2.2二次函数的图像与性质寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级下册

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2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知：二次函数，以下对于此二次函数图象的描述中，正确的有（ ）个．
①对称轴为直线；②当时，随的增大而增大；
③图象经过点；④当时，函数图象经过两个象限．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
4．直角坐标平面上将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则其顶点为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时，
C． D．
6．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线对称
C．当时，y随x的增大而减小
D．x＝1或是方程的两个根
11．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2
12．二次函数的图象如图所示，则点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
13．如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是 ．
14．二次函数y=3(x -5)2的图象上有两点P(2，y1)，Q(6，y2)，则y1和y2的大小关系是 .
15．如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ．
16．二次函数图象的对称轴为 ．
17．如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
三、解答题
18．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
19．已知二次函数与一次函数．
（1）当时，求这两个函数图象的交点坐标；
（2）若二次函数的图象的顶点恰在一次函数的图象上，求应满足的条件；
（3）若这两个函数的图象经过的象限完全相同，请直接写出应满足的条件．
20．已知二次函数.
(1)将二次函数的解析式化为的形式.
(2)写出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
21．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）．
(1)二次函数的顶点坐标为__________；
(2)若二次函数由平移所得，
①求线段的长；
②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值．
22．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过点．
（1）求的值．
（2）将点向下平移个单位至点，过点作轴于点，交抛物线于点．若，求的值．
23．已知二次函数．填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
24．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题．
x … 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… …
… …
(1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ．
(2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）．
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A D B B A C C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称轴计算公式即可判断①；由于不知道开口方向，则无法得知增减性，即可判定②；当时，，即可判断③；求出当时，，则当时，，据此可得顶点在x轴上方，且开口向上，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，故①正确；
∵不知道开口方向，
∴无法得到当时，随的增大而增大，故②错误；
在中，当时，，
∴图象经过点，故③正确；
当时，，
当时，，
∴顶点在x轴上方，且开口向上，
∴此时二次函数图象只经过第一、二象限，故④正确，
故选：C．
2．D
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【详解】解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选D．
【点睛】要掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键．
【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意；
B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意；
D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】根据可得其顶点坐标为（1，-2），然后根据点的坐标平移规律，上加下减，左减右加，求出平移后的顶点坐标.
【详解】解：由可得其顶点坐标为（1，-2）
∵图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位
∴平移后的顶点坐标为（1-1，-2+2）,即（0,0）
故选：A
【点睛】本题考查二次函数顶点式，点的坐标平移规律，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
5．D
【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．
【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1∴当-1C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；
D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．
6．B
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴．
故选择：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”
7．B
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】解：抛物线y=－2x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（－1，－3），
∴平移后的抛物线的解析式为y=－2（x+1）2－3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用顶点的变化确定函数解析式．
8．A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：由抛物线可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上有、两点，且，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据二次函数顶点式的坐标特点直接代值求解即可．
【详解】二次函数的图象的顶点坐标是
故选：C
【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，解题关键是二次函数顶点式即可直接写出顶点坐标．
10．C
【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：观察二次函数图象，发现：
开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．
A、，
二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意；
B、二次函数的对称轴为，
函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，
二次函数与轴的另一个交点为．
x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．
11．B
【详解】解∶函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．
故选B．
12．D
【分析】由抛物线开口向下得到，由图像与y轴的交点在y轴的正半轴得到，进一步得到，由对称轴为可以推出，最后即可确定点的位置．
【详解】∵由抛物线开口向下，
∴，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，
∵对称轴为，
∴a、b异号，即，
∴点在第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数系数符号的确定，熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
13．.
【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围．
【详解】将与代入，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为.
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
14．y1 > y2
【分析】直接把P点和Q点的坐标代入解析式分别计算出y1与y2，然后比较大小．
【详解】解：把P（2，y1），Q（6，y2）分别代入y=3（x-5）2得
y1=3×（2-5）2=27，y2=3×（6-5）2=3，
所以y1＞y2．
故答案为y1＞y2
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键．
根据抛物线平移前后的顶点坐标即可判断出其平移方式，从而可得出平移后的点坐标．
【详解】解：抛物线平移前的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为，
抛物线是向右平移了个单位，向上平移了个单位，
平移后的点坐标为，即，
故答案为：．
16．直线
【分析】（方法1）令，求出两个对称的点的坐标，利用抛物线上对称的点的坐标求出对称轴；（方法2）利用先将二次函数的表达式化成一般形式，再利用求对称轴的公式求解即可．
【详解】（方法1）∵令，
则，，
∴该二次函数图象上两个对称的点的坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
（方法2）∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，熟记二次函数图象的对称轴公式是解题的关键．
17．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变形的性质是解答此题的关键．
先设原抛物线的解析式为，再根据经过平移后能与抛物线重合可知，即可得出这个二次函数的解析式是．
【详解】解：先设原抛物线的解析式为，
经过平移后能与的图象重合，
，
这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
18．当x＜2时，y随x的增大而增大．
【详解】试题分析：根据当x=2时函数有最大值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可．
试题解析：
根据题意得y=a（x﹣2）2，
把（1，﹣3）代入得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
19．（1）（1，-1）或（2,0）；（2）或；（3）或
【分析】（1）将代入两个函数解析式中并联立，求出方程组的解，即可求出结论；
（2）先求出二次函数的图象的顶点坐标，然后代入一次函数解析式中，即可求出结论；
（3）由解析式可得二次函数的图象必过（0，0），然后根据a、b的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，即可得出结论．
【详解】解：（1）当时，
联立
解得：或
∴这两个函数图象的交点坐标为（1，-1）或（2,0）；
（2）二次函数的图象的顶点坐标为（，）
将（，）代入中，得
整理，得
∴解得或
∴若二次函数的图象的顶点恰在一次函数的图象上，应满足的条件为：或；
（3）二次函数的图象必过（0，0），
当时，一次函数过第一、二、三象限，二次函数过第一、二、三象限，如下图所示，此时符合题意；
当时，一次函数过第一、三象限，二次函数过第一、二象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、三、四象限，二次函数过第一、二、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、二、四象限，二次函数过第一、三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、四象限，二次函数过第三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、三、四象限，二次函数过第二、三、四象限，如下图所示，此时符合题意；
综上：若这两个函数的图象经过的象限完全相同，或．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握联立方程求交点坐标、二次函数的图象及性质和一次函数的图象及性质是解题关键．
20．（1）； 开口方向：向上，对称轴：直线，顶点坐标：
【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【详解】解：（1）
；
∴顶点式为：.
（2）由（1）可知，
∵，则开口向上；
对称轴为：直线；
顶点坐标：；
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
21．(1)
(2)①②或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可；
（2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可；
②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）①∵二次函数由平移所得，
∴，
联立，解得：或，
∵，在的左侧，
∴，
∴；
②由（1）知：，
∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为，
∵，即：，
（i）当，即：时，
则当时，函数取得最小值为：，
当时，函数取得最大值为：，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
（ii）当，即：时，
当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为，
则：，解得：，符合题意；
（iii）当，即：时，
则：当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为：，
则：，解得：或（舍去）；
综上：或．
22．（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】（1）把两已知点的坐标代入中，通过解方程组得到、的值；
（2）根据题意设，，，，利用得到，则、为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，然后利用可求出的值．
【详解】解：（1）把，代入得，
解得；
（2）抛物线的解析式为，
点向下平移个单位至点，作轴于点，
点、的纵坐标都为，点的横坐标为3，
，
，即，
设，，，，
、为方程的两根，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
23．见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键．分别求出、、、和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得；
【详解】解：对于二次函数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
填入表格如下：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下：
．
24．(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0；
(2)小
【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题．
先列表，描点、连线作出函数的图象．
（1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解；
（2）根据图象即可得到结论．
【详解】（1）列表：
x … 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… 8 2 0 2 8 …
… 2 0 2 …
描点、连线画出函数的图象如图：
二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0．
（2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小．
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