1.1锐角三角函数寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级下册

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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知在中，，，，则等于（　　）
A．6 B．16 C．12 D．4
4．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，在中，，那么边的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=，则BD的长是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（　　）个
（1） （2） （3） （4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )
A．tanαcosβ
12．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在矩形中，，点E，F均在边上，且，则的值为 ．

14．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C点重合，连结A′B，则tan∠A'BC'的值为 ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝
16．在中，，，，则 ， ， ， ， ， ．
17．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
三、解答题
18．如图，在钝角中，（，且），于点是的中点．
(1)求证：．
(2)若的三边长是连续整数（是最短边），求的值．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
20．如图，在菱形中，于点，，，求菱形的边长．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．
(1)求的长．
(2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标．
22．如图，在中，，O是的中点，，．
(1)求的长；
(2)求与的值．
23．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，．
(1)求出m，n的值；
(2)求该三棱柱的体积．
24．如图，在中，，，．
(1)求；
(2)求．
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A A C B C C C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题考查了求正切值，平行四边形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取格点F，连接、，根据网格的特点可推出四边形为平行四边形，从而得到，然后根据勾股定理的逆定理可得，即可求得．
【详解】解：取格点F，连接、，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，，
，
，
．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进一步得出，令，再用m表示出的长即可解决问题．
【详解】解：由题知，令，则，
∴，
∵，且点D为的中点，
∴，
∴
在中，
∵，
∴
在中，
，
所以
故选：A．
3．D
【分析】根据题意作图，由正切值的定义可得，，结合已知条件，，，即可求得的值．
【详解】解：如图，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切值的定义，根据题意作图并正确理解正切值的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
5．A
【分析】连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用正切的定义求解即可．
【详解】如图，连接小正方形的对角线，
设每个小正方形的边长为1，
则由勾股定理得，，
∵，
即，
∴是直角三角形，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
6．C
【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得．
【详解】解：∵在中，，
∴
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理，角正弦值的求解，先根据勾股定理求出的长，再根据正弦值的定义求解即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了三角形的中线，勾股定理，正弦函数，由勾股定理得，再由正弦函数定义即可求解．
【详解】解：为边上的中线，
，
，
，
故选：C．
9．C
【分析】在直角△ACD中，根据cos∠ADC=得到 =，已知CD=3，从而求得AD、BC的长，结合BD=BC-CD即可求得BD的长.
【详解】在直角△ACD中，cos∠ADC= =，
∵CD=3，
∴AD=BC=5，
∴BD=5-3=2.
故选C.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数的定义.
10．C
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA＝.
故（1），（2），（4）正确．
故选C．
【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
11．C
【详解】试题分析：根据角度为锐角时，正弦、正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小，依次分析各项即可判断.
∵α>β
∴tanα>tanβ，sinα>sinβ，cosα故选C.
考点：三角函数
点评：此类问题知识点独立，，在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.
12．B
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴．
故选：B．
13．
【分析】根据矩形的性质得出，再由题意得出，，结合正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查矩形的性质及正切函数的定义，理解正切函数的定义是解题关键．
14．
【分析】tan∠A'BC'的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求．因而过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在直角△A′BD中，根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】
解：过A′作A′D⊥BC′，垂足为D．
在等腰直角三角形A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，
∴A′D=B′D= B′C′．
∵BC=B′C′，
∴tan∠A'BC'===．
故答案为．
【点睛】本题利用了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半．
15．
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA=，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
16．
【分析】首先用勾股定理求出直角三角形中第三边的数值，进一步利用锐角三角函数的定义代入解决问题．
【详解】解：如图：c＝＝17；
∴sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，tanA＝，tanB＝，
故答案为；；；；；．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
17．
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可得证；
（2）根据题意设的长为，则的长为的长为．根据勾股定理建立方程，解方程，进而可得，根据（1）可得，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图，取的中点，连接．
，
，
．
是斜边上的中线，
，
．
，
，
，
．
（2）设的长为，则的长为的长为．
根据勾股定理，得，
解得．
，
，
，
．
由（1）知，
．
是的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．，，．
【分析】先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：在中，，
，
则，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
20．
【分析】根据正弦值和勾股定理设出，利用，列方程求出边长即可解题．
【详解】解：∵，
设，则，勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
则菱形的边长为．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，勾股定理和菱形的周长，利用正弦三角函数值设出边长，建立等量关系求出菱形边长是解题关键．
21．(1)
(2)，
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解；
（2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论．
【详解】（1）解：，
．
在中，
，
，，
；
（2）解：连接，设．
在中，
，，
，
①当点D在C左侧时，，．
，，
，
，
，
，．
②当点D在点C右侧时，，．
，
．
在中，，
，
，．
综上所述，，．
22．(1)12
(2)，
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，角的余弦和正切：
（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理求得；
（2）由等边对等角可得，结合三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：，O是的中点，，
，
，
，
（2）解：，O是的中点，
，
，
，．
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查根据三视图求几何体的体积．掌握三视图的特点，是解题的关键．
（1）根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等，结合正切值的定义，进行求解即可；
（2）根据三视图，得到几何体为直三棱柱，利用直三棱柱的体积公式：底面积乘以高进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，作于D，
由题意可知，这个三棱柱的高为6，．
，，
，
，，
，即；
（2）俯视图中的三角形的底边，高，
，
．
24．(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用正弦函数的定义求得的长，再根据勾股定理即可求解；
（2）直接利用正切函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用．熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
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