3.3垂径定理寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　 ）
A． B． C． D．
2．如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，则下列说法中正确的是（）
A． B．点是劣弧的中点 C． D．是弧中点
4．如图，在⊙O中，直径CD＝5，CD⊥AB于E，OE＝0.7，则AB的长是(　 　)
A．2.4 B．4.8 C．1.2 D．2.5
5．如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）
A．2cm B．cm C．cm D．cm
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A．22 B．24 C． D．
9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
10．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
11．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分
12．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AB=10，OC⊥AB，垂足为点D，则AD= ．
14．如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径 ．
15．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为 ．
16．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
17．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
三、解答题
18．如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长．
19．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长．
21．已知：如图，是弧的中点，过点的弦交弦于点，设的半径为，，
(1)求圆心到弦的距离；
(2)猜想和的位置关系，并说明理由；
(3)求的度数．
22．如图，是的直径，弦交于点，求的长．

23．如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
24．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C．
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
《3.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B D C C B B B
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】因为弦垂直平分半径,由垂径定理和勾股定理,易求出弦长．
【详解】解：
根据题意，画出图形，如左图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中,AD===2，
∴AB=2×2=4.
故选D.
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理.
2．B
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：是的弦，且于点，
，，
，
故选：B．
3．B
【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.
【详解】A. ∵ADB. ∵，∴ 点是劣弧的中点，故正确；
C.OE与EB不一定相等，故不正确；
D. ∵CD不过圆心，∴ 不是弧中点，故不正确；
故选B.
【点睛】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.
4．B
【详解】【分析】根据勾股定理可求AE,由垂径定理可求AB.
【详解】连接AO，
因为，在⊙O中，CD⊥AB于E，
所以，AB=2AE,AE=
所以，AB=2AE=2×2.4=4.8
故选B
【点睛】本题考核知识点：垂径定理. 解题关键点：熟记垂径定理和勾股定理.
5．D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可．
【详解】在中，，
∴，
在中，，
∴的直径为，
即最长的弦长是．
故选：D．
6．C
【分析】可证，结合垂径定理即可判断．
【详解】解：∵
∴
∴
∵，
∴
故A、B、D正确
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理．垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
7．C
【分析】先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD=OB=1cm，由勾股定理求得AD=cm，再由垂径定理即可求解．
【详解】过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，
将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
OD=OB=1cm
在 中，由勾股定理得
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．B
【详解】解：对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,
过点作于点,则有,
点,
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示
根据垂径定理及勾股定理可得,
的最小值为
故选：B
9．B
【分析】连接、，根据题意可得，，再根据垂径定理得到，设，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．
【详解】解：连接、，交于点H，
由题可得，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．
10．B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是2；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
11．A
【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC=AB=×16=8（厘米），
在Rt△AOC中，（厘米），
∴CD=OC+OD=16（厘米），
∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
∴16÷16=1（厘米/分）．
∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．
12．B
【分析】根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．
【详解】解：∵弦AB所对的劣弧为120°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
又OC⊥AB，
∴OC=OA=1；
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
13．5
【分析】根据垂径定理得出AD=BD，即可求出答案．
【详解】解：∵OC⊥AB，垂足为点D，OC过O，
∴AD=BD，
∵AB=10，
∴AD=5，
故答案为5．
【点睛】题目主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
14．
【分析】设圆的半径为，利用垂径定理可得，然后利用勾股定理列方程进行求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
∵弦于E点，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．7dm或1dm
【分析】如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD，根据垂径定理得CF＝FD＝CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝3，再进行讨论：当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE＋OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE OF．
【详解】解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE＝BE＝AB＝3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD＝CD＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5dm
OE＝＝4，
同理可得OF＝3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．
故答案为7dm或1dm．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
16．或
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
17．10或70
【分析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得．
【详解】如图，作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC=AB=×60=30cm，
在Rt△OBC中，
当水位上升到圆心以下时 ，水面宽80cm时，
则，
水面上升的高度为：；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm，
故答案为：10或70．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
18．
【分析】连接AO，根据半径和CE的长度求出OE的长度，然后在△AEO中根据勾股定理求出AE的长度，然后在△AED中根据勾股定理即可求出AD的长度．
【详解】解：如图所示，连接AO，
∵⊙O的半径是5，
∴OC=OD=5，
∴，
∴，
∵直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，
∴，
∴在△AEO中，，
∴在△AED中，．
∴AD的长度为．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理和勾股定理．
19．见解析
【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论．
【详解】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，
由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
20．1.4
【分析】根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出AE．设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答．
【详解】解：连接OC，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，即．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了垂径定理、锐角三角函数及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
（1）连接，过点作于，由垂径定理可知，在中，利用勾股定理求出即可得答案；
（2）连接、，由于是弧的中点，可得，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出；
（3）利用锐角三角函数，可求出，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出．
【详解】（1）解：连接，过点作于，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴
故圆心到弦的距离为．
（2）解：（2）猜想：，理由如下：
如图，连接、，
∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴．
22．
【分析】作于，连接，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．
【详解】解：作于，连接，如图，

，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解；
（2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解；
（3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得 ，,
.
，，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）R=；（3）n=5，m=6.
【分析】（1）作出AB，BC的中垂线，交点即为圆心O；
（2）连接OA，设与BC交于点D，并延长AD，连接OB，由△ABC是等腰三角形，推出DB=DC，根据垂径定理确定AD的延长线过O点，再由AB=AC=6cm，BC=10cm，根据勾股定理推出AD=cm，由R2=52+（R-）2，即可求出R的值；
（3）由≈3.3166，推出R=≈5.4272，根据n【详解】(1)
(2)作AD⊥BC于D，并延长AD，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB=DC，
∴AD的延长线过O点，
∵AB=AC=6cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=cm，
∵OB=OA=R，
∴R2=52+(R )2，
∴R=，
(3)∵≈3.3166，
∴R=≈5.4272，
∵n∴n可取的最大值为5，m可取的最小值为6，
∴n=5，m=6.
【点睛】此题考查垂径定理，等腰三角形的性质，作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则和利用勾股定理进行计算.
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