第二章　平面向量及其应用 §3　从速度的倍数到向量的数乘--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
题组一　向量的数乘运算及其运算律
1.(多选题)(2025山东威海乳山银滩高级中学月考)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论正确的有(　　)
A.m(a-b)=ma-mb　　B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b　　D.若ma=na,则m=n
2.(2024辽宁抚顺质检)已知点C在线段AB上,且AC=CB,则(　　)
A.=　　B.=-
C.=-　　D.=
3.(2025江苏南京临江高级中学期中)设a,b为非零向量,则“|a|=2|b|”是“a=2b”的(　　)
A.充分不必要条件　
B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　
D.既不充分也不必要条件
4.(2025江苏徐州沛县学情调研)设λ为实数,e为单位向量,向量a的模为2,且a=λe,则λ=　　　　.
题组二　向量的线性运算
5.(2025福建宁德部分学校期中)设向量a,b,c满足5(a-2b)-4(b+3a)-c=0,则c=(　　)
A.-a+22b　　B.7a+14b C.a-22b　　D.-7a-14b
6.(2025江西南昌第十中学期中)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,则=(　　)
A.3-2　　B.-2+3
C.3+2　　D.2+3
7.(2024江西抚州学业质量监测)在△ABC中,边BC上的中线与边AC上的中线交于点E,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.1　　B.-1　　C.　　D.-
8.(2024江西景德镇期末质量检测)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且=2,则=(　　)
A.-　　B.+
C.-　　D.+
9.(2024江西南昌月考)已知等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC=2AD=2,BC的中点为E,则=(　　)
A.+　　B.+
C.+　　D.+
10.(2024江西南昌第一中学期中)化简:(4a-3b)+b-(6a-7b)=　　　　　　.
11.(2025河南许昌期中)已知E为△ABC所在平面内一点,且+=2.若=m+n,则=　　　　.
题组三　共线(平行)向量基本定理及应用
12.(多选题)(2025陕西西安临潼华清中学月考)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　)
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
13.(2025陕西西安高新第一中学期中)已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=3a,则(　　)
A.A,B,C三点共线　　B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线　　D.A,C,D三点共线
14.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)已知e1,e2不共线,向量a=ke1+2e2,b=8e1+ke2,若a,b的方向相反,则实数k=(　　)
A.-2　　B.-4　　C.±4　　D.±2
15.(2025北京顺义牛栏山第一中学月考)已知向量e1,e2为非零向量,则“|e1+e2|=|e1|+|e2|”是“存在非零实数m,n,使得me1+ne2=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(2024江西宜春宜丰中学月考)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=(a-1)e1+e2,=2be1-e2(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则+的最小值是(　　)
A.8　　B.6　　C.4　　D.2
17.(2025江苏扬州高邮期中学情调研)如图,在△ABC中,P在线段BC上,满足2=,O为线段AP上一点,且=+λ,则λ的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
18.(2025江西上饶弋阳第一中学月考)如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线.
题组四　直线的向量表示
19.(2023陕西西北工业大学附属中学期末)在△ABC中,点P满足=2-,则(　　)
A.点P不在直线BC上
B.点P在线段CB的延长线上
C.点P在线段BC上
D.点P在线段BC的延长线上
20.(2024福建泉州一中月考)在△OAB中,++=,则点O(　　)
A.在线段BC上且是靠近点B的三等分点
B.在线段AC上且是靠近点A的三等分点
C.在AB边所在直线上
D.在线段AC上且是靠近点C的三等分点
21.(2025重庆第二外国语学校期中)O是平面内一定点,P是△ABC内部一动点,且满足=+λ(+),λ>0,则直线AP一定经过△ABC的(　　)
A.外心　　B.重心　　C.内心　　D.垂心
22.已知点P在线段P1P2的反向延长线上(不包括端点),且=λ,则实数λ的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(多选题)(2025江西新余期中检测)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且=2,点F是对角线BD上靠近点D的四等分点,则(　　)
=-　　
B.=+
=-　　
D.=+
2.(2024福建泉州月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　)
A.-=　　B.+=
C.-=　　D.+=
3.(2025辽宁名校联盟联考)已知向量a,b满足|a+b|=1,|a-5b|=2,则|a-2b|的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
题组二　共线(平行)向量基本定理及其应用
4.(2025陕西汉中期末)如图,在△ABC中,=,=,BE交CF于点P,=x+y(x,y均大于0),则=(　　)
A.2　　B.　　
C.　　D.
5.(多选题)(2023山东泰安阶段练习)已知P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
6.(2025江苏南京中华中学期中)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G的直线分别与边AB,AC交于点M,N,设=x,=y,则x+4y的最小值为　　　　.
7.(2025江苏无锡江阴长泾中学月考)已知点P是△ABC所在平面内的一点,若=+,则=　　　　.
8.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,满足=2,M是AD的中点,过M的直线分别交AB,AC于P,Q两点,记=λ,=μ,且λ>0,μ>0.
(1)试用,分别表示与;
(2)求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
1.AB 2.C 3.B 5.D 6.B 7.D 8.C 9.B
12.ABC 13.B 14.B 15.A 16.A 17.D 19.B 20.B
21.B
1.AB　由向量数乘的运算律,可知A,B正确;
对于C,由ma=mb,可得m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;
对于D,由ma=na,可得(m-n)a=0,所以a=0或m=n,故D错误.
2.C　由题意可画出图形,如图,
设AC=2,则BC=5,AB=7,且与方向相反,
所以=-.
3.B　|a|=2|b|表示向量a的模是向量b的模的2倍,但a,b的方向不一定相同,所以由|a|=2|b|推不出a=2b;
反之,由向量数乘的定义可知,若a=2b,则|a|=2|b|.
综上,“|a|=2|b|”是“a=2b”的必要不充分条件.
4.答案　±2
解析　由题意可得|a|=|λe|=|λ|·|e|=|λ|=2,解得λ=±2.
5.D　因为5(a-2b)-4(b+3a)-c=-7a-14b-c=0,所以c=-7a-14b.
6.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,
所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3.
7.D　由题可知,E为△ABC的重心,则=×(+)=(+-)=-,又=λ+μ,∴λ=,μ=-,∴λ+μ=-.
8.C　由题意得,=-,所以=+=-+=-(+)+=-.
9.B　如图,连接BD,AC,
∵=-=-(+)=--=--,
∴=-,∴=+,
∴=(+)=+=+.
10.答案　a-b
解析　(4a-3b)+b-(6a-7b)=×==a-b.
11.答案　-3
解析　因为=+,所以+=2=2(+),
所以2=--=--(-)=-,
所以=-,所以m=,n=-,故=-3.
12.ABC　对于A,b=-a,即a∥b,故A正确;
对于B,b=-2a,即a∥b,故B正确;
对于C,a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,则b=-a,故C正确;
对于D,a=e1-e2,b=e1+e2+=(e1+e2),只有当e1与e2中至少有一个为0时,a∥b,所以向量a,b不一定平行,故D错误.
13.B　对于A,由题知不存在实数λ使得=λ,所以与不共线,即A,B,C三点不共线,故A错误;
对于B,因为=+=2a+3b,所以=2,又B是AB与BD的公共点,所以A,B,D三点共线,故B正确;
对于C,由题知不存在实数λ使得=λ,所以与不共线,即B,C,D三点不共线,故C错误;
对于D,=+=3a+9b,易知不存在实数λ使得=λ,所以与不共线,即A,C,D三点不共线,故D错误.
14.B　根据题意可知向量a,b共线,由共线(平行)向量基本定理可知,存在唯一一个实数λ,使得b=λa,
因为向量a,b的方向相反,所以λ<0,
又因为b=8e1+ke2,λa=λke1+2λe2,所以8e1+ke2=λke1+2λe2,
所以解得(舍去)或故k=-4.
15.A　向量e1,e2为非零向量,则由|e1+e2|=|e1|+|e2|得向量e1,e2方向相同;
存在非零实数m,n,使得me1+ne2=0,即e1=-e2,故向量e1,e2共线.
向量e1,e2方向相同可以得出e1,e2共线,但是e1,e2共线不一定满足方向相同,
所以“|e1+e2|=|e1|+|e2|”是“存在非零实数m,n,使得me1+ne2=0”的充分不必要条件.
16.A　由A,B,C三点共线,得∥,
设=λ(λ∈R),则(a-1)e1+e2=λ(2be1-e2),
所以故a+2b=1,
因为a>0,b>0,
所以+=(a+2b)=4+≥4+2=8当且仅当a=,b=时等号成立.
17.D　解法一:因为O为线段AP上一点,所以设=x,x∈[0,1],
则=+=+x=+x(+)=(1-x)+x,
又2=,所以=,所以=(1-x)+,
则解得
解法二:因为2=,所以=3,所以=+λ=+3λ,
而A,O,P三点共线,所以+3λ=1,解得λ=.
技巧点拨
　　A,B,C三点共线 存在实数λ,使得=λ+(1-λ),其中O为不与A,B,C共线的任意一点.
18.解析　(1)由题图知,=-=b-a,
=-=+=(b-a)+a=b+a.
(2)证明:连接AN,如图.易得+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,
又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线.
19.B　由=2-,得-=-,
所以=,又BP,CB有公共点B,所以B,P,C三点共线,且点P在线段CB的延长线上.
20.B　因为++=,所以++-=++-(-)=2+=0,所以2=-=,所以点O在线段AC上且是靠近点A的三等分点.
21.B　设D为BC的中点,则AD为△ABC的BC边上的中线,由题知=-=λ(+)=2λ,所以向量与共线,又重心为三角形三边中线的交点,所以直线AP一定经过△ABC的重心.
22.答案　(-1,0)
解析　依题意,设=μ(μ∈R,μ<0),
因为=λ,
所以=λ(+)=-λ+λ,
则=,故=μ<0,
所以-1<λ<0.
能力提升练
1.AC 2.A 4.A 5.CD
1.AC　由=2,得=,易知=,所以=-=.由点F是对角线BD上靠近点D的四等分点,得=,
所以=-=-=(+)-(-)=-.
2.A　对于A,-=-==,故A正确;
对于B,+=+==,故B错误;
对于C,-=-==,故C错误;
对于D,+=+,==-,若+=,则=0,不符合题意,故D错误.
3.答案　;
解析　易知a-2b=[(a+b)+(a-5b)],
所以|a-2b|=[(a+b)+(a-5b)]=|(a+b)+(a-5b)|.
因为|a+b|=1,|a-5b|=2,所以|(a+b)+(a-5b)|≤|a+b|+|a-5b|=3,当且仅当a+b,a-5b同向时,等号成立,
即|(a+b)+(a-5b)|的最大值为3,故|a-2b|的最大值为;
同理,|(a+b)+(a-5b)|≥||a+b|-|a-5b||=1,当且仅当a+b,a-5b反向时,等号成立,
即|(a+b)+(a-5b)|的最小值为1,故|a-2b|的最小值为.
4.A　因为B,P,E三点共线,所以=λ+(1-λ)=λ+(1-λ),λ∈R,
因为F,P,C三点共线,所以=t+(1-t)=t+(1-t),t∈R,
所以解得
所以x=×=,y=1-=,
所以=2.
5.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点,
所以+=2,+=2,
又+2+3=0,即(+)+2(+)=0,
所以2+4=0,即=2,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确;
由EF为△ABC的中位线,易知P,A,C三点不共线,所以向量与不可能平行,故A错误.
6.答案　3
解析　由题知x,y>0.因为点G为△ABC的重心,
所以=(+)=+,
又因为G,M,N三点共线,所以+=1,
所以x+4y=(x+4y)=≥=3,当且仅当x=1,y=时,等号成立,
所以x+4y的最小值为3.
7.答案　
解析　如图,取AB的中点F,AF的中点D,AC的中点E,连接PF,PD,PE,
因为=+,所以=(+)+(+),
整理得++2=0.
又+=2,所以=-,所以S△APC=S△APF,
又S△APF=S△APB,所以=.
8.解析　(1)由=2得-=2-2,则=+.
因为M是AD的中点,
所以=,所以=+.
(2)由=λ,=μ,且λ>0,μ>0得=,=,所以=+.
又因为P,M,Q三点共线,所以+=1,
所以λ+2μ=(λ+2μ)·=+++≥+2=+=,当且仅当=,即λ=μ=时取等号,所以λ+2μ的最小值为.
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