2.5二次函数与一元二次方程寒假练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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2.5二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
2．根据下列表格的对应值：
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
ax2＋bx＋c … －0.02 －0.01 0.01 0.04 …
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是(　　)
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
3．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
4．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论中：①；②；③关于的方程无实数根．正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
6．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
7．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8．已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值
C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．0
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≤－2 B．m≥－2 C．m≥0 D．m＞4
12．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ).
A．－1或2 B．－1或1
C．1或2 D．－1或2或1
二、填空题
13．二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．
14．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是 ．
15．已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象交于y轴一点，则m= .
16．抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形的面积为 ．
17．不论x取何值，二次函数的函数值总为负数，则c的取值范围为 ．
三、解答题
18．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
19．如图，已知二次函数．
(1)若图象经过点和，求二次函数的表达式；
(2)若时，二次函数与轴只有一个交点，求二次函数的表达式；
(3)在（1）的条件下，当时，求的取值范围．
20．已知抛物线．
(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；
(2)设抛物线与x轴交于B，D两点（点D在点B左侧），与y轴交于点C，顶点坐标为A．
①求证：△ABD是等边三角形；
②当时，求△ABC面积的最大值．
21．已知函数y＝﹣（x+2）2+2．
（1）函数图象的开口方向是 　 　，对称轴是 　 　；
（2）求图象与x轴的交点坐标．
22．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
23．已知抛物线经过点，且．
(1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
(2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点．
24．已知，，取什么值时，与相等？
《2.5二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D B A D C B C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【详解】试题分析：观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
考点：图象法求一元二次方程的近似根．
2．C
【分析】根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个解x的范围．
【详解】解：由 ，
得 时 随 的增大而增大，
得 时， ，
时， ，
∴的一个解x的取值范围是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
3．C
【分析】本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)，
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
4．D
【分析】由抛物线的对称轴为，可判断①，由抛物线与轴的一个交点在和之间，则抛物线与轴的另一个交点在和之间，利用的函数值可判断②，由函数的最大值为 可得函数图像与没有交点，从而可判断③．
【详解】解：由对称轴直线得，①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴时，，即，②正确；
∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值，
∴抛物线与直线无交点，
∴一元二次方程无实数根，③正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像，对称轴，最大值，增减性，是解题的关键．
5．B
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入点，得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程为，
即为，
，，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
6．A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算当y=0时对应的方程的判别式的值即可判断A项，根据二次函数的性质即可判断B、D两项，把点（0，0）代入二次函数的解析式可得关于m的方程，解方程即可判断C项，进而可得答案．
【详解】解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，所以该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故本选项说法正确，符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口向下，所以当x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故本选项说法错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为直线x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，即顶点的纵坐标最小值为1，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．
8．C
【分析】先根据抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，得到，当时，可推出，当，，由此即可确定b的最值为定值1；当时，可得，即是关于a的反比例函数．
【详解】解：联立得，
∴，
∵抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，则，
∴，
∴，
∴
∴，则b有最大值，故A不符合题意；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，则b有最小值，故B不符合题意；
综上所述，当时， b有最大值1；当时，b有最小值1；
∴对于任意，b的最值不变，都为1，故C符合题意；
当时，，
∴
∴是关于a的反比例函数，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，反比例函数的定义，正确推出是解题的关键．
9．B
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3b，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）不正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．C
【分析】利用抛物线的对称轴是，求出，设的另一根为m，利用根与系数的关系可得：，即可求出m．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，即，
设的另一根为m，
利用根与系数的关系可得：，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．
11．B
【详解】令y1=ax2＋bx＋c，y2=m，y1=ax2＋bx＋c为如图二次函数，y2=m为平行于x轴的一条直线，要使ax2＋bx＋c＝m有实数根，即要使y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点，根据图像可得当m≥-2时y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点.
故选B.
点睛：掌握数形结合方法，求方程有无实数根的问题可以转化成为图象的交点问题.
12．D
【详解】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.
当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.
综上所述，a＝1或－1或2.
故选D.
13．
【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴与x轴的另一个交点坐标为，
∴时，x的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．
14．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴-＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
15．-1或3
【分析】根据二次函数与y轴的交点坐标即可得到关于m的方程，解出即可.
【详解】解：由题意得m2-2m-3=0，
解得或3.
故答案为：或
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．
16．6
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，根据轴和y轴上点的坐标特征可求A，B的坐标，由于是直角三角形，根据直角三角形的面积计算公式即可求出结果．
【详解】解：令，则
解得：，
∴点的坐标为，
令，则
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点B的坐标为，
∴，．
∴．
17．
【分析】因为二次函数的图象开口向下，所以一元二次方程无实数根，从而解得c的取值范围．
【详解】∵二次函数的函数值总为负数，
∴一元二次方程无实数根，
即，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线与轴有两个交点时，一元二次方程有两个不等的实数根即；当抛物线与轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根即；
当抛物线与轴无交点时，一元二次方程无实数根即．
18．(1)
(2)画图见解析；
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象求自变量的取值范围；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数解析式，根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）∵，顶点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一根交点为，
图象如图所示，
根据函数图象可得当函数值时，
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）二次函数与轴只有一个交点，即为对应的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可；
（3）先求出函数值为时的x的值，再根据函数开口向上结合图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把和代入，得：，
解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）解：当时，二次函数表达式为，
∵二次函数与轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为或；
（3）解：在中，当时，或，
∵二次函数开口向上，
∴当时，．
20．(1)见解析
(2)①见解析；②△ABC面积的最大值为
【分析】（1）根据根的判别式直接进行计算判断即可；
（2）①将函数解析式化为顶点式，确定顶点A的坐标为．设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点．利用函数解析式分别确定点，，．结合图象，利用含30度直角三角形的性质得出．由抛物线的对称性即可证明；
②分两种情形讨论：（ⅰ）当时；（ⅱ）当时；利用图象中面积之间的关系确定面积的函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则有．
∴．
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）①∵，
∴顶点A的坐标为．
设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点．
当时，，
∴点．
当时，，即，
解得，．
∴，．
在Rt△ABE中，，，
∴，
∴．
由抛物线的对称性可得，，
∴，
∴△ABD是等边三角形．
②（ⅰ）当时，如图1．
∵，
∴当时，的值随m的增大而增大．
∴当时，取最大值，最大值为．
（ⅱ）当时，如图2．
．
．
∵，
∴S的值随m的值增大而减小．
∴当时，取最大值，最大值为．
∵，
∴当时，△ABC的面积最大，最大值为．
【点睛】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的面积应用问题等，理解题意，综合运用二次函数的基本性质是解题关键．
21．（1）向下，直线x=-2；（2）图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（-4，0）．
【分析】（1）根据抛物线解析式中系数与图象的关系作答；
（2）令y=0得到有关x的一元二次方程，求解后即可得到与x轴的交点坐标．
【详解】解：（1）y=（x+2）2+2中的a=<0，则该抛物线的开口向下，
对称轴是直线x=-2；
故答案为：向下，直线x=-2；
（2）令y=0得到（x+2）2+2=0，
解得：x=0或x=-4，
∴图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（-4，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及与x轴的交点．二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．
22．（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即

【点睛】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
23．(1)抛物线顶点的坐标为
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系，
（1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案；
（2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
∴，
解得，
∴，
抛物线顶点的坐标为；
（2）证明：联立直线与抛物线解析式，
得，
即：，
可得，
∴，
由（1）知，且，
，
，
∴直线与该抛物线有两个不同的交点．
24．当为1或4时，与相等
【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，即，解得：，
当为1或4时，与相等．
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