1.5三角函数的应用寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.5三角函数的应用寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 06:42:17 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
1.5三角函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m
3．如果是锐角，且，那么的值（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，）
AI
A． B． C． D．
7．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，堤高，则坡面AB的长是（ ）
A．5m B．10m C．m D．8m
8．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
9．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是( )
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
11．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
14．如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 ．
15．计算： ．
16．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，）
17．小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．
（1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ；
（2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ．
三、解答题
18．如图，为了测量河的南岸东西方向两点间的距离，某兴趣小组在河的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在A的南偏西方向上，测量小组沿方向行走96米至观测点D，测得点C在观测点D的南偏东方向上，求河的南岸两点间的距离．（参考数据：，）
19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积．
20．某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：
（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？
（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？
21．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
22．如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：
(1)线段的长；
(2)的余切值．
23．某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，）
(1)求景点C、D的距离（结果保留根号）；
(2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由．
24．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）
《1.5三角函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D C B A B C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据同角的正弦与余弦值的关系求解即可.
【详解】根据题意得：sin2A+cos2A=1，
解得cosA=，或cosA=﹣（舍去）.
故选B.
【点睛】本题考点：同角的正弦与余弦值的关系.
2．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，根据正五边形的性质可得，的面积，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，从而设，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，
，的面积正五边形的面积，
，，
，，
设，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
该正五边形的边长大约是，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键．
根据题意得，利用求出答案．
【详解】解：，
．
故选：．
4．B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解．
【详解】解：作于，设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了三角函数的理解和计算，正确理解各种三角函数的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，是斜边边上的高，，
∴都是直角三角形．
在中，
∵，
故选项B不正确；
在中，
∵，
故选项A、C不正确．
在中，
∵，
∴．
∴，
故选项D正确．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正切的计算，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
根据等腰三角形的三线合一可得，，在中，根据，，代入计算即可求解．
【详解】解：，，，
，
在中，
，，
．
故选：．
7．B
【分析】根据坡比求出AC的长度，再利用勾股定理求出AB即可．
【详解】解：∵，，
∴m，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟记坡比的计算公式是解题的关键．
8．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
9．B
【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数．
利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，，，，，
，
，
，
，
，
即处在处的北偏东方向，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
11．A
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度．
【详解】解：由题意可得，
，米，，
，
（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
【详解】∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．
13．67.5
【详解】由题意知∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则．设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则．在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，则DE＝BE＝x．由题意得，，解得（海里），∴AB＝2x＝2×35.7＝71.4（海里）．
14．
【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝DC BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°，
∴＝tan30°，
∴BD＝＝AB，
∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴BC＝＝AB，
∵CD＝20，
∴CD＝BD BC＝AB AB＝20，
解得：AB＝m．
故答案为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
15．
【分析】先根据一般角三角函数的性质化简，然后再计算即可．
【详解】解：
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了一般角的三角函数值的运算和实数的运算，掌握一般角三角函数的性质的解答本题的关键．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，由题意可得，，得到，过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，解得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，，
则，
过点作于点，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，，，、
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17． /0.8 1.7 /
【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解；
（2）先求出，即，即可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
设
∴
故
∴
∴
∵
∴
解得：
故答案为：
（2）∵水的折射率为，即
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键．
18．
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，先根据题意得到，再根据三角函数求两次线段的长即可.
【详解】解：∵点C在观测点D的南偏东方向上，B在A的南偏西方向上，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
19．水坝横截面的面积为152平方米
【分析】根据坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，坝顶宽5米，坝底宽33米，设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米，可得方程，可以求得AE=8米，根据梯形面积公式，即可得到水坝横截面的面积．
【详解】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3
设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米
∵AD=5米
∴EF=5米
∵BC=33米
∴AE=8米
∴水坝横截面的面积为平方米．
【点睛】本题考查了坡度的求解，根据坡度求得，的长是解题的关键．
20．（1）此楼落在后楼的影子高为（18-8）m（2）18m
【分析】（1）先由∠ADB的正切求出CD的长，然后根据△CDE∽△BDA，列比例式求解即可；
（2）直接利用∠ADB的正切求解即可.
【详解】如图．
由∠ADB=30°，AB=18m，
∴BD=18m，∴CD=18-24（m）．
又∵△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE=18-8（m）．
故此楼落在后楼的影子高为（18-8）m．
（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x．
则=，x=18（m）．
故两楼之间的距离应当为18m．
【点睛】本题考查解直角三角形的运用，相似三角形的应用.首先要理清题意，根据两楼的间距和太阳光线与水平线的夹角正确的构造直角三角形，这是解答此题的关键.
21．（1）13；（2）
【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度；
（2）由，代值计算即可．
【详解】（1）在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
22．(1)15
(2)
【分析】（1）根据可得，根据勾股定理可得，计算可得，即可得到答案；
（2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，求出的长，再根据余切的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：是边上的高，
，
在，，，
，
，
，，
，
解得：，
；
（2）解：是边上的高，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23．(1)景点C、D的距离是米；
(2)后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及勾股定理是解题关键．
（1）过点B作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离；
（2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小东所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小明所用时间，然后得到两人的时间差，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点，
，
四边形是矩形，
，米，
由题意：景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向，
∴，，
又∵米，米，
米，
在中，米，
米，
在中，米，
在中，米，
米，
即景点C、D的距离是米；
（2）解：后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由如下：
在中，米，
小东所用时间为分钟，
在中，米，
小明所用时间为分钟，
明出发5分钟后小东出发，观光车和小明中途不停歇，
两人的时间差为：，
后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达．
24．
【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°=求出答案．
【详解】试题分析：
解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°，
则DC=BC，
故tan30°=
解得：DC=
答：永定楼的高度CD为m．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1.5三角函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m
3．如果是锐角，且，那么的值（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，）
AI
A． B． C． D．
7．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，堤高，则坡面AB的长是（ ）
A．5m B．10m C．m D．8m
8．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
9．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是( )
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
11．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
14．如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 ．
15．计算： ．
16．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，）
17．小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．
（1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ；
（2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ．
三、解答题
18．如图，为了测量河的南岸东西方向两点间的距离，某兴趣小组在河的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在A的南偏西方向上，测量小组沿方向行走96米至观测点D，测得点C在观测点D的南偏东方向上，求河的南岸两点间的距离．（参考数据：，）
19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积．
20．某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：
（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？
（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？
21．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
22．如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：
(1)线段的长；
(2)的余切值．
23．某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，）
(1)求景点C、D的距离（结果保留根号）；
(2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由．
24．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）
《1.5三角函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D C B A B C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据同角的正弦与余弦值的关系求解即可.
【详解】根据题意得：sin2A+cos2A=1，
解得cosA=，或cosA=﹣（舍去）.
故选B.
【点睛】本题考点：同角的正弦与余弦值的关系.
2．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，根据正五边形的性质可得，的面积，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，从而设，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，
，的面积正五边形的面积，
，，
，，
设，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
该正五边形的边长大约是，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键．
根据题意得，利用求出答案．
【详解】解：，
．
故选：．
4．B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解．
【详解】解：作于，设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了三角函数的理解和计算，正确理解各种三角函数的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，是斜边边上的高，，
∴都是直角三角形．
在中，
∵，
故选项B不正确；
在中，
∵，
故选项A、C不正确．
在中，
∵，
∴．
∴，
故选项D正确．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正切的计算，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
根据等腰三角形的三线合一可得，，在中，根据，，代入计算即可求解．
【详解】解：，，，
，
在中，
，，
．
故选：．
7．B
【分析】根据坡比求出AC的长度，再利用勾股定理求出AB即可．
【详解】解：∵，，
∴m，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟记坡比的计算公式是解题的关键．
8．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
9．B
【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数．
利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，，，，，
，
，
，
，
，
即处在处的北偏东方向，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
11．A
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度．
【详解】解：由题意可得，
，米，，
，
（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
【详解】∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．
13．67.5
【详解】由题意知∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则．设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则．在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，则DE＝BE＝x．由题意得，，解得（海里），∴AB＝2x＝2×35.7＝71.4（海里）．
14．
【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝DC BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°，
∴＝tan30°，
∴BD＝＝AB，
∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴BC＝＝AB，
∵CD＝20，
∴CD＝BD BC＝AB AB＝20，
解得：AB＝m．
故答案为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
15．
【分析】先根据一般角三角函数的性质化简，然后再计算即可．
【详解】解：
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了一般角的三角函数值的运算和实数的运算，掌握一般角三角函数的性质的解答本题的关键．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，由题意可得，，得到，过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，解得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，，
则，
过点作于点，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，，，、
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17． /0.8 1.7 /
【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解；
（2）先求出，即，即可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
设
∴
故
∴
∴
∵
∴
解得：
故答案为：
（2）∵水的折射率为，即
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键．
18．
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，先根据题意得到，再根据三角函数求两次线段的长即可.
【详解】解：∵点C在观测点D的南偏东方向上，B在A的南偏西方向上，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
19．水坝横截面的面积为152平方米
【分析】根据坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，坝顶宽5米，坝底宽33米，设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米，可得方程，可以求得AE=8米，根据梯形面积公式，即可得到水坝横截面的面积．
【详解】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3
设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米
∵AD=5米
∴EF=5米
∵BC=33米
∴AE=8米
∴水坝横截面的面积为平方米．
【点睛】本题考查了坡度的求解，根据坡度求得，的长是解题的关键．
20．（1）此楼落在后楼的影子高为（18-8）m（2）18m
【分析】（1）先由∠ADB的正切求出CD的长，然后根据△CDE∽△BDA，列比例式求解即可；
（2）直接利用∠ADB的正切求解即可.
【详解】如图．
由∠ADB=30°，AB=18m，
∴BD=18m，∴CD=18-24（m）．
又∵△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE=18-8（m）．
故此楼落在后楼的影子高为（18-8）m．
（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x．
则=，x=18（m）．
故两楼之间的距离应当为18m．
【点睛】本题考查解直角三角形的运用，相似三角形的应用.首先要理清题意，根据两楼的间距和太阳光线与水平线的夹角正确的构造直角三角形，这是解答此题的关键.
21．（1）13；（2）
【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度；
（2）由，代值计算即可．
【详解】（1）在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
22．(1)15
(2)
【分析】（1）根据可得，根据勾股定理可得，计算可得，即可得到答案；
（2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，求出的长，再根据余切的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：是边上的高，
，
在，，，
，
，
，，
，
解得：，
；
（2）解：是边上的高，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23．(1)景点C、D的距离是米；
(2)后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及勾股定理是解题关键．
（1）过点B作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离；
（2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小东所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小明所用时间，然后得到两人的时间差，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点，
，
四边形是矩形，
，米，
由题意：景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向，
∴，，
又∵米，米，
米，
在中，米，
米，
在中，米，
在中，米，
米，
即景点C、D的距离是米；
（2）解：后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由如下：
在中，米，
小东所用时间为分钟，
在中，米，
小明所用时间为分钟，
明出发5分钟后小东出发，观光车和小明中途不停歇，
两人的时间差为：，
后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达．
24．
【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°=求出答案．
【详解】试题分析：
解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°，
则DC=BC，
故tan30°=
解得：DC=
答：永定楼的高度CD为m．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)