3.1圆寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.1圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法错误的是(　　)
A．圆上的点到圆心的距离相等 B．过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的弦 D．半径相等的圆是等圆
2．已知⊙O的半径为，为平面内一点，若，，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．不能确定
3．已知的半径是，点是外一点，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
4．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　)
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
6．下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
7．下列语句中，不正确的有（ ）
①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．
A．①③④ B．②③ C．② D．②④
8．⊙O外一点到该圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是(　　)
A．2.5cm B．3.5cm C．4.5cm D．5cm
9．如图，将边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE外部的边连续滚动（点Q、点R分别与点A、点B重合），当△PQR第一次回到原来的起始位置时（顶点位置与原来相同），点P所经过的路线长为
A． B． C． D．
10．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是（ ）
A．3cm B．2cm C．3cm或2cm D．6cm或4cm
12．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
二、填空题
13．已知⊙O的半径R＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，直线l上有一点P，若PM＝6cm，则点P在⊙O （填“内”、“外”或“上”）．
14．在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为 ，最小为 ．
15．如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
16．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 ．
17．如图，在矩形中，．作于点E，作于点F．

（1）的长是 ．
（2）若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则的半径r的取值范围是 ．
三、解答题
18．在中，，，，以点为圆心，以长为半径作圆，试判断点和点与的位置关系．
19．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.
20．如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数．
21．如图，在中，，于点D，，，以点C为圆心，cm为半径画圆，指出点A，B，D与的位置关系，若要使经过点D，求这个圆的半径.
22．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．
23．已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．
（1）求证：；
（2）联结EG，如果，求证：．
24．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
《3.1圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B A D A B B
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据圆的定义，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，判断A的正误；由直径是通过圆心且两个端点都在圆周上的线段，判断B的正误；根据直径和弦的关系可知直径是圆中最长的弦，判断C的正误；根据半径相等的圆是等圆，判断D的正误.
【详解】A,根据圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,知A正确;
B,根据直径的定义:直径是通过圆心且两个端点都在圆周上的线段,知B错误;
C,根据直径和弦的关系可知直径是圆中最长的弦,故C正确;
D,根据等圆的定义:半径相等的圆是等圆,故D正确.
故选B.
【点睛】本题考查圆的相关概念.
2．B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【详解】解：，即点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果．
【详解】解：∵的半径是，点是外一点，
∴；
∴的长可能是．
故选D．
4．D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
5．B
【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,
∵d=OA=3,∴d∴点A在圆内，
故选：B．
6．A
【分析】根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，还考查了圆心角、弧、弦的关系，需要熟练掌握．
7．D
【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据弦、弧的相关概念进行判定即可求解．
【详解】解：①直径是弦，正确，不符合题意；
②弧是半圆，错误符合题意；
③经过圆内一定点可以作无数条弦，正确，不符合题意；
④长度相等的弧是等弧，错误符合题意；
故错误的有：②④，
故选：D．
8．A
【分析】根据点A到圆的最大距离与最小距离的差可得出圆的直径，进而得出半径的长．
【详解】如图所示，
半径OB=（PB-PA）÷2=2.5cm；
故圆的半径为2.5cm.
故选A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知圆外一点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解答此题的关键．
9．B
【详解】试题分析：由题意，可知P点所经历过得路线是以正五边形中心O为圆心，以OP为半径的圆的周长，因为△PQR是等边三角形且边长为1，所以OP=，由C=，求得点P所经过的路线长为.
本题涉及了圆的周长公式，该题分析较为复杂，主要考查学生对动点经历路线的理解以及对圆周长公式的应用．
10．B
【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是．
【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作，
点的坐标为，
，，
，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
当最大时最大，
当点、、共线时有最大值，
的半径为，
的最大值是，
的最大值是．
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【详解】解：∵点P到的最近距离为1cm，最远距离为5cm，则：
当点P在圆外时，则的直径为，半径是2cm；
当点P在圆内时，则的直径是，半径为3cm，
故选C．
12．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．

【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
13．上
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：由勾股定理，得
d==10，
d=r=10cm，
∴点P在圆上，
故答案为：上．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14． 3 2
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB==5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=2.5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=0.5．
∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3．
∴最小值为2，最大值为3，
故答案为：3，2．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
15． 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
16．4或2cm
【分析】当点在圆外时，最长距离-最短距离=直径，当点在圆内时，最长距离+最短距离=直径，即可求解..
【详解】解：(1)当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
(2)当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为4或2.
【点睛】本题考查点到圆的距离与直径的关系及直径的一半是半径.，熟悉掌握即可.
17．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算：
（1）根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据，即可求解；
（2）根据，结合点与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：矩形中，，
∴，
∵
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴的半径r的取值范围为
故答案为：
18．点在圆外．
【分析】答题时主要判断C,B两点到圆心A的距离,然后判断C,B两点和A的位置关系.
【详解】解：∵ ，，，
∴ ；
∵ ，
∴点在圆内，
∵ ，
∴ 点在圆外．
【点睛】本题主要考查勾股定理的简单计算及点与圆的位置关系．
19．所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.
【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.
【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.
【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.
20．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键．
（1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解，
【详解】（1）解：．
理由如下：
，
，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
．
，，
，
，
，，
．
21．若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可通过解直角三角形求出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】在中，，
.
在中，，
.
，
点A在外.
，
点B在上.
，点D在内.
若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；
（2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【详解】解：（1）如图1，DE为所作；
连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在△BOC和△DOE中，
，
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2，△A′B′C′为所作．
连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，
在△BOC和△B′OC′中，
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′，
同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，则∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；
（2）联结EG，EG∥AB，又AD∥BC，四边形ABGE是平行四边形，则AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD DE，则可得出结论．
【详解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，
又在圆B中，BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∴∠ADB=∠ABD=∠BED，
∴△BDE∽△ADB；
（2）如图，
∵EG∥AB，又AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE=BG，
∵BG=BD，
∴AE=BD，
又由（1）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD2=AD DE，
又在菱形ABCD中，AD=BC，
∴AE2=DE CB．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，熟知各种判定定理是解题基础．
24．（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【分析】（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；
（2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．
【详解】解：（1），的直径为2
点的位置只有一种情况在圆外，
即点与的位置关系是点在圆外．
（2），的直径为2
点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【点睛】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
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