第一章直角三角形的边角关系寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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第一章直角三角形的边角关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A，B，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东60°方向，又位于景点B的北偏东30°方向，且景点A、B相距200m，则景点B、C相距的路程为（　　）
A．100 B．200 C．100 D．200
2．如图，学校在小明家北偏西方向，且距小明家千米，那么学校所在位置点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（ ）
A．51米 B．米 C．米 D．米
4．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
6．某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
9．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（ ）（参考数据：，，，，结果保留整数）
A．246m B．250m C．254m D．310m
10．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（a＋b）米 B．（a＋b）米
C．（a＋b）米 D．（a＋b）米
11．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（　　）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）
A．23.1 B．21.9 C．27.5 D．30
12．在中，，，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．用科学计算器比较大小：2 tan87°．
14．已知，，D为中点，点E为中点，，若，则 ．
15．正方形网格中∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．
16．如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ．
17．如图1是小红同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=18cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（用科学计算器计算．参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm）．
三、解答题
18．【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为___________．
(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为___________．
(3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为___________．
19．计算：．
20．定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

(1)如图①，在中，，，求证：是“好玩三角形”；
(2)如图②，若等腰三角形是“好玩三角形”，，求腰长和底边长的比．
21．如图，已知，，CD是斜边AB的中线，过点A作，AE分别与CD，CB相交于点H，E，且，求的值．
22．某红外线体温检测仪设备说明书中的部分内容如下所示．
设备名称 红外线体温检测仪
测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置； ④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度．
技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角．
探测最小角： 探测最大角：
(1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到）
(2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，，
23．在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；经过，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．
（1）求该轮船航行的速度．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
24．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD．
《第一章直角三角形的边角关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D C C A A A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【详解】试题分析：根据方位角可得：∠A=30°，∠CBA=120°，则∠C=30°，则△ABC为等腰三角形，故BC=AB=200m，故选B．
2．D
【分析】先利用方位角求得对应角度，再利用直角三角形中的勾股定理求三角形的对应边，即可求得A点坐标．
【详解】∵学校在小明家北偏西30方向,且距小明家6千米,
∴∠BOA=30，OA=6.
∵∠ABO=90，
∴AB=3,OB=3.
即A点坐标为( 3,3).
故选D.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题,将实际问题转化为直角三角形是解题的关键.
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
(米)，
故选：C．
4．C
【分析】连接格点、，则由勾股定理及其逆定理，易得CD⊥AB，从而在Rt△ADC中，由正切函数的定义即可求得结果．
【详解】如图，连接格点、，则，，，
∵，即，
∴，
在Rt△ADC中，．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数的定义等知识，把非直角三角形中锐角三角函数问题转化为直角三角形中锐角三角函数问题是本题的关键与难点．
5．D
【详解】试题分析：先求得直线y=k1x+2与y轴交点C的坐标为（0，2），然后根据△BOC的面积求得BD的长为1，然后利用∠BOC的正切求得OD的长为3,，从而求得点B的坐标为（1，3），代入y=求得k2=3．故答案选D.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
6．C
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高，
∴，则，
∴，
即坡面 的长度为，
故选：C．
7．C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
【详解】解：如图所示：tanA=，
则a=btan∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．A
【分析】先利用正切的定义得到，则设，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定义求解．
【详解】解：如图：
，
，
设，则，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．
9．A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD=100m，再利用锐角三角函数，分别求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=100m，
根据题意得：∠BAD=36°，∠CAD=60°，
∴，，
∴BC=BD+CD=246m．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，准确构造直角三角形．
10．A
【分析】在Rt△AEF中，通过解直角三角形求得AF，再在Rt△FMG和Rt△DQK中，通过解直角三角形求得FM，最后由AD＝AF＋4FM＋DQ得结果．
【详解】解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF＝a米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），
DQ＝QK cos30°＝（米），
∴AD＝AF＋4FM＋DQ＝a＋4×＋＝a＋b（米），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，关键是通过解直角三角形求出AF、FM、DQ．
11．B
【分析】过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为N，M，设BN=x，则AN=2.4x，在Rt△ABN中，根据勾股定理求出x的值，从而得到BN和DM的值，然后分别在Rt△BDM和Rt△BCM中求出BM和CM的值，即可求出答案.
【详解】如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为N，M，
∵i=1:2.4，AB=26m，
∴设BN=x，则AN=2.4x，
∴AB==2.6x，
则2.6x=26，
解得：x=10，
故BN=DM=10m，
则tan30°= = = ，
解得：BM=10，
则tan35°== =0.7，
解得：CM≈11.9（m），
故DC=MC+DM=11.9+10=21.9（m）．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理，相似三角形等知识才能解决问题.
12．A
【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，，
则，
故选：A．
13．<
【详解】2≈2×9.3274=18.6548，
tan87°≈19.0811，
∵18.6548<19.0811，
∴2故答案为<．
【点睛】本题考查了计算器的使用，要注意一般保留小数点后4位．
14．
【分析】如图，连接、， 则，，，设，则，可得，即，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵，D为中点，点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
如图，作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
15．
【详解】
如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理,AO==，
AC==，
OC==，，
所以,，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB===.
故答案为.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意判断三角形OAC为等腰直角三角形．
16．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
17．16.9
【详解】试题解析：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
考点：解直角三角形的应用．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，即有，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，再由，求解可得答案．
（3）取格点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，即为等腰直角三角形，即有，由，即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点，
由图可知点在格点上，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如下图，取格点，连接，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、平行四边形的判定和性质，勾股定理逆定理，勾股定理、等腰三角形，锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题．
19．
【分析】此题主要考查了三角函数的混合运算．代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
20．(1)见解析
(2)腰长和底边长的比为或
【分析】本题考查的是新定义的含义，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）如图，取的中点D，连接．由题意设设，则．结合勾股定理证明，从而可得结论；
（2）分情况讨论：①如图，取的中点G，连接，则．去，从而可得答案；②如图，取的中点M，连接．过点D作于点H，则．设，则，．求解．即可得到答案；
【详解】（1）证明：如图，取的中点D，连接．

∵，，
∴．
∴设，则．
∵D是的中点，
∴，
∴．
∴，
∴是“好玩三角形”．
（2）分情况讨论：
①如图，取的中点G，连接，则．

又∵，
∴，．
∴在中，由勾股定理，得
，
∴＝＝，即腰长和底边长的比为．
②如图，取的中点M，连接．

由题意，知．
过点D作于点H，则．
设，则，．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
∴＝，即腰长与底边长的比为．
综上所述，腰长和底边长的比为或．
21．
【分析】根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出，则，再由题意，可得∠B=∠CAH，由AH=2CH，根据三角函数即可可得出CH：AC=，即可得出sinB的值；
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，
∴.
∴．
又∵，
，
∴．
在中，．
∴．
∴.
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和三角函数，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和三角函数的计算.
22．(1)线段的长度约为
(2)该设备的安装高度约为
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据正切的定义求出；
（2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：在中，，，
则，
答：线段的长度约为；
（2）解：设的长为，
在中，，
则
在中，，
则
由题意得：，
解得：，
答：该设备的安装高度约为．
23．（1）；（2）轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸．
【分析】（1）根据，由勾股定理可求出BC的长度，航速=路程/时间即可；
（2）作，，垂足分别为、，设直线交于点，根据已知条件和构造的直角三角形，求出BD、CE、AE的长度，再根据，分别求出EF、AF的长，最后根据，得出轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸.
【详解】（1）由题意，得，∴．
∴轮船航行的速度为．
（2）能．作，，垂足分别为、，设直线交于点．
则，，．
∵，，∴．
又，∴．
∴．∴．
∴．∴．
∵，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸．
【点睛】本题属于实际应用题，需要注意的是，最后的结论，要根据，得出轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸.
24．sin∠ACD，cos∠ACD，tan∠ACD．
【分析】先得到∠B=∠ACD，根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得∠B即∠ACD的三角函数值．
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD =∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
AC=，
∴sin∠ACD=sinB=，
cos∠ACD=cosB=，
tan∠ACD= tanB=．
【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键．
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