第二章　平面向量及其应用 4.1　平面向量基本定理--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　基的概念与判断
1.(多选题)已知{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列说法中正确的是(　　)
A.若存在实数m,n使得me1+ne2=0,则m=n=0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2,其中m,n为实数
C.对于m,n∈R,me1+ne2不一定在该平面内
D.对于平面内的某一个向量a,存在两对以上的实数m,n,使得a=me1+ne2
2.(多选题)O为 ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能组成平面ABC内所有向量的一组基的是(　　)
A.与　　B.与　　
C.与　　D.与
3.(2025河南洛阳联考)若{a,b}是平面内所有向量的一组基,则下列也可以构成一组基的是(　　)
①a-b和2 025b-2 025a;②a+b和a-b;③3a-2b和2a-3b;④a-3b和6b-2a.
A.①②　　B.②③　　
C.③④　　D.①④
题组二　用基表示向量
4.(2025浙江宁波鄞州中学测试)在四边形ABCD中,=2,=3,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　B.a+b　　C.a+b　　D.a+b
5.(2024江西宜春宜丰中学开学考试)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则=(　　)
A.a-b　　B.-a+b
C.-a+b　　D.-a+b
6.(2025江西宜春丰城第九中学段考)已知在△ABC中,=-3,=λ,=μ+,则μ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
7.(2025广东汕头潮阳期中)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2AD=2DC,=3,=2,则下列表示正确的是(　　)
A.=-+　　B.=+
C.=-　　D.=-+
8.(2025江西景德镇期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分别为AD,DC的中点,BE与AF相交于点O,记=a,=b.
(1)以{a,b}为基,写出向量的分解式;
(2)若=λ,求实数λ的值.
9.(2024江苏扬州学情调研)在矩形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上一点,且=,设=a,=b.
(1)在基{a,b}下,分解下列向量:,,;
(2)若G为矩形ABCD所在平面内一点,且=a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形.
题组三　平面向量基本定理及其应用
10.(2025广东广州广雅中学阶段性测试)在平行四边形ABCD中,M是边AB上靠近点A的三等分点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则=(　　)
A.-a+b　　B.-a+b
C.-a+b　　D.-a+b
11.(2025四川绵阳南山中学月考)已知△ABC中,D是AC的中点,H在线段BD上,且=x+y,则x2+y2的最大值为(　　)
A.　　B.　　
C.1　　D.2
12.(2024江西抚州学业质量监测)如图,在△ABC中,D,E分别为BC,BA的三等分点,且点D靠近点B,点E靠近点A,AD交CE于点P,设=a,=b,则=(　　)
A.-a+b　　B.a+b
C.a+b　　D.a+b
13.(2025河南驻马店高级中学月考)如图,平面内有三个向量,,.,的夹角为120°,,的夹角为150°,||=||=1,||=3,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　B.-9　　C.-　　D.9
14.在△ABC中,=,=,若=x+y(x,y均大于0),则的值为　　　　.
15.(2025新疆乌鲁木齐八一中学期中)如图,A,B,P是圆O上的三点,OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q,若=a+b(a,b∈R),求a+b的取值范围.
能力提升练
题组一　用基表示向量
1.(2025浙江宁波三锋教研联盟期中联考)如图,在△ABC中,已知=,=2,P是线段AD与BE的交点,若=m+n,则m+n的值为(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.
2.(多选题)(2025重庆万州第三中学等多校期中联考)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照“赵爽弦图”,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成了一个大的平行四边形,其中E,F,G,H分别是线段DF,AG,BH,CE上靠近D,A,B,C的三等分点,则(　　)
A.=+　　B.=+
C.=-　　D.=-
3.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合加工而成的.已知向量n,k,则向量a=(　　)
A.2n+3k
B.(2+)n+3k
C.(2+)n+(2+)k
D.(1+)n+(2+)k
4.(2024陕西咸阳实验中学月考)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则+++…+=(　　)
A.2 025(a+b)　　B.2 026(a+b)　　
C.1 012(a+b)　　D.1 013(a+b)
题组二　平面向量基本定理的应用
5.正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,=2,Q是AC上一点,=+λ(λ∈R),则△QBC的面积为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024广东珠海实验中学等校联考)在平行四边形ABCD中,AE=AD,BF=BC,CE与DF交于点O.设=a,=b,若=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(多选题)(2025四川德阳中学月考)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点,则(　　)
A.=+
B.向量与共线
C.S△BCN∶S△ACN∶S△ABN=1∶2∶2
D.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为
8.(2024山东青岛月考)如图,在△ABC中,=,D为线段BC上的动点,AD与BE相交于点F,设=λ(λ∈[0,1]),=μ(μ∈[0,1]),则λ+6μ的最小值为　　　　.
9.(2023吉林第一中学检测)在△ABC中,O是BC的三等分点,||=2||,过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且=m,=n(m>0,n>0),若+的最小值为3,则正数t的值为　　　　.
10.(2025宁夏银川景博中学质量检测)欧拉线定理是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理,定理中指出:任意三角形的外心、重心和垂心共线,且称这条直线为欧拉线.在三角形ABC中,O为三角形的外心,P为三角形的垂心(O点与P点不重合),且OP∥BC,动点M在直线OP上,且=2x+y,则xy的最大值为　　　　.
11.(2025湖南怀化期末)已知O为△ABC的外心,满足=m+n,若m+n的最大值为,则cos∠BAC=　　　　.
12.(2024江西南昌第十中学月考)在△ABC中,=a,=b,若D是AB的中点,则=a+b;若D是AB上靠近点A的一个三等分点,则=a+b;若D是AB上靠近点A的一个四等分点,则=a+b.
(1)如图1,若=λ(λ∈R),用a,b表示,能得出什么结论 并加以证明;
(2)如图2,若=,=,AM与BN交于点O,过点O的直线l与CA,CB分别交于点P,Q.
①利用(1)的结论,用a,b表示;
②设=x,=y(x>0,y>0),求x+y的最小值.
　
答案与分层梯度式解析
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
1.AB 2.AB 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 10.A
11.C 12.B 13.B
1.AB　易知A,B正确;
对于C,因为{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,所以me1+ne2在该平面内,故C错误;
对于D,对于平面内的某一个向量a,存在唯一的一对实数m,n,使得a=me1+ne2,故D错误.
2.AB　要组成平面内所有向量的一组基,两个向量不能共线,易知在平行四边形ABCD中,∥,∥,故排除C,D;与不共线,与不共线,故A,B正确.
3.B　由题意知a,b不共线.
对于①,易得2 025b-2 025a=-2 025(a-b),所以a-b和2 025b-2 025a是共线向量,不能构成平面内所有向量的一组基;
对于②,设a+b=λ(a-b),λ∈R,可得方程组无解,所以a+b和a-b不共线,能构成平面内所有向量的一组基;
对于③,设3a-2b=μ(2a-3b),μ∈R,可得方程组无解,所以3a-2b和2a-3b不共线,能构成平面内所有向量的一组基;
对于④,易得a-3b=-(6b-2a),所以a-3b和6b-2a是共线向量,不能构成平面内所有向量的一组基.
4.C =++=++=b+a+(++)=b+a+=a+b.
5.D　由题意得=-=-=-(+)=-+=
-+×=-+=-+=-a+b.
6.A　=+=+=+(-)=+=×+,
由于=μ+,所以μ+=×+,
故解得λ=3,μ=.
7.B　由AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2AD=2DC,可知=2,则=++=--+=-,故A错误;
由=2,可得==(++),又=3,所以=++=++-=+,故B正确;
=+=-=---=--,故C错误;
=+=-++=-+,故D错误.
8.解析　(1)=+=-+=-a+b.
(2)由(1)可得=a-b,又与共线,
所以设=μ=μa-b,μ∈R,
则=+=b+μa-b,
又=+=+=b+a,且=λ,
所以b+μa-b=λb+a,
即μa+(1-μ)b=λa+λb,
即解得
9.解析　(1)根据题意,得=+=+=+=b+a,∵=,∴CF=CB,∴BF=CB,即=,
∴=+=+=+=a+b,
故=-=-=a-b.
(2)证明:由(1)知=b+a,=a-b,
∵=a-b,∴=-=-=a-b,∴=2,∴∥,
又EG与EF有公共点E,∴E,G,F三点共线,
即E,G,F三点不能构成三角形.
10.A　易知+==b,-==a,所以=,
由题意可得==,则==a,
所以=+=+a=-a+b.
11.C　由D是AC的中点得=2,
所以=x+y=x+2y,
因为B,H,D三点共线,所以x+2y=10≤x≤1,0≤y≤,所以x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5+,当x=1,y=0时,x2+y2取得最大值,为1.
12.B　设=λ,=μ(λ,μ∈R),
所以=-=λ-=λ(-)-,
又=,所以=+(1-λ),
因为=,所以=+=+μ=+μ(-)=(1-μ)+μ,
所以解得
所以=+=a+b.
13.B　延长BO至点B',使OB'=OB,再以OB'为对角线作 ODB'E,其中OE在直线OA上,如图,
因为<,>=120°,<,>=150°,
所以∠EOB'=∠OB'D=60°,∠DOB'=90°,
所以||=tan 60°||=,||=2||=2,
所以=2+,
所以=-=-2-,
即=-6-3,
又=λ+μ,,不共线,
所以λ=-6,μ=-3,所以λ+μ=-9.
14.答案　15
解析　如图所示,在△ABM中,=+,
因为=,所以=,
所以=+.①
在△ABN中,=+,
因为=,
所以=,所以=+.②
将②代入①,得=+=+,
因为=x+y,所以x=,y=,
故=×20=15.
15.解析　设=k,k∈(0,1),=λ+μ(λ,μ∈R),
∵A,B,Q三点共线,∴λ+μ=1,
∴=k=k(λ+μ)=kλ+kμ,
又=a+b,∴a=kλ,b=kμ,∴a+b=kλ+kμ=k(λ+μ),又k∈(0,1),λ+μ=1,∴a+b∈(0,1),
故a+b的取值范围是(0,1).
能力提升练
1.B 2.AC 3.D 4.D 5.D 6.A 7.ACD
1.B　由题可设=λ且0<λ<1,则=λ=λ(+)=λ=λ+(-)=+,
又=,所以=+,
由B,P,E三点共线,可知+=1,可得λ=,
又=m+n,所以m+n=+=.
2.AC　由题意可得=+=+=+(+)=++=++.
因为四边形EFGH是平行四边形,且F,H分别是线段AG,CE上靠近A,C的三等分点,
所以AG CE,所以=-,所以=+-,
所以=+=+,故A正确,B错误.
因为=+=-=-+,
所以=+=-=-,故C正确,D错误.
3.D　如图.
根据题意可得|n|=|k|,由对称性可得AB=BC=CD=DE=EQ=QF,CE=EF=FG=AB=|n|,由图可得点B,C,E,Q共线,点Q,F,G共线,所以=++=(2+)k,=+=(1+)n,所以a=+=(2+)k+(1+)n.
4.D　取A0A2 025的中点A,则+=2=a+b,
因为A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以点A也是A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点,
故+=+=…=+=2=a+b,
故+++…+=(a+b)=1 013(a+b).
方法技巧
　　处理多个向量的和的问题,大多是将相关具有对称性的两个向量分别相加,再按规律求所有向量的和,本题中A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以A0A2 025,A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点相同,再利用向量加法的平行四边形法则求解即可.
5.D　=+λ=×+=+,
由A,Q,C三点共线,得+=1,解得λ=,
即=+,又=+,
∴+=+(+),即=,
故S△QBC=S△ABC=××22=.
6.A　连接AF,AC,图略.
∵D,O,F三点共线,
∴可设=x+y(x,y∈R),则x+y=1,
∴=x+y(+)=x+y=b+ya.
∵E,O,C三点共线,
∴可设=m+n(m,n∈R),则m+n=1,
∴=+n(+)=b+na,
则解得
∴=a+b,即λ+μ=+=.
7.ACD　因为在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,
所以=,则=+=+.
对于选项A,因为M为线段BC的中点,
所以=(+)==+,故A正确.
对于选项B,因为A,N,M三点共线,
所以可设=m=m+m,易知m∈(0,1),
因为B,N,D三点共线,所以可设=n=n(-)=-n+n,易知n∈(0,1),
又因为=-=m+m-=+m,
所以解得故=+,
所以=-=-=-,又因为与不共线,所以向量与不共线,故B错误.
对于选项C,因为M为线段BC的中点,所以S△ACM=S△ABM=S△ABC.
由选项B可得=,
所以S△ACN=S△ACM=S△ABC,S△ABN=S△ABM=S△ABC,S△BCN=S△ABC-S△ACN-S△ABN=S△ABC,
所以S△BCN∶S△ACN∶S△ABN=1∶2∶2,故C正确.
对于选项D,因为P为线段CD上的一个动点,
所以设=t=,t∈[0,1].
又因为=+=+,=λ+μ,
所以λ+μ=+1∈,所以λ+μ的最大值为,故D正确.
8.答案　1
解析　由题意得=+=+μ=+μ(-)=(1-μ)+μ,
所以=λ=(1-μ)λ+λμ,
又=,所以=(1-μ)λ+4λμ,
又因为B,F,E三点共线,
所以(1-μ)λ+4λμ=1,解得λ=,
令1+3μ=x,则x∈[1,4],λ=,3μ=x-1,
则λ+6μ=+2(x-1)=+2x-2,
显然对勾函数y=+2x在[1,4]上单调递增,
所以当x=1时,=3,此时(λ+6μ)min=1,
所以当μ=0,λ=1时,λ+6μ取得最小值,为1.
9.答案　3-
解析　∵在△ABC中,O是BC的三等分点,||=2||,∴=,∴=+=+=+(-)=+,
∵=m,=n,∴=m+n,
又∵O,E,F三点共线,∴m+n=1,
∴+==+++≥2++=+t+,
当且仅当=,即2m2t2=n2时取等号,
∴+的最小值为+t+,故+t+=3,
∵t>0,∴t=3-.
10.答案　
解析　设G为△ABC的重心,则由欧拉线定理可知G在直线OP上,
连接AG并延长,交BC于点D,如图,
所以AD为△ABC的BC边上的中线,所以==+,
由点M,G在直线OP上,OP∥BC,可设=λ=λ(-),λ∈R,
所以=+=++λ(-)=+,
又=2x+y,
所以所以2x+y=,
所以xy=-2x2+x=-2+,易知当x=时,xy取得最大值,为.
11.答案　
解析　如图,延长AO交BC于D,
设=k,k>0,则=+,
因为D在BC上,所以+=1,即k=m+n,
又因为m+n的最大值为,
所以k的最大值为,
设△ABC外接圆的半径为R,则k==,
当k最大时,||最小,即OD⊥BC时,k取最大值,
此时=,解得=,即=,
易知此时△ABC是等腰三角形,∠BOD=∠BOC=∠BAC,
∴cos∠BAC=cos∠BOD==.
12.解析　(1)结论:=(1-λ)a+λb(λ∈R).
证明:因为=λ(λ∈R),所以=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,因为=a,=b,所以=(1-λ)a+λb(λ∈R).
(2)①因为=,=,
所以=,=,
因为A,O,M三点共线,所以可设=t(0则=(1-t)+t=(1-t)+t×=(1-t)a+b,
因为B,O,N三点共线,所以可设=μ(0<μ<1).
则=(1-μ)+μ=(1-μ)+μ×=(1-μ)·b+a,
因为a与b不共线,所以解得
所以=a+b.
②因为=x,=y(x>0,y>0),
所以a=,b=,
所以=a+b=+,
因为P,O,Q三点共线,所以+=1,
所以x+y=(x+y)=++,
因为x>0,y>0,所以>0,>0,
所以++≥+2=,
当且仅当即时,等号成立,
所以x+y的最小值为.
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