第三章圆寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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第三章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．4π D．6π
3．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线 的距离 ，则直线与的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切
5．如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么sin∠AEB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
8．如图，在以为直径的半圆中，点是弧AB 的中点，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（　　）
A．m
B．180°-
C．90°+
D．
10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BAC=20°，=，则∠DAC的度数是( )
A．30° B．35° C．45° D．70°
11．下列命题为真命题的是(　　)
A．两点确定一个圆 B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦 D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，则的度数为 .
14．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连结AO并延长交圆于点C，连结BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为 ．
15．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.以点C为圆心作圆，半径为 cm时，AB与⊙C相切.
17．如图，在正六边形内取一点，作与边相切，并经过点，已知的半径为，则正六边形的边长为 .
三、解答题
18．体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？
19．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长．
20．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
21．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
22．如图，在中，弦相交于点，连结，已知．
(1)求证：；
(2)连结，若，的半径为2，求的长．
23．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
24．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求：
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施．
《第三章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B D B B B B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】根据扇形面积公式，将题中已知条件代入求解即可得到结论．
【详解】解：半径为的扇形的圆心角为，
，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积是解决问题的关键．
3．C
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为
故选：C
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
4．D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：，
，，
的半径为一元二次方程的根，
或，
，
当时，，
直线与的位置关系是相切，
当时，，
直线与的位置关系是相交，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的外接圆，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
连接，交于点O．由，都是等边三角形，推出，可得结论．
【详解】解：连接，交于点O，如图
则点O为外接圆的圆心，
∴在正六边形的边上距离最远的点是，
∵正六边形边长为2，
∴，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B．
6．D
【详解】解：在中，
在中，
故选:D
7．B
【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论．
【详解】解：过点D作于点H，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴则圆与直线的关系是相离．
故选：B．
8．B
【分析】先根据圆周角定理,由AB为直径得到∠C=90°,由得∠A=∠B,所以BC=AC=4,然后根据三角形面积公式求解.
【详解】∵AB为直径,
∴∠C=90°,
∵点C是的中点,
∴,
∴∠A=∠B,
∴BC=AC=4,
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.
9．B
【分析】根据圆心角与弧的关系及圆周角定理不难求得∠D+∠E的度数．
【详解】∵∠AOB的度数为m，
∴弧AB的度数为m，∴弧ACB的度数为360°-m，
∴∠D+∠E=
故选B．
【点睛】本题利用了一个周角是360°和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．B
【详解】解：连接OC，OD，如图所示：
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都为，∠BAC=20°，
∴∠BOC=2∠BAC=40°，
∴∠AOC=140°，
又 ，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=70°，
∵∠DAC与∠DOC所对的弧都为，
∴∠DAC=∠COD=35°．
故选B
11．C
【详解】A.不共线的三点确定一个圆，所以A错误；
B.需要增加条件在同圆或等圆中，所以B错误；
C.由垂径定理可知C正确；
D.需要增加条件在同圆或等圆中，所以D错误.
故选C.
12．C
【分析】先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则
过点A作于D，设，则
由勾股定理得：
则，即
解得，即
又
即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，读懂题意，正确画出图形，并求出AD的长是解题关键．
13．/度
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴
故答案为：．
14．32°
【分析】连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．
【详解】解：如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°-26°=64°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠ACB，
∴∠ACB=32°．
故答案为32°．
15．4或5/5或4
【分析】由以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得与轴相切或过原点，然后分别分析求解即可求得答案．
【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
与轴相切（如图或过原点（如图，
当与轴相切时，，
当过原点时，．
或5．
故答案为：4或5．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
16．2
【分析】首先根据题意画出图形，再过点C作CD⊥AB于点D，由Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4，可求得BC的长，然后由三角形面积可得CD的长度，即可求出答案.
【详解】过点C作CD⊥AB于点D，
∵Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
∴.
∵,
∴,
∴半径为2cm时，AB与⊙C相切.
故答案为2.
【点睛】此题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形面积问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，学生还应该注意在计算过程中确保计算的准确性，切不可因为马虎计算错误而丢掉分数．
17．
【分析】根据与两边相切，利用切线长定理求出，求出ME，OE，得出正六边形外接圆直径，即得边长；
【详解】解：如图，连接OM，ON，OE，
⊙O与边DE，EF相切，
，
，，
又,
，
所以在正六边形的一条对称轴上，
正六边形，
，
，
由切线长定理得，，
，
，
因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点B，所以在一条对称轴上，
因为BE所在直线是正六边形的一条对称轴，所以点B、O、E在一条直线上，
，
因为BE为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线长定理，外接圆直径，解题关键构造直角三角形，求出OE长度．
18．见解析
【分析】根据圆的定义解答即可．
【详解】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆．
【点睛】此题考查圆的定义，到定点的距离等于定长的所有点的集合称之为圆，理解圆的定义是解决本题的关键．
19．
【分析】本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长．
【详解】解：设，
∵的内切圆分别和切于点D，E，F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
20．见解析．
【分析】分别连接OA、OC，证明Rt△AEO≌Rt△CFO，可得OE＝OF．
【详解】分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．3＜r≤4或r＝2.4．
【分析】先根据勾股定理求得AB＝5，然后分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【详解】如图，∵BC＞AC，
以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点睛】本题主要考查平面上的点距离圆心的位置关系的问题，平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r，点P在⊙O外；d=r点P在⊙O上；d22．(1)详见解析
(2)的长为
【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
（1）先证明，再证明，最后根据圆周角定理即可得证；
（2）根据圆周角定理求出，然后根据弧长公式计算即可得解
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴的长．
23．（1）此圆弧形拱桥的半径为10m；（2）此货船能顺利不能通过这座拱桥.理由见解析.
【分析】（1）连接OA，利用垂径定理和勾股定理构造方程，求出拱桥的半径长；
（2）如图，EF长为12米时，通过求距离水面高度DG的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过．先根据半弦FG，半径和弦心距OG构造直角三角形求出OG的长来判断．
【详解】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
24．(1)
(2)不需要，见解析
【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
（1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线，
设半径为，
则，
由垂径定理可知，，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
即拱桥所在的圆的半径为；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理可得，
，
不需要采取紧急措施．
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