共线的向量;
(3)与向量为相反向量的向量.
题组三　向量的夹角
12.(2025安徽亳州期末)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,则向量与的夹角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
13.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　　　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　.(填图中所画出的向量)
14.(2024广东梅州期中)正六边形ABCDEF的中心是点O,以点A,B,C,D,E,F,O为起点或终点的向量中,与相等的向量共有　　　　个,与的模相等且与的夹角为60°的向量共有　　　　个.
15.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量,,,,,,,中:
(1)分别写出与,相等的向量;
(2)写出与共线的向量;
(3)写出与长度相等的向量;
(4)求向量与的夹角的大小.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§1　从位移、速度、力到向量
基础过关练
1.A 2.CD 7.AC 8.CD 9.B 10.D 12.B
1.A　对于①,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力既有大小又有方向,都是向量,故①错误;
对于②,零向量的模为零,故②错误;
对于③,零向量的方向是任意的,故③错误;
对于④,由单位向量的定义可知,单位向量的模为1,方向任意,故④错误;
对于⑤,向量与向量是相反向量,由相反向量的定义可知它们的长度相等,故⑤正确.
2.CD　对于A,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,A错误;
对于B,若|a|=0,则a=0,B错误;
对于C,a与b是单位向量,则|a|=|b|=1,C正确;
对于D,方向相同或相反的两个非零向量为共线向量,D正确.
3.答案　以O为圆心,3为半径的圆上
解析　由||=3,知点P到点O的距离为3,即点P落在以O为圆心,3为半径的圆上.
4.解析　根据规则,作出所有符合要求的向量如图.
5.解析　(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)如图所示.
6.解析　(1)作出向量,,,如图所示.
(2)作出向量,由题意可知,与方向相反,且与共线,
∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴=,
∴||=||=200 m.
方法总结
　　用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量的模确定向量的终点.
7.AC　对于A,向量相等具有传递性,故A正确;
对于B,若b=0,则a∥c不一定成立,故B错误;
易知C正确;
对于D,当a与b方向不同时,两向量不相等,故D错误.
8.CD　选项A,不相等的向量可能方向相同或相反,故可以是共线向量,故A错误;
选项B,两个向量相等只需要满足长度相等、方向相同即可,起点不一定相同,故B错误;
选项C,若a与c至少有一个是非零向量,则a与c共线,若a与c均不是非零向量,因为a与b共线且b为非零向量,所以a与b方向相同或相反,同理b与c方向相同或相反,所以a与c方向相同或相反,即共线,故C正确;
选项D,因为零向量与任意向量都共线,所以若a与b不共线,则a与b都是非零向量,故D正确.
9.B　由题意可知,与不共线,A错误;
因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故与共线,B正确;
因为CD与AE不平行,所以与的方向不相同,也不相反,故与不相等,C错误;
==-,D错误.
10.D　对于A,四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故A错误;
对于B,四边形ABCD的对角线相等不能保证四边形为矩形,故B错误;
对于C,四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C错误;
对于D,若=,则||=||,且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故D正确.
11.解析　(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,.
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,.
(3)与向量为相反向量的向量,即与的模相等,且方向相反的向量,有,,.
12.B　∵AB=AC,∠BAC=,∴∠ABC=∠ACB=,
则向量与的夹角为π-∠ABC=.
13.答案　,;,,
解析　∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴与共线的向量为,;与的夹角为120°的向量为,,.
14.答案　3;8
解析　如图,正六边形ABCDEF中,点O为其中心,
以点A,B,C,D,E,F,O为起点或终点的向量中,与相等的向量有,,,共3个.与的模相等且与的夹角为60°的向量有,,,,,,,,共8个.
15.解析　(1)=,=.
(2)与共线的向量有,,.
(3)与长度相等的向量有,,,,,,.
(4)由题意知,=,所以向量与的夹角即向量与的夹角,为135°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)