第六章反比例函数寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．
2．已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点在反比例函数（）的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
4．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大 D．当时，
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为6，点A，C分别在x轴，y轴上，点B在第三象限，对角线交于点D，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与双曲线相交于，两点，其中点的横坐标为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
9．下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点的坐标是，是等边三角形，点在第一象限．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．，，将沿直线翻折，点的对应点恰好落双曲线（是常数，）的图像上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（时）与行驶速度v（千米／时）之间的函数关系式是 ．
14．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ．
15．在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
16．函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．
17．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 ．

三、解答题
18．已知反比例函数的图象在所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，求该反比例函数的表达式.
19．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示．
(1)求I与R之间的函数表达式；
(2)求时，对应的R的取值范围．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围
(3)求△AOB面积．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝y，BD＝x，若CD＝5，求y与x之间的函数表达式．(不必写出自变量的取值范围)
22．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？
23．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/根 20 15 12 10
(1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系．
(2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式．
(3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？
24．在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线和双曲线为“倍半双曲线”，双曲线是双曲线的“倍双曲线”，双曲线是双曲线的“半双曲线”，
(1)请你写出双曲线的“倍双曲线”是_____；双曲线的“半双曲线”是______；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，求的面积；
(3)如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围．
《第六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B B A A D D C
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB=2，
∴BD=AD=CD=，
∵AC⊥x轴，
∴C（，2），
把C（，2）代入y=得k=×2=4，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键．
2．B
【分析】根据反比函数图象上各点的坐标符合对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为，
反比例函数的图象经过点，
．
、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
、，此点在函数图象上，故本选项正确；
、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
、，此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
3．D
【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的前提，求出的面积是正确解答的关键．
4．B
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数，
A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意；
B、∵，故该函数图象位于第一、三象限，故选项B符合题意；
C、在每个象限内，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
D、∵当时， ，时，，
∴当时，，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】过点D作DN⊥y轴于点N，作DM⊥x轴于点M，先求得矩形OMDN的面积，再求出k即可．
【详解】解：如图，过点D作DN⊥y轴于点N，作DM⊥x轴于点M，则四边形OMDN是矩形，
可得S矩形OMDN=|k|，
∵点D是矩形OABC对角线交点，
∴，
∴，
解得：，
∵反比例函数图像在第三象限，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的面积，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是熟知反比例系数k的几何意义．
6．A
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，解题的关键是求得解析式后再联立方程组即可求出交点坐标．将交点坐标代入解析式中，求出a，b的值，然后再联立方程组求另一个交点坐标．
【详解】解：将代入中，即，解得，
∴正比例函数为：，
将代入中，即，解得，
∴反比例函数为：，
联立方程组：，
解得或，
∴另一个交点的坐标为．
故选：A．
7．A
【分析】先根据直线的解析式求出点A的纵坐标，再将点A的坐标代入双曲线求解即可.
【详解】将点A的横坐标代入得：
则点A的坐标为
将代入双曲线的解析式得：
解得：
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数的性质、利用待定系数法求反比例函数的解析式，利用直线的解析式求出点A的坐标是解题关键.
8．D
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．
9．D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键；
根据反比例函数的定义逐项判定即可．
【详解】解：
A．x，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意；
B．，当时，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C．，y是的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．，y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】首先过点作垂直于，根据，是等边三角形，得出点坐标，进而求出反比例函数解析式．
【详解】解：过点作垂直于，
点的坐标是，
，
是等边三角形，
，，
点的坐标是，
把代入，
得．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出点坐标是解题关键．
11．C
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解．
【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，

设点，则，
∵于点N，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
即，
即，
则，则，
则点，则点，
设直线的表达式为，则
解得
∴直线的表达式为：，
当，，
解得，，
∴点；
设直线的表达式为，则
解得
∴直线的表达式为：，
当，，
∴点，则，
∵，
则，
故选：C．
12．B
【分析】过点C作CD⊥x轴，根据折叠的性质可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD和CD的长，进而得到OD的长，即可得到点C的坐标，即可得出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴，
∵将△ABO沿直线AB翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，
∴∠CAD＝60°，
∴AD＝，
∴CD＝，OD＝2，
∴C（－2，），
∵点C恰好落在双曲线(k≠0)上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点C的坐标是解答本题的关键．
13．
【详解】分析：根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t=．
详解：由题意得：vt=20，
t=，
故答案为t=．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．
【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值．
【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、，
点在双曲线上，
矩形，
又，
，
点在矩形的对角线上，
矩形矩形，
，
，
，
．
函数的解析式是：．
故答案为：
15．1
【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．
【详解】∵函数的图像经过点和，
，
，
故答案为：1．
16．①③
【详解】分析：结合图形判断各个选项是否正确即可．
详解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
③y=x+=（﹣）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；
∴正确的有①③．
故答案为①③．

点睛：考查根据函数图象判断相应取值；正确理解图形是解决本题的关键．
17．≤a≤+1
【分析】根据题意得出C点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
【详解】解:反比例函数经过点A和点C．
当反比例函数经过点A时，即=3，
解得：a=±（负根舍去）；
当反比例函数经过点C时，即=3，
解得：a=1±（负根舍去），
则≤a≤+1．
故答案为: ≤a≤+1 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
18．.
【分析】根据反比例函数的定义和性质，可得，，再解出m的值即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象在所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴，解得，
∴，
∴该反比例函数的表达式为：.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质和定义．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键.
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果.
【详解】（1）解：根据题意可设，
点在函数的图象上，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）当时，，
，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，
20．(1)．
(2)1﹤x﹤3．
(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用可求得的面积．
【详解】（1）解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故△AOB的面积为4．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
21．
【详解】分析：通过证明△ACD∽△CBD，得，从而可求y与x之间的函数表达式.
详解：∵ CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，即，
∴y＝.
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，求反比例函数的解析式，证得△ACD∽△CBD是解题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】(1)直接求出总路程，再利用路程除以时间=速度，进而得出关系式；(2)由题意可得 ≤5，进而得出答案．
【详解】解：（1）由题意得，两地路程为80×6=480（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v=．
（2）由v=，得t=，
又由题知：t≤4，
∴≤4．
∵v＞0
∴480≤4v．
∴v≥120．
答：返程时的平均速度不能低于120 km/h．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
23．(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数
(2)
(3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系．
（1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可；
（3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示：
猜想：y与x之间具有反比例函数关系．
（2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数），
把代入，得，
将，，分别代入，均成立，
所以y与x之间的函数关系式为.
（3）解：，
当时，w随x的增大而增大，
又因为，
所以当时，，
所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
24．(1)，；(2)的面积为1；(3).
【分析】(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可；
(2)利用双曲线的性质即可；
(3)先利用双曲线上的点设出的横坐标，进而表示出的坐标；
用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；
【详解】(1)由“倍双曲线”的定义
∴双曲线，的“倍双曲线”是；
双曲线的“半双曲线”是．
故答案为，；
(2)如图1，
∵双曲线的“半双曲线”是，
∴的面积为2，的面积为1，
∴的面积为1．
(3)如图2，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点的横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
∴．
∴．
同理．
∴
∵，
∴．
∴，
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，双曲线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解(1)的关键是理解新定义，解(2)的关键是三角形的面积公式的应用，解(3)的关键是建立不等式求解.
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