1.6利用三角函数测高寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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1.6利用三角函数测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高为（ ）米．
A．60 B．65 C．75 D．90
3．神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
4．如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（ ）
A．60米 B．米 C．米 D．80米
6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
7．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（ ）．
A． B． C． D．
8．某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：
①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；
②tan∠CDE＝；
③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；
④钟楼AB的影长BF＝（20+8）m；
⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．
（点C，E，B，F在一条直线上）．
请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（ ）
A．15m B．（15+6）m C．（12+6）m D．15m
9．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数
B．的长，的度数
C．的长，的度数
D．的长，的度数
10．黑格兰，蒙名为雅士木杜，多生长在内蒙古自治区鄂尔多斯市乌审旗、鄂托克旗地区，因其耐寒、防潮，木质坚硬、多油的特质，深受当地牧民和文玩爱好者喜欢．黑格兰生长缓慢，生长周期长达800—1000年之久，属国家珍稀濒危树种，有着生而不枯、枯而不朽、朽而不废的美誉，被形象地称为沙漠里的“活化石”，文玩爱好者张叔叔一次出去游玩时，测量了一棵黑格兰（如图1）的最高点离地面的距离．如示意图2，已知测倾器的高度为，在测点P处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，在与点P相距的测点Q处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，则此树的最高点T离地面的距离约为（ ）
（结果精确到；参考数据：）
A． B． C． D．
11．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（ ）（结果保留整数．参考数据：，，，）
A．10 B．12 C．14 D．16
12．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量旗杆的高度
测量目标示意图
相关数据 米，，
设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数 ．
14．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示．他在点O处测得小山顶端的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为，已知点O到湖面的距离，A，B，三点共线，，则小山的高度为 m．（光线的折射忽略不计，结果保留根号）
15．如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为 ．
16．“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为 米．（）（答案保留整数）
17．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ．
三、解答题
18．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：）
19．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
20．如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内)
(1)求点到地面的距离；
(2)求信号塔的高度(结果保留根号)；
(3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度．
21．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．
(1)求的度数；
(2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）．
22．广元市位于四川省北部山地向盆地过渡地带，境内多山川河流．如图，市内一公园依山而建，入口点A处向前走5米有一坡度的斜坡，坡长米，在坡顶C处有一个平台，平台上修建了观景塔可俯瞰江景，，垂足为D，点E，F，D在同一条直线上，，在入口点 A 处看观景塔的塔顶E 的仰角在斜坡 的坡顶C 处看观景塔EF 的塔顶E的仰角，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据：
23．某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量小岛面积
测量工具 皮尺、测角仪等
活动过程 如图，表示湖中小岛，，先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得长为28米，在点E处用测角仪测得
根据表格提供的信息，解决下面问题，
（参考数据：）
(1)求的长；
(2)求小岛的面积．
24．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=37°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
《1.6利用三角函数测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B C C B D B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论．
【详解】∵，是地平线，
∴从点观测点的俯角是，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
根据题意可得，在中，运用，可得米，在中，运用，可得米，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴（米），
在中，，
∴，
∴（米），
∴（米），
故选：A ．
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：在中，，
（千米）
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
滑梯斜面的坡度，
，
，
，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：∵滑雪道的坡度为，
，
米，
米，
由勾股定理得：米，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的概念进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，，利用三角函数得到，利用线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：过点作，由题意，可知：，，，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
故选C．
8．B
【分析】过D作DG⊥AB于G，则DG＝BC，BG＝CD，先求出CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），则DG＝BC＝CE+BE＝15（m），再求出AG＝DG＝15，即可求解．
【详解】解：选择：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．理由如下：
过D作DG⊥AB于G，如图所示：
则DG＝BC，BG＝CD，
∵DE＝10m，tan∠CDE＝＝，
∴CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），
∴DG＝BC＝CE+BE＝8+7＝15（m），
在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，tan∠ADG＝＝，
∴AG＝DG＝15，
∴AB＝AG+BG＝（15+6）m，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的应用，利用特殊角，添加合适的辅助线构造直角三角形是本题的解题关键.
9．D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．
【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米，
因此，要求只需先求．
设，．
在中，，
则．
在中，，
则．
所以．
又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同，
所以，
若已知的长，设，则，代入可解得，
进而求得，最终得到．
综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到．
选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：
选项缺少，无法联立方程组：
选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到；
选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到．
故选：D
10．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，准确理解题意是解题的关键．过点T作，交的延长线于D，分别在两个直角三角形中表示出，再求解即可．
【详解】解：过点T作，交的延长线于D，
∴，
由题意得：，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，解得，即,
∴最高点T离地面的距离约为（米），
故选：B．
11．C
【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
故选：C．
12．C
【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆的高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程．
【详解】解：设旗杆的高度米，
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴，
∴．
故选：C
13．
【分析】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14．/
【分析】A本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，过点O作于点E，设，则，，根据列方程解出即可．
【详解】解：如图，过点O作于点E，
则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
15．9
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：过B作，则是矩形，即，在中解直角三角形求得，再在中解直角三角形求得，然后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过B作，则是矩形，即，
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴大树的高度：．
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
根据锐角三角函数的定义计算即可．
【详解】解：
（米）
∴旗杆的高度约为米
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键．
根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可．
【详解】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，
∴水平宽度（米），
∴，
故答案为： ．
18．7.7米
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解．
【详解】解：由题意得，米，米，．
设米，
在中，，
米，
在中，，
，
解得，
经检验是原方程的根．
米，
（米），
答：电池板离地面的高度约为米．
19．旗杆MN的高度度约为9.75米．
【详解】试题分析：过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．
试题解析：过点M的水平线交直线AB于点H，
由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，
设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，
∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，
解得x=8.75，
则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）
答：旗杆MN的高度度约为9.75米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
20．(1)米
(2)米
(3)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解；
（2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长；
（3）解，得出米，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为．
坡度，米，
，
．
在中．
米．
（2）由（1）可得，米．
如图，过点作，垂足为．
设米，
，
米．
)米，米．
在中，，
米．
（3）在中，，
即
米．
由（2）可得(米)．
(米)．
21．(1)的度数为
(2)这棵大树折断前的高度约为9米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键；
（1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；
（2）过点作于点，得出，，分别求得，进而求出即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，将延长交于点，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，过点作于点，，
，
，，
在中，，，
在中，，
答：这棵大树折断前的高度约为9米．
22．的长约为35.5 米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理 ；过点C作于点G．得到四边形为矩形，结合勾股定理得到，设为x米，则，根据进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作于点G．
∵，
∴．
又，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∵，
∵，
∴，
∵，
∴米．
∴米．
设为x米，则．
∵，
∴米．
∵，
即
解得
经检验， 是分式方程的解，且符合实际，
（米）．
答：的长约为35.5 米．
23．(1)的长为21米
(2)小岛的面积为441平方米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；
（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．
【详解】（1）解：由题意可得：，长为28米，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）解：过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴（米），
∴小岛的面积为：（平方米）．
即：小岛的面积为441平方米．
24．(1) 36米；(2) 81米．
【详解】试题分析：（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
试题解析：（1）如图，连接PA．
由题意知，AP=39m．
在直角△APH中，PH===36（米），
答：此时汽车与点H的距离为36米；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH==20（米）．
在Rt△CDQ中，DQ==65（米）．
则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+65﹣20=81（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要81米．
考点：解直角三角形的应用．
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