第二章　平面向量及其应用 5.1　向量的数量积--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量数量积的定义
1.(2025广西河池十校协作体联考)在△ABC中,∠ABC=45°,AB=,BC=,则·=(　　)
A.-　　B.　　
C.　　D.-
2.已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4,则a·b=(　　)
A.12　　B.-12
C.5　　D.12或-12
3.(2025北京第五十五中学月考)已知在△ABC中,·<0,则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　D.等腰直角三角形
4.(2024江西九江期末)如图,单位圆M与数轴相切于点O,把数轴看成一个“皮尺”,对于任意一个正数α,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,点A对应圆M上的点A',这样就得到一个以M为顶点,MO为始边,MA'为终边的圆心角∠OMA',记∠OMA'=α,若扇形OMA'的面积为,则·=(　　)
A.π　　B.π　　
C.　　D.
题组二　投影向量和投影数量
5.(2025四川泸州泸县普通高中共同体期中)已知向量a,b满足|b|=2|a|,且a,b的夹角为,则a在b方向上的投影向量是(　　)
A.b　　B.b　　
C.b　　D.b
6.(2025江西八所重点中学联考)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是a,则向量a与b的夹角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025江苏南京师范大学附属中学期中)已知正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,则·=(　　)
A.2　　B.2　　
C.4+2　　D.4+
8.(2025山东枣庄辅仁高级中学月考)在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,则在方向上的投影数量为　　　　.
9.(2024河南濮阳外国语学校月考)如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则·的取值范围是　　　　.
题组三　向量数量积的运算性质与应用
10.给出下列五个命题:
①|a|2=a2;
②=;
③(a·b)2=a2·b2;
④(a-b)2=a2-2a·b+b2;
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是(　　)
A.①②③　　B.①④　　C.②④　　D.②⑤
11.(2024江西师范大学附属中学月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则|2a-b|=(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.13
12.(2024山东淄博实验中学月考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=(　　)
A.36　　B.-36　　C.32　　D.-32
13.(2025江西吉安期末教学质量检测)已知|b|=2|a|,(a-b)⊥a,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
14.(2024江西宜春丰城第九中学期末)若O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形　　B.等腰三角形
C.等腰直角三角形　　D.直角三角形
15.(2025江西鹰潭模拟)若非零向量a,b满足|a|=2|b|=2,且向量a-b与向量a的夹角=,则(a-b)·b=(　　)
A.-6　　B.0　　C.2　　D.6
16.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)若向量a,b满足|2a-3b|≤4,则a·b的最小值为　　　　.
17.(2025浙江舟山期末)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(2a+b)·(a-b)=-3.
(1)求a在b上的投影向量(结果用b表示);
(2)求cos;
(3)若a·c=b·c=2,求|c|.
18.(2024安徽六安一联)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=,∠BAC=30°,F是线段AC上的动点(异于端点),点E在BC边上,且=3.
(1)若F是AC边的中点,求·的值;
(2)当·=-时,请确定点F的位置.
能力提升练
题组　向量数量积及其运算性质的应用
1.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2025广东江门新会第一中学质检)《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·=(　　)
A.-1　　B.1　　
C.　　D.1+
3.(2025辽宁大连第八中学月考)在△ABC中,||=2,||=4,若O为△ABC的外心,则·的值为(　　)
A.4　　B.6　　C.4　　D.6
4.(多选题)(2025江西部分高中联合检测)已知a,b,i均为单位向量,且|3a+b|=-2a·b,则(　　)
A.a⊥(a+2b)
B.|a+b|=
C.当实数t变化时,|a+tb|的最小值是
D.若=,则a·(b-i)=0
5.(2025山东淄博第七中学月考)已知O为坐标原点,向量,,(点A,B,C不重合)满足||=||=||=1,(-)·(-)=0,若平面内一点P满足||=4,则|++|的取值范围是　　　　.
6.(2025黑龙江哈尔滨德强高级中学月考)在△ABC中,BC=6,∠ACB=60°,AB,BC上的点M,N满足=,=2,P为AC的中点.
(1)若=λ+μ,求实数λ,μ的值;
(2)若·=-8,求线段AC的长.
7.(2024江西南昌期末调研)如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,=2,BE与AC,AF分别相交于M,N两点.
(1)若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若AB=2AE=2,∠BAD=,求||;
(3)若BE⊥AF,求cos∠ACB的最小值.
答案与分层梯度式解析
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
1.A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 10.B
11.B 12.B 13.D 14.D 15.B
1.A　·=||·||cos(180°-∠ABC)=××=-.
2.D　∵向量a与向量b平行,
∴向量a与向量b的夹角(记为θ)为0°或180°,
当θ=0°时,a·b=3×4×cos 0°=12;
当θ=180°时,a·b=3×4×cos 180°=-12,
故a·b=12或a·b=-12.
易错警示
　　本题要注意两向量平行时其夹角有两种情况:0°和180°.
3.C　∵·=||·||cos A<0,∴cos A<0,
又∵A为△ABC的一个内角,
∴A是钝角,即△ABC是钝角三角形.
4.A　设圆M的半径为R,则R=1,由题知,扇形OMA'的面积S=αR2=α=,解得α=,所以△MOA'为等边三角形,所以OA'=1,∠AOA'=-=,OA=,所以·=||||cos∠AOA'=×1×cos =π.
5.D　由题意可得a·b=|a|·|b|·cos=|b|2×=|b|2,
故a在b方向上的投影向量是·b=·b=b.
6.B　设向量a与b的夹角为θ,则向量b在向量a上的投影向量为·a=·a=cos θ·a=a,所以cos θ=,
又因为向量的夹角θ∈[0,π],所以θ=.
7.C　连接A2A7,交A1A4于点A,如下图所示,
由正八边形的几何特征易知A1A4⊥A2A7,A1A4=A2A7,
所以AA1=AA2=A1A2=,
所以A1A4=2+2,
又在方向上的投影数量为||·cos∠A7A1A4=AA1=,
所以·=||·||cos∠A7A1A4=(2+2)×=4+2.
方法总结
　　若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影数量,则可利用数量积的几何意义求两向量的数量积.
8.答案　
解析　由已知可得AB2=AC2+BC2,故BC⊥AC,所以cos A=,即cos<,>=,所以在方向上的投影数量为||cos<,>=4×=.
9.答案　[0,2]
解析　·=||·||·cos∠AOP,即·等于||与在方向上的投影数量的乘积,
由题图可得||=2,0≤||·cos∠AOP≤1,
所以·的取值范围为[0,2].
10.B　
11.B　由题意得a·b=|a||b|cos =1××=-,则|2a-b|====.
12.B　设a与b的夹角为θ,则cos θ=,故(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3|a||b|cos θ-2|b|2=2×4+3×2×5×-2×25=-36.
13.D　由(a-b)⊥a可得a·(a-b)=a2-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos=0,
由|b|=2|a|,可得|a|2-|a|·2|a|·cos =0,解得cos=,
又0≤≤π,所以=.
14.D　∵|-|=|+-2|,
|+-2|=|-+-|=|+|,
|-|=||=|-|,
∴|+|=|-|,即=,
即++2·=+-2·,
∴·=0,即⊥,故△ABC为直角三角形,
又∵AB不一定等于AC,∴△ABC不一定为等腰直角三角形.
15.B　由|a|=2|b|=2得|a|=2,|b|=1,
又cos==,
所以a2-a·b=|a-b|,所以4-a·b=×=×=×,所以(4-a·b)2=3(5-2a·b),所以(a·b)2-2a·b+1=0,所以(a·b-1)2=0,所以a·b=1,所以(a-b)·b=a·b-b2=1-1=0.
16.答案　-
解析　由|2a-3b|≤4,可得4a2+9b2-12a·b≤16,
又4a2+9b2≥2=12|a||b|≥-12a·b,
所以-24a·b≤16,解得a·b≥-,
当且仅当|2a|=|3b|=2,且a,b方向相反时取等,所以a·b的最小值为-.
17.解析　(1)由(2a+b)·(a-b)=-3,得2a2-a·b-b2=-3,
∵|a|=1,|b|=2,∴2×12-a·b-22=-3,∴a·b=1,
∴a在b上的投影向量为|a|cos·=|a|··=·b=b.
(2)由(1)知a·(a+b)=a2+a·b=1+1=2,
|a+b|====,
∴cos==.
(3)结合(1)知cos==,
∵0°≤≤180°,∴=60°,
记=a,=b,=c,
∵·=·(-)=·-=a·b-a2=1-1=0,∴⊥,
∵a·c=b·c=2,即·=·=2,
∴·=·(-)=0,∴⊥,故与共线,即a∥c,
又∵a·c=2>0,∴a,c同向,∴a·c=|a|·|c|=|c|=2.
18.解析　由题意知,=+=+=+(-)=+.
(1)因为F是AC边的中点,
所以=+=+=-+,
因此·=·=-||2+||2=-.
(2)不妨设=λ,λ∈(0,1),则=-+λ,
因为·=||||cos 30°=××=,
所以·=·(-+λ)=-||2+||2+·=-2+λ+(2λ-1)·=(+1)λ-2-,
又·=-,所以(+1)λ-2-=-,
解得λ=,即=,
故F是线段AC上靠近点A的四等分点.
能力提升练
1.B 2.D 3.B 4.ACD
1.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,
则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,
由3a+4b+5c=0,得c=-a-b,
所以(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=,
易知|a-b|===,
所以cos===.
2.D　在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则HC∥AB,
易知∠ABC=∠BCD=135°,
所以∠BCH=45°,所以∠HCD=90°,
在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,
所以·=||×||cos∠CHD=||×||=1+.
3.B　连接OC,设E,F分别是AB,AC的中点,连接OE,OF,如图,
易知OA=OC,∴OF⊥AC,
∴在方向上的投影数量为||=||,
∴·=||2,
同理可得在方向上的投影数量为||=||,则·=||2,
∴·=·(-)=·-·=||2-||2=×16-×4=6.
4.ACD　由|3a+b|=-2a·b>0可知a·b<0,
对|3a+b|=-2a·b的等号两边同时平方,
得9a2+6a·b+b2=28(a·b)2,
即14(a·b)2-3a·b-5=0,
解得a·b=(舍去)或a·b=-.
因为a,b均为单位向量,所以a·(a+2b)=a2+2a·b=1-1=0,即a⊥(a+2b),故A正确.
|a+b|===1,故B错误.
|a+tb|===≥,当且仅当t=时取等,故C正确.
由=得cos=cos,
所以=,
所以i·a=a·b,即a·(b-i)=0,故D正确.
5.答案　[11,13]
解析　因为||=||=||=1,
所以A,B,C三点在以O为圆心,1为半径的圆上,
因为(-)·(-)=0,
所以·=0,所以BA⊥CB,
所以AC是圆O的直径,所以=-,
所以|++|=|-+-+-|=|-3|,
设与的夹角为θ,θ∈[0,π],
则|-3|=
=
==,
因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],
所以145-24cos θ∈[121,169],
所以|-3|∈[11,13],
即|++|的取值范围是[11,13].
6.解析　(1)因为=,=2,
所以=-=-,
又=λ+μ,所以λ=,μ=-.
(2)因为P为AC的中点,
所以=+=-+,
由(1)知,=-=(+)-=+,
所以·=·=--·+=-×62-×6×||×+×||2=-8,解得||=8(负值舍去),
即线段AC的长为8.
7.解析　(1)因为E为AD的中点,
所以AE=AD,
所以=+=--=-,
因为=λ+μ,
所以λ=-,μ=1,故λ+μ=-.
(2)由题知,=+=+=+,
因为=2,所以=,
设=x,=y,x,y∈(0,1),
则=x=x+x,=y+=y+y=
y+y,
又A,M,C三点共线,A,N,F三点共线,
所以解得
则=-=-=-,
故||2=(+)2=||2+2·+||2=(2)2+2×2××
cos+()2=49,
所以||=7,故||=||=.
(3)因为=2,
所以=+=-+,
因为BE⊥AF,所以·=0,
所以·=0,
即·=+,
所以||·||cos∠ACB=||2+||2,
所以cos∠ACB=≥=,当且仅当||=||时,等号成立,所以cos∠ACB的最小值为.
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