第二章　平面向量及其应用 4.2　平面向量及运算的坐标表示--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
题组一　平面向量的坐标表示
1.(2025宁夏银川一中模拟)如图,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2)　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　D.(3,4),(-2,-3)
2.(2024河南创新发展联盟月考)已知向量=(2,3),点A(3,2),则点B的坐标为(　　)
A.(6,4)　　B.(1,-1)　　C.(5,5)　　D.(-1,1)
3.已知a与x轴的非负半轴所成的角为120°,且|a|=2,则a的坐标为　　　　　　　　.
题组二　平面向量运算的坐标表示
4.(2025江苏苏州期中调研)已知a=(2,1),b=(-3,4),则2a-b=(　　)
A.(1,6)　　B.(5,-3)　　C.(7,-2)　　D.(-1,5)
5.(2024天津田家炳中学月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A.　　B.
C.　　D.
6.(多选题)(2024山东济宁邹城检测)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P的坐标可能为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025贵州遵义测试)已知向量w,v,u在正方形网格中的位置如图所示,将w绕着起点按顺时针方向旋转90°后得到向量a,若u=ma-nv,则m+n=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
8.(教材习题改编)已知平面上三点A(2,-1),B(3,4),C(0,-2),若=,E为CD的中点,则点E的坐标为　　　　.
9.(2025浙江杭州高级中学月考)分别以直角三角形的三条边为边作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形的面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE进行上述操作后,得到如图所示的图形.若=x+y,则x+y=　　　　.
10.(2023重庆辅仁中学质量检测)已知点O(0,0),A(1,2).
(1)若点B(3t,3t),=+,则实数t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P位于第二象限
(2)若点B(4,5),P(1+3m,2+3m),则四边形OABP能成为平行四边形吗 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
11.(2025湖北问津教育联合体月考)已知O为坐标原点,A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=a,=b,=c,若=3c,=-2b.
(1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
题组三　平面向量平行的坐标表示
12.(2024江西宜春宜丰中学月考)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则“=”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2025江苏常州期中)在下列各组向量中,可以构成空间向量的一组基的是(　　)
A.e1=(1,2),e2=(-2,-4)
B.e1=(1,2),e2=(0,0)
C.e1=(1,2),e2=(3,4)
D.e1=(1,2),e2=(-1,-2)
14.(2023江西景德镇质检)已知向量a=(2,3),b=(2,sin α-3),c=(2,cos α),若(a+b)∥c,则tan α的值为(　　)
A.2　　B.-2　　C.　　D.-
15.(2023甘肃天水第一中学检测)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,m,n∈R,则等于(　　)
A.-　　B.　　C.-2　　D.2
16.(2025江西新余第四中学模拟)已知平面直角坐标系xOy中,A(-2,-2),B(1,2),=λ+(3-λ),∥,则P的坐标为(　　)
A.　　B.(0,2)　　C.(3,6)　　D.(3,4)
17.(2024河南郑州外国语学校月考)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为　　　　.
18.(2025辽宁大连第二十四中学期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(m+1,-3m-1),B(-2,m+2),m>0,若O,A,B三点共线,则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为　　　　.
19.(2025广东惠州中学月考)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),c=a-2b.
(1)若向量d=(5,2),试用a,b表示d;
(2)若c∥ka+2b,求实数k的值.
20.(2024甘肃酒泉联考)已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若P(2,y)满足P,B,D三点共线,求y的值.
能力提升练
题组一　平面向量运算的坐标表示
1.(2023江苏镇江扬中第二高级中学期中)已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若=x+y(x,y∈R),则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024河南信阳高级中学月考)定义向量的一种运算“ ”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),a b=mq-np,则下列说法错误的是(　　)
A.若a与b共线,则a b=0
B.若a·b=mp+nq,|a|=,则(a b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2
C.对任意的λ∈R,有(λa) b=λ(a b)
D.a b=b a
3.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在BC上,且满足=m+n(m,n均为正数),则+的最小值为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
4.(2025山东省实验中学月考)如图,扇形AOB的圆心角为,P是扇形内部(包括边界)任意一点,若=x+y,那么2(x+y)的最大值是(　　)
A.2　　B.　　C.4　　D.2
题组二　平面向量平行的坐标表示
5.(2025江西鹰潭期中)已知点O(0,0),在△ABC中,A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.
6.(2025安徽合肥八中检测)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)已知e1=(2,1),e2=(2,-2),D(3,5),若A,B,C,D四点按顺序连接可构成平行四边形,求点A的坐标.
7.(2025江西上饶弋阳第一中学月考)如图,四边形ABCD是正方形.E在边AB上运动,F在边BC上运动,AF与DE交于点G.
(1)若E是AB的中点,BC=3BF,=λ,求实数λ的值;
(2)若AE=BF,=m+n,求的最大值.
答案与分层梯度式解析
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
1.C 2.C 4.C 5.D 6.AC 7.A 12.A 13.C
14.A 15.A 16.B
1.C　由题图可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,
∴a=(2,3),b=(2,-2).
2.C　设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,即点B的坐标为(5,5).
3.答案　(-1,)或(-1,-)
解析　如图所示,或即为向量a,
设A(x1,y1),由三角函数的定义,得x1=2cos 120°=-1,y1=2sin 120°=,得A(-1,).
同理可得B(-1,-),
所以a的坐标为(-1,)或(-1,-).
4.C　2a-b=2(2,1)-(-3,4)=(4+3,2-4)=(7,-2).
5.D　设c=(x,y),∵a-2b+3c=0,
∴(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(0,0),
即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0),∴
解得x=-,y=-,∴c=.
6.AC　因为=(2,3),=(6,-3),
所以=-=(4,-6),
因为P是线段AB的三等分点,
所以=或=.
当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为;
当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为.
综上,点P的坐标为或.
易错警示
　　若P是线段AB的三等分点,则P有两种可能:一种是靠近A的三等分点,一种是靠近B的三等分点.
7.A　如图,以A为坐标原点,直线AC为y轴,直线AE为x轴建立平面直角坐标系,
由图可得a=,
设每个小正方形的边长为1,
则C(0,3),A(0,0),E(3,0),B(3,1),D(3,2),G(5,-2),
所以a==(2,-2),u==(3,1),v==(3,-1),
因为u=ma-nv,即(3,1)=m(2,-2)-n(3,-1),即(3,1)=(2m-3n,-2m+n),
所以解得
所以m+n=-.
8.答案　
解析　由题意得=(1,5),=(xD,yD+2),
又=,所以(1,5)=(xD,yD+2),
解得xD=1,yD=3,即D(1,3),
所以xE==,yE==,即E.
9.答案　
解析　以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
设正方形ABCD的边长为2a(a>0),则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a,
故A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,
则xF=(+1)a·cos 30°=a,yF=(+1)a·sin 30°+2a=a,即F.
∵=x+y,
∴=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),
∴∴∴x+y=.
10.解析　(1)∵O(0,0),A(1,2),B(3t,3t),
∴=(1,2),=(3t,3t),
∴=+=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
若点P位于第二象限,则∴-(2)由题意得=(1,2),=(3-3m,3-3m).
若四边形OABP为平行四边形,则=,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
11.解析　(1)由题意得a==(3,-1)-(-2,4)=(5,-5),b==(-3,-4)-(3,-1)=(-6,-3),c==(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
所以3a+b-2c=3(5,-5)+(-6,-3)-2(1,8)=(15-6-2,-15-3-16)=(7,-34).
(2)因为mb+nc=m(-6,-3)+n(1,8)=(-6m+n,-3m+8n),且a=(5,-5),
所以解得
(3)因为=-=3c,所以=+3c=(-3,-4)+3(1,8)=(0,20),即M(0,20),
因为=-=-2b,所以=-2b=(-3,-4)-2(-6,-3)=(9,2),即N(9,2),
所以=-=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
12.A　若=,则x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,故a∥b,充分性成立;不妨取a=(0,1),b=(0,2),此时a∥b,但不满足=,必要性不成立.所以“=”是“a∥b”的充分不必要条件.
13.C　对于A,由e1=(1,2),e2=(-2,-4),知e2=-2e1,所以e1与e2共线,它们不可以构成空间向量的一组基;
对于B,由e1=(1,2),e2=(0,0)及零向量与平面内任意向量共线,可知e1与e2不可以构成空间向量的一组基;
对于C,因为e1=(1,2),e2=(3,4),1×4-2×3≠0,所以e1与e2不共线,它们可以构成空间向量的一组基;
对于D,由e1=(1,2),e2=(-1,-2),知e2=-e1,所以e1与e2共线,它们不可以构成空间向量的一组基.
14.A　易得a+b=(4,sin α),因为(a+b)∥c,
所以4cos α=2sin α,则tan α==2.
15.A　ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),
因为ma+nb与a-2b共线,
所以(2m-n)×(-1)=(3m+2n)×4,
即14m=-7n,所以=-.
B　由题可得=(-2λ,-2λ)+(3-λ,6-2λ)=(3-3λ,6-4λ),=(-2,
-2),=(1,2),
则=-=(5-3λ,8-4λ),又∥,所以=2,所以λ=1,
故=(0,2),即P的坐标为(0,2).
17.答案　{m|m≠2}
解析　由题可得A,B,C三点不共线,即,不共线,易得=
(-3,m+1),又=(-1,m-1),
所以-(m+1)≠-3(m-1),解得m≠2.
故实数m的取值范围为{m|m≠2}.
18.答案　(2,-5)
解析　解法一:∵A(m+1,-3m-1),B(-2,m+2),
∴=(m+1,-3m-1),=(-2,m+2).
∵O,A,B三点共线,∴与共线,
则(m+1)(m+2)+2(-3m-1)=0,
解得m=3或m=0(舍去).
∴=(4,-10),=(-2,5),=-=(-6,15).
设线段AB上靠近点A的三等分点为C,
则=+=(2,-5),∴C(2,-5).
解法二:同解法一得A(4,-10),B(-2,5),
设线段AB上靠近点A的三等分点为C(x,y),则=,
由定比分点坐标公式可知x==2,y==-5,∴C(2,-5).
知识拓展
定比分点的坐标表示
已知A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,若存在一个实数λ(λ≠-1),使=λ,则有=·+,点M的坐标为.
19.解析　(1)由题可知a与b不共线,设d=xa+yb(x,y∈R),则(5,2)=x(1,2)+y(-3,2),
所以解得x=2,y=-1,
因此d=2a-b.
(2)由题意得c=a-2b=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2),ka+2b=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).
因为c∥ka+2b,所以-2(k-6)=7(2k+4),解得k=-1.
方法总结
　　在已知两向量共线求参数的问题中,参数一般出现在两个位置,一是向量坐标本身含有参数,二是相关向量用两向量的含参关系式表示.解题时应根据向量共线的坐标表示正确建立方程(组)并求解.
20.解析　(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),
∴(x1+1,y1+2)=(4,3),
则解得∴B(3,1),
同理可得D(-4,-3),
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2==-,y2==
-1,∴M.
(2)由(1)知,B(3,1),D(-4,-3),则=(-7,-4),∵P(2,y),∴=(1,1-y),∵P,B,D三点共线,∴∥,∴-4+7×(1-y)=0,解得y=.
方法总结
　　(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(x,y),则x=,y=.
(2)三点共线问题可转化为相应两向量共线问题求解,如要证A,B,C三点共线,只需证∥,再借助共线(平行)向量基本定理或向量共线的坐标形式加以解决即可.
能力提升练
1.C 2.D 3.D 4.C
1.C　如图所示,以OC,OB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(,1),B(0,2),C(-1,0),
∴=(,1),=(0,2),=(-1,0),
∵=x+y,
∴(0,2)=x(,1)+y(-1,0)=(x-y,x),
∴x=2,y=2,故=.
2.D　对于A,若a与b共线,则mq=np,所以a b=mq-np=0,故A中说法正确;
对于B,a b=mq-np,a·b=mp+nq,则(a b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(mq)2+(np)2-2mnqp+(mp)2+(nq)2+2mnqp=m2(q2+p2)+n2(q2+p2)=(m2+n2)(q2+p2)=|a|2·|b|2,故B中说法正确;
对于C,(λa) b=λmq-λnp=λ(a b),故C中说法正确;
对于D,a b=mq-np,b a=pn-qm,不一定相等,故D中说法错误.
3.D　以A为原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),
则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),
所以=(4,0),=(0,4),=(-3,4).
设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈R),
则=+=(4-3λ,4λ).
因为=m+n=(4m,4n),
所以消去λ,得m+n=1.
因为m>0,n>0,所以+==1+++≥+2=,
当且仅当m=n时,等号成立.
故+的最小值为.
4.C　以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设扇形AOB的半径为r,则A(r,0),B,
设点P(acos θ,asin θ)0≤a≤r,0≤θ≤,
因为=x+y=x(r,0)+y=rx-,ry,
所以所以
所以2(x+y)=(2x-y)+3y=cos θ+sin θ=·sin,
因为0≤θ≤,所以≤θ+≤,
故当θ+=且a=r时,2(x+y)取得最大值,为4.
5.答案　
解析　因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,所以C,D,
则=,=.
设M(x,y),则=(x,y-5),
因为A,M,D三点共线,所以与共线,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.
因为C,M,B三点共线,所以与共线,
又=,所以x-4=0,即7x-16y=-20.
由得所以点M的坐标为.
6.解析　(1)由题意可得=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,
∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的向量,
∴解得
(2)由(1)得,=-e1-e2,
则=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
∵A,B,C,D四点按顺序连接可构成平行四边形,
∴=.设A(x,y),则=(3-x,5-y),
又=(-7,-2),∴
解得∴点A的坐标为(10,7).
7.解析　(1)如图,建立平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为6,
则A(0,6),F(6,4),D(0,0),E(3,6),
所以=(6,-2),=(3,6),
设点G(x,y),则=(x,y-6),
由=λ,得(x,y-6)=λ(6,-2),
所以即即G(6λ,6-2λ),
由题可设=μ,则(6λ,6-2λ)=μ(3,6),
所以解得λ=.
(2)因为A,G,F三点共线,且=m+n,
所以m+n=1,m>0,n>0,
设正方形ABCD的边长为1,AE=BF=x(0≤x≤1),以D为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,图略,
则A(0,1),B(1,1),C(1,0),D(0,0),E(x,1),F(1,1-x),
所以=(0,1),=(1,1-x),=(x,1),
所以=m+n=(n,m+n-nx)=(n,1-nx),
又∥,所以n=x-nx2,
所以n=,m=1-n=,
所以==,
若x=0,则=0,
若x∈(0,1],则==≤=1,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立.
综上所述,的最大值为1.
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