第二章　平面向量及其应用 §2　从位移的合成到向量的加减法--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（（含解析）含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算及应用
1.(2024河北石家庄第二十四中学期末)+(+)+=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024重庆巴渝学校月考)如图所示,在正六边形ABCDEF中,++=(　　)
A.0　　B.　　C.　　D.
3.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则这三个力的分布图可能是(　　)
　　
　　　　
4.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)已知|a|=2,|b|=3,则“向量a,b共线”是“|a+b|=5”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
5.(多选题)(2025安徽马鞍山第二中学期中)等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E在边BC上,且BD=DE=EC,则下列各式中正确的是(　　)
A.+=　　B.+=
C.+=+　　D.+=+
6.(2025贵州遵义联考)若a,b均为单位向量,且a,b的夹角为,则a与a+b的夹角为　　　　.
7.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
8.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
题组二　向量的减法运算及应用
9.(2025广东潮州松昌中学期中检测)化简:--+=(　　)
A.0　　B.　　C.　　D.
10.(2023湖北黄冈期中)八卦是中国古老文化中的一个深奥概念,其深邃的哲理解释了自然、社会现象.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则-=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.(2025陕西咸阳实验中学月考)设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为(　　)
A.向东南走6 km　　B.向东南走3 km　　
C.向西南走6 km　　D.向西南走3 km
12.已知||=10,||=7,则||的取值范围为　　　　.
13.(2025河北沧州五校月考)已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=a,=b,用a,b分别表示向量,,,.
题组三　向量加减法的混合运算及应用
15.(2025天津滨海新区田家炳中学月考)下列不一定能化简为的是(　　)
A.-+
B.(+)-(+)
C.++
D.+-
16.(2025江苏扬州第一中学期中)如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a-b+c　　B.a+b+c C.a-b-c　　D.a+b-c
17.(2024辽宁抚顺月考)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则-+=　　　　.
18.如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
能力提升练
题组　向量的加减运算及其运用
1.(2024陕西西安高新一中月考)若点O是△ABC的外心,且++=0,则∠ACB=(　　)
A.120°　　B.90°　　C.60°　　D.45°
2.(2024广东佛山南海外国语高级中学月考)已知平面内两个任意向量a,b,则(　　)
A.|a+b|=|a|+|b|　　B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|-|b|　　D.|a-b|≤|a|+|b|
3.(2025安徽六安新世纪学校期末)已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量,,,满足等式+=+,若E为AC的中点,则=(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
4.(2025浙江嘉兴秀水高级中学月考)已知圆O是以原点为圆心的单位圆,A,B是圆O上任意两个不同的点,M(2,0),则|+|的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　B.(1,3)　　
C.(2,4)　　D.(2,6)
5.(多选题)(2025广东广州广雅中学阶段性测试)下列命题正确的是(　　)
A.+--=0
A.点M是△ABC所在平面内一点,若||=||=|-|,则△ABC为等边三角形
C.若|a|=|b|=|a+b|,则a与a-b的夹角是30°
D.已知两个非零向量a和b,若|a-b|=|a+b|,则a与b垂直
6.(2024湖南衡阳一中期末)已知平面内有向量a,b,c,满足|a|=|c|=2|b|=2,a⊥b,则|a-c|+2|b-c|的最小值是(　　)
A.2　　B.2　　
C.2　　D.2
7.(2025陕西咸阳永寿中学月考)若向量a,b满足|a|=2,且向量a与向量a+b的夹角为,则|b|的最小值是　　　　.
8.(2023浙江杭州期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量,与x轴非负半轴的夹角分别为和,向量满足++=0,则与x轴非负半轴的夹角的取值范围是　　　　.
9.(2025四川德阳天立高级中学教学质量检测)
(1)小明从A地出发沿北偏西60°方向前行了40 m,到达B地,再从B地出发沿正北方向前行了40 m到达C地,求整个运动过程中小明的位移;
(2)已知△ABC中,=a,=b,且|a|=2,|b|=|a-b|=2,求|a+b|.
答案与分层梯度式解析
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
1.B 2.D 3.D 4.B 5.AD 9.A 10.B 11.C
15.D 16.A
1.B　+(+)+=+++=.
2.D　因为六边形ABCDEF为正六边形,
所以=,=,
所以++=++=+=.
3.D　因为f1+f2+f3=0,所以f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,由向量加法的平行四边形法则可知D正确.
4.B　若向量a,b共线,且|a|=2,|b|=3,则当a,b同向共线时有|a+b|=5,当a,b反向共线时有|a+b|=1,充分性不成立;
若|a+b|=5,且|a|=2,|b|=3,则向量a,b同向共线,必要性成立,
所以“向量a,b共线”是“|a+b|=5”的必要不充分条件.
5.AD　如图,因为D,E在边BC上,且BD=DE=EC,所以==.
对于A,+=+=,故A正确;
对于B,+=+=≠,故B错误;
对于C,+=++,+=++,
而≠,所以+≠+,故C错误;
对于D,+=+++=++(+),又+=0,所以+=+,故D正确.
6.答案　
解析　作=a,=b,∠AOB=,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图,
则=+=a+b,因为a,b均为单位向量,所以||=||=1,所以平行四边形OACB为菱形,
所以∠AOC=∠AOB=,即a与a+b的夹角为.
7.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7
=++++
=(+)+(+)+
=++
=++==b6(或-b2).
8.解析　(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
9.A　解法一:--+=-+=+=0.
解法二:--+=(+)-(+)=-=0.
10.B　因为八边形ABCDEFGH为正八边形,O为中心,所以=,所以-=-=.
11.C　如图,分别作出=a,=2b,
易得b-a+b=2b-a=,
在△OAB中,易知OA=OB=6,∠AOB=90°,故||=6,于是b-a+b所表示的意义为向西南走6 km.
12.答案　[3,17]
解析　因为=-,所以||=|-|,
又|||-|||≤|-|≤||+||,
所以3≤|-|≤17,即3≤||≤17.
故||的取值范围为[3,17].
13.答案　13
解析　∵||=12,||=5,且∠AOB=90°,
∴||2+||2=||2=169,即||=13,
∴|a-b|=|-|=||=||=13.
14.解析　依题意得==-=-b,==-=-a,=-=b-a,==-=a-b.
15.D　对于A,-+=+=;
对于B,(+)-(+)=+-=;
对于C,++=++=+=;
对于D,+-=2+,只有B与M重合时,2+=成立.
16.A　易得=-=a-b,==a-b,∴=+=a-b+c.
17.答案　0
解析　-+=+-=-.
因为D是边BC的中点,所以=,
所以-+=0.
18.解析　(1)=+=a+b,=-=a-b.
(2)由(1)知a+b=,a-b=.
当a+b,a-b所在的直线互相垂直时,AC⊥BD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)由(1)可知|a+b|=|a-b|即||=||,
∴平行四边形ABCD为矩形,∴当a与b所在的直线互相垂直时,满足|a+b|=|a-b|.
不可能, ABCD的两条对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量,∴a+b与a-b不可能为相等向量.
能力提升练
1.A 2.D 3.B 4.D 5.BCD 6.B
1.A　由++=0,得+=,
因为点O是△ABC的外心,所以||=||=||,
结合向量加法的几何意义,知四边形OACB为菱形,且∠ACO=∠BCO=60°,所以∠ACB=120°.
2.D　只有当向量a,b同向共线或a,b中至少有一个为零向量时,才满足|a+b|=|a|+|b|,故A错误;
当|a|<|b|时,|a-b|>0,|a|-|b|<0,则|a-b|>|a|-|b|,故B,C错误;
若向量a,b为共线向量且方向相同,则|a-b|≤|a|+|b|,
若向量a,b为共线向量且方向相反,则|a-b|=|a|+|b|,
若向量a,b不共线,令a=,b=,则a-b=,
所以|a-b|<|a|+|b|.
综上,|a-b|≤|a|+|b|,故D正确.
3.B　∵+=+,
∴-=-,即=,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵E为AC的中点,
∴E为对角线AC与BD的交点,
则S△EAB=S△ECD=S△ADE=S△BCE,则=.
4.D　由题作图如下,
设C为线段AB的中点,则|+|=2||.
因为A,B两点不重合,则直线AB与圆O相交,所以点C在圆O内.设D为圆上或圆内一点,当D在D1位置时,D1,O,M三点共线,此时|DM|最大,为|MO|+|OD1|=3,又C在圆内,所以|MC|<3;
当D在D2位置时,O,D2,M三点共线,此时|DM|最小,为|MO|-|OD2|=1,又C在圆内,所以|MC|>1.
故当点C在圆O内时,|MC|∈(1,3),
则|+|=2||∈(2,6).
5.BCD　对于A,+--=(-)+(-)=+=,=0不一定成立,故A错误;
对于B,||=||=|-|=||,则△ABC为等边三角形,故B正确;
对于C,设=a,=b,由向量的加减运算知=a-b,=a+b,如下图所示:
因为|a|=|b|=|a+b|,
所以△ADC与△ABC均为等边三角形,
所以∠BAD=120°,
易知四边形ABCD为菱形,所以∠DBA=30°,即a与a-b的夹角为30°,故C正确;
对于D,设=a,=b,构造平行四边形ABCD,因为|a-b|=|a+b|,即||=||,所以四边形ABCD为矩形,所以AB⊥AD,即a与b垂直,故D正确.
6.B　如图,设=a,=b,=c,则BE=|a-c|,CE=|b-c|,
延长AC至D,使得AD=4AC=2AE,连接BD,DE,
由∠EAC=∠DAE,==,得△ACE∽△AED,
所以ED=2CE,
则|a-c|+2|b-c|=BE+2CE=BE+ED≥BD==2.
当B,E,D三点共线且E在线段BD上时,|a-c|+2|b-c|的最小值是2.
7.答案　2
解析　如图,设=a,=b,则=a+b,
依题意知∠BAC=.
过B作BD⊥AC,垂足为D,
则=||=||sin∠BAC=|a|sin∠BAC=2×=2,即|b|的最小值是2.
8.答案　
解析　由题意得=--,
由向量加法的几何意义,得是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量的相反向量,所以与x轴非负半轴的夹角的取值介于-和-与x轴非负半轴的夹角之间(不包含边界).由题意得,-,-与x轴非负半轴的夹角分别为和.故与x轴非负半轴的夹角的取值范围为.
9.解析　(1)以A为坐标原点建立平面直角坐标系,过点B作BD⊥x轴于点D,如图,
由已知得AB=BC=40 m,∠BAD=30°,整个运动过程中小明的位移向量为.
在Rt△ABD中,BD=ABsin 30°=20 m,AD=ABcos 30°=20 m,
所以CD=BD+BC=60 m.
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC==40 m,
则tan∠CAD==,则∠CAD=60°,
所以位移的大小为40 m,方向是北偏西30°.
(2)因为=a,=b,所以a-b=,
又|a|=2,|b|=|a-b|=2,
所以△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC=2,∠ACB=90°,
以AB,AC为邻边作平行四边形ABPC,设对角线AP,BC交于点O,如图,
则a+b=,
由平行四边形的性质知AP=2AO,OC=BC=1,
在Rt△ACO中,由勾股定理得AO==,则AP=2,所以|a+b|=2.
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