3.2圆的对称性寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ）
A．cm B．10cm C．8cm D．cm
2．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C．到、的距离相等 D．
3．如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（　　）
A．52° B．60° C．72° D．76°
6．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
7．如图，在平行四边形ABCO中，，点A，B在⊙O上，点D在优弧ADB上，，则的度数为（ ）
A．165° B．155° C．145° D．135°
8．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（　　）
A． B． C．2 D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
11．下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，的半径为3，是的弦，直径，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为 (结果保留π)．

14．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ．
15．如图，已知为的直径，为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角 ．

16．如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ．
17．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
三、解答题
18．已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD．求证: AB=CD．
19．在中，弧弧，，求的度数．

20．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．
求证：MC=NC．
21．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
22．如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
23．已知，如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．
（1）求证：＝；
（2）若∠AEC＝100°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD．
24．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．
求证：CD与小圆也相切．
《3.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C A B D A D B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【详解】试题分析：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8，
∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，
即⊙O的半径为cm．
故选A．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
2．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴O到、的距离相等，
所以A、C、D选项正确，
不能证明是等边三角形，不一定成立，
故选：B．
3．C
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解
【详解】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故选D．
【点睛】本题考查邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．C
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
∵点B是劣弧的中点，
，
，
，
故选：C．
5．A
【详解】考点：圆心角、弧、弦的关系．
分析：要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．
解答：
解：连接OD．
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∵∠AOE=56°，
∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°，
∴α=（180°-76°）÷2=52°．
故选A．
点评：本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．
6．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解．
【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质可得∠OAB=∠C=45°，再根据等腰三角形的等边对等角得∠OBA=∠OAB=45°，则∠AOB=90°，由DA=DB得∠AOD=∠BOD，进而可求得∠AOD的度数．
【详解】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB=∠C=45°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵DA=DA，
∴∠AOD=∠BOD=（360°﹣90°）=135°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟知等弦所对的圆心角相等是解答的关键．
8．A
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
【详解】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选A．
【点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．D
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，先证明四边形CDFE是矩形，再根据证明四边形ABDC是等腰梯形，利用勾股定理求出BC=，根据圆周角的性质可知,利用勾股定理即可求出BO=．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2,
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD,
∴,
∴AC=BD,
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6,CD=2,
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4,
在
∴
在，
∴，
根据圆周角的性质可知,
在,
∴，
∵BO＞0，
∴BO=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及弧弦和圆心角的关系，勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】A中，在同圆或等圆中，等弦所对应的弧可以相等也可以构成新圆，其他情况不一定成立；
B中，等弧所对的圆心角、弦均相等，故正确；
C中，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对应的弦相等，其他情况不一定成立，例如同心圆；
D中，在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角可以相等也可以相加为，其他情况不一定成立；
故选B．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系，等弦、等弧的概念，需明确各概念间的区别再判断．
11．C
【分析】利用垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①中若直线与弦不垂直，则结论不成立；
②若垂线不是直径，则结论不成立；
③若所过的弦中点故选：C所在的弦本身就是直径，则结论不成立．
故①②③都不正确，④正确．
故选：C
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解垂径定理及其推理，难度不大．
12．C
【分析】连接OC，利用垂径定理以及圆心角与圆周角的关系求出；再利用弧长公式即可求出的长.
【详解】解：连接OC
（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∵直径
∴=（垂径定理）
∴
故选C
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角与圆周角以及利用弧长公式求弧长，熟练掌握相关定理和公式是解答本题的关键.
13．2π
【详解】试题分析：根据圆的对称性，可得图形中圆右半边阴影部分都与左半边非阴影部分对称，则右半边阴影可移到左半边非阴影处构成大圆的一半，则图中所有阴影的面积为大圆一半面积，利用圆的面积公式进行计算即可．
解：由题意得，阴影部分的面积之和正好是半圆，
则阴影部分面积为π×22=2π，
故答案为2π．
14．/110度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵所对圆心角的度数是
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．60
【分析】根据弧和圆心角的关系得到，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故答案为：60．
【点睛】本题考查弧和圆心角的关系，得到是解答的关键．
16．或或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段延长线上时，
∵，
∴，
设，则
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
17．=
【分析】过点作于点，交于点，根据
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．
18．见解析.
【分析】根据BD平分∠ADC可得，进而得到AB=BC，问题得证.
【详解】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴，
∴AB=BC，
∵BC=CD，
∴AB=CD.
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
19．
【分析】根据两个圆心角所对应的弧相等，则这两个圆心角相等解题即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角间的关系，熟练掌握以上定理是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．
【详解】证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB
又∵M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（1）详见解析；（2）5．
【分析】（1）由已知可得AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接OB、OC，
∵
∴AB＝AC，
又OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明；
（2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（1）见解析；（2）50°；（3）见解析
【分析】（1）圆心角、弧、弦的关系即可证明结论；
（2）结合（1）根据三角形的外角定义即可求得结果；
（3）根据题意画出图形，结合（1）根据直角三角形两个锐角互余，即可证明结论．
【详解】解：（1）∵AB=CD，
∴ ，
∴，即 ；
（2）∵，
∴∠D=∠A，
∵∠AEC＝100°，
∴ ；
（3）如图，
∵∠D=∠A，
∴AE=DE，
∵AE＝2BE，
∴DE=2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB=90°，
∴∠A+∠ABH=90°，∠D+∠DGH=90°，
∵∠D=∠A，
∴∠ABH=∠DGH，
∵∠DGH=∠BGE，
∴∠ABH=∠BGE，
∴BE=EG，
∴DE=2EG，
∵DE=EG+GD，
∴EG=GD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合掌握圆心角、弧、弦的关系．
24．证明见解析.
【分析】过点O分别作AB，CD的垂线段OE，OF.设小圆的半径为r.根据同圆等弦的弦心距相等可知OE＝OF＝r.
【详解】证明：过点O分别作AB，CD的垂线段OE，OF.设小圆的半径为r.
∵AB与小圆相切，
∴OE＝r，
∵AB＝CD，且AB，CD为大圆的弦，
∴OE＝OF，
∴OF＝r，
∴CD与小圆也相切．
【点睛】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;解决问题的关键是同圆等弦的弦心距相等.
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