1.4解直角三角形寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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1.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于(　　)
A．30° B．45° C．50° D．60°
2．在Rt△ABC中，，，则的三边、、之比：：为（　　）
A．2：：3 B．1：： C．1：2：3 D．2：：
3．有一个长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（ ）
A． B． C．10 D．8
5．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，该直线与轴、轴分别交于点，以为边在第一象限内作正△ABC．若点在第一象限内，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( )
A． B． C． D．
7．如图，某同学用圆规画一个半径为4cm的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（ ）

A．cm B．cm C．cm D．cm
8．在中，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（　　）
A． B． C． D．h cosα
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cos∠ADD'为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A． B． C． D．2
12．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，，，则的值为 .
14．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝ ．
15．如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为 ．
16．如图所示，直线，垂足为点是直线上的两点，且．直线绕点按逆时针方向旋转，旋转角度为．
（1）当时，在直线上找点，使得是以为顶角的等腰三角形，此时_____．
（2）当在什么范围内变化时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，请用不等式表示的取值范围：_________．
17．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____．
三、解答题
18．如图,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.
19．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4，求∠A，∠B和BC．
21．在三角形中，，
(1)求三角形的面积．
(2)求角A的对边a的长．
22．已知等腰三角形的腰长为，底边长为，求其底角的正弦值．
23．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝10．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图：在BC边上作出点E，使得cos∠BAE＝； （不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图形中，①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；②四边形AEFD的面积＝ ．
24．在锐角中，，求：

(1)的值．
(2)的值．
《1.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D A A A C B C
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，根据坡比计算坡角的正切值即可得到坡角的大小.
【详解】解：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．若斜坡的坡比为1：，坡角的正切值=，
所以坡角等于60.
故选D.
【点睛】此题重点考查学生对锐角三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键.
2．A
【分析】利用余弦的定义得到，则可设，，利用勾股定理计算出，然后计算：：的值．
【详解】∵，
∴，
设，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】如图所示，正六边形的边长为12cm，OG⊥BC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=（）°=60°；
∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=（）°=30°．
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm，∴BG=BC=×12=6cm，∴OB===12cm．
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
4．D
【分析】设BC＝4x，BD＝5x，则CD＝3x，由BC＝4即可求x，进而求出BC．
【详解】∵∠C＝90°，
设BC＝4x，BD＝5x，
∴CD＝3x，
∵
∴x=1，故BD＝5，CD=3
∵的垂直平分线交于点，
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝AD+CD=8，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据直线AB的解析式可求出A、B的坐标，此时可得出∠OBA=60°，那么AC∥y轴，因此C点的横坐标与A点的横坐标相同，C点的纵坐标是B点纵坐标的2倍据此可求出C点的坐标．由点在第一象限内，且满足，得到P在过点C且与AB平行的直线l上．设直线l为y=x+b，把C（，2）代入求得b的值，进而得出直线l的解析式，从而得出结论．
【详解】解：由直线y=﹣x+1，求得点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，1），
∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1，
∴AB=2，tan∠OBA=，
∴∠OBA=60°，
∴∠OAB=90°﹣∠OBA=30°．
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB=2，∠CAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°，
∴点C的坐标为（，2）．
∵S△AOB=OB×OA==，S△ABC==，又点在第一象限内，且满足，
∴P在过点C且与AB平行的直线l上．设直线l为y=﹣x+b，把C（，2）代入，
得：－1+b=2，解得：b=3．
∴直线l为:y=x+3．
∵点在第一象限内，故0＜n＜3．
故选A．
【点睛】本题是一次函数的综合题．考查了一次函数的性质和求一次函数的解析式以及等边三角形的性质．解题的关键是得出P在过点C且与AB平行的直线l上．
6．A
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC，∴tan∠DBC===．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
7．A
【分析】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB于点D，在直角△AO'D中利用三角函数求得AD的长，则AB'=2AD，然后根据BB'=AB'-AB即可求解．
【详解】在等腰中，，，，
∴cm，
如图，过作于点D，

∵，
∴，
∴（cm），
则cm，
∴cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
8．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
故选C．

9．B
【分析】根据余角性质得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定义可得答案．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解决此题关键．
10．C
【分析】过点D'作D'E⊥AD于点E，设D'E＝3x，AE＝4x，在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝5x＝10，得x＝2，则D'E＝6，AE＝8，DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DED'中，由勾股定理求得DD'的长，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，
将矩形绕点逆时针旋转至恰好经过点，
，，
，
，
设，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11．B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
12．A
【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，
∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键．
13．
【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
设，则，
∴，
∴

故答案为：．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．
14．
【分析】设AC、BD相交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥ BD,再求出OA ，OB，利用勾股定理求出菱形的边长AB，过点A作AE⊥ BC于E,利用菱形的面积列出方程求出AE，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解
【详解】
如图，设AC、BD相交于点O，
在菱形ABCD中, AC⊥ BD,OA=AC=×6=3，
OB=BD=×8=4，
由勾股定理得,
AB===5，
过点A作AE⊥ BC,则=5×AE=×6×8，
解得AE=，
所以,sin∠ABC==.
故答案为：.
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟记性质并构造出所在的直角三角形是解题关键．
15．
【分析】首先根据旋转不变形得到∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，设EF=x，则FB=FD=2x，ED=3x，在Rt△DEB中，利用边角关系列出有关x的方程求解即可．
【详解】∵∠A=30°,现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，
∴∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，
∴FB=FD
∵∠C=90°，
∴设EF=x，则FB=FD=2x，
∴ED=3x，
∵在RT△DEB中，
cos∠D=,即：
解得：x= .
故答案为.
【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形.关键是找对已知边和恰当的三角函数.
16．（1）或；（2）45°≤≤135°且≠90°
【分析】（1）先求出旋转后与的夹角，然后根据题意以点B为圆心，的长为半径作弧，与直线的交点P即为所求，利用锐角三角函数即可求出BC和OC，再利用勾股定理求出PC，从而求出结论；
（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，求出当BC=AB=时，的度数，然后根据题意即可求出结论．
【详解】解：（1）当时，此时与的夹角为90°－60°=30°
以点B为圆心，的长为半径作弧，与直线的交点P即为所求，即BP=AB=，过点B作BC⊥，
BC=OB·sin30°=1＜BP，OC=OB·cos30°=
∴在直线上存在两个P点满足题意
根据勾股定理PC=
∴OP=OC－PC或OP=OC＋PC
∴OP=或
故答案为：或；
（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，
当BC=AB=时，
sin∠BOC=
∴∠BOC=45°
当点B在直线右侧时，
90°－∠BOC=45°；
当点B在直线左侧时，
90°＋∠BOC=135°；
∵BC≤AB且A、B、P不共线时
∴45°≤≤135°且≠90°
故答案为：45°≤≤135°且≠90°．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数、作等腰三角形和勾股定理，掌握锐角三角函数、分类讨论的数学思想、勾股定理和利用极限思想求取值范围是解决此题的关键．
17．
【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，，根据即可求解．
【详解】过点作于，如图，
∠BFE＝30°，
，
∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键．
18．.
【详解】试题分析：求三角函数的值，一般需要在直角三角形里才能求，所以需要先做BC边的垂线，构造Rt△ADB，由勾股定理求出AD边，即可求sinB.
过A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,
∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=，
∴sinB=.
19．（1）③；（2），，；（3）
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据解直角三角形的定义可得结论；
（2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论．
【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角，
故答案为：③；
（2）如图1，过点作于点，
中，，，
，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，，
，
，，；
（3）过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
当或时，有唯一解，
当，即时，有两个解，
故答案为：．
20．∠A=30°，∠B=60°，BC=
【分析】由sinB＝＝,求出∠B和AC、AB的长，再根据勾股定理求出BC的长，最后由sinA＝得到∠A的大小.
【详解】在Rt△ABC中，
sinB＝＝，AC＝4，
∴∠B＝60°，AB＝，
∴BC＝＝－16＝，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题中条件灵活运用勾股定理、三角函数等知识求出未知量是解题的关键.
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形，熟练应用特殊角的三角函数值是解题关键，
（1）作于点H，先求出，即可求出结论；
（2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出结论即可；
【详解】（1）解：作于点H，
在中，，
，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
，
，
在中，
．
22．其底角的正弦值为
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得到，再由勾股定理求出，然后根据三角函数的定义求解．
【详解】如图，，过点A作于点D．

∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即其底角的正弦值为．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）①作∠DAE的平分线交CD 于F，点F即为所求； ②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，推出BE=8，EC=2，设DF=EF=x，则CF=6-x，在Rt△EFC中，根据EF2=EC2+CF2，构建方程求出x即可解决问题；
【详解】（1）解：以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）解：①作∠DAE的平分线交CD于F，点F即为所求；
②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，
∴，
∴EC=2，
设DF=EF=x，则CF=6-x，
在Rt△EFC中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴x2=22+（6-x）2，
解得，
∴S四边形AEFD=2××AD×DF=，
故答案为 ．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)
【分析】（1）过作于点，利用面积公式求出高的长，利用勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．
（2）先求出，再利用勾股定理求出，继而利用正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：过作于点．
，
．
又，
．
；

（2）∵，，
∴，又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．
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