3.4圆周角和圆心角的关系寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆内接四边形中，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )
A．158° B．58° C．64° D．116°
5．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
7．在中，直径，是弦，，点是弦上的动点，则的最小值是( )
(为此，我校数学兴趣小组的部分同学做了如下探究，如图，过点作，过点作，得，从而，…顺着同学们的思路请你做出正确的选择)
A． B． C． D．
8．如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（　　）
A．3 B． C． D．
10．如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．105°
12．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（ ）

A．1 B． C． D．2
二、填空题
13．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．
14．如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则 ．
15．如图，是的内接三角形，若，则 ．
16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为 .
17．如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为 ．
三、解答题
18．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
19．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
20．已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
22．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．
求证：PE⊥PF．
23．数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
(2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
24．如图，AB为的直径，C为上一点，连AC，BC，E为上一点，且，点F在BE上，于点D．求证：．
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C C A B A B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角．根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，，
∴．
故选．
2．C
【分析】本题主要考查了考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等即可得到．
【详解】解；∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
4．D
【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=90°-∠CAB=35°，
∴∠D=∠B=35°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，注意运用数形结合的思想方法．
7．A
【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意得出的最小值即为的长，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
当三点共线时即为的长，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∴的最小值即为的长，
∵直径，是弦，，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
8．B
【详解】试题分析：当∠BPA=90°时，即点P的位置有2个；当∠ABP=90°时，点P的位置有1个；当∠BAP=90°时，在y轴上共有1个交点．
试题解析：如图：
（1）以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与ｙ轴交于一点，这一点符合点P的要求；
（2）以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与ｙ轴交于一点，这一点符合点P的要求；
（3）以AB为直径画圆，与y轴共有2个交点，均符合点P的要求．
所以满足条件的点P共有4个．
故选B．
考点：一次函数综合题．
9．A
【详解】延长AO交圆于点D，连接CD，
由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B
∴sinD=sinB=，
Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，
∴AC=AD sinD=3．
故选A．
10．B
【分析】本题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
本题先连接，则，所以，由，得，则，由，得，求得，即得到本题的答案．
【详解】解：连接，如图：
，
则，
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：．
11．B
【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．
【详解】如图，
AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，
因为直径对的圆周角是90°，
所以∠AMB=90°，
所以测量∠AMB的度数，结果为90°．
故选B．
【点睛】（1）此题主要考查了作图-基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．
（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．
12．B
【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案．
【详解】解：在正三角形中，，
，
，分别是，的中点，
，，
在上，
，
以为直径作半圆交于点，
那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，
作，如图所示：

当时，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．的圆周角所对的弦是直径
【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．
根据圆周角定理进行判断即可．
【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，
故答案为：的圆周角所对的弦是直径．
14．1
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
【详解】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.
15．/62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．5．
【详解】解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴，即
解得：x=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质．
17．1
【分析】连接CD，根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴，，
∵为直径，且，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．
18．特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角
【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
19．∠ADC＝25°
【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得弧AB=弧AC，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．
【详解】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
【点睛】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．点，，，在同一圆上，理由见解析；面积为
【分析】由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，得出即可证明结论；证明是圆的直径，得出圆的半径==5，即可求出外接圆的面积．
【详解】点，，，在同一圆上；
证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
设中点为点，连接、，
则，
∴点，，，同在以点为圆心，为直径的圆上，
∴圆的半径，
∴圆的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
21．(1)2；（2）.
【分析】（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，
∴BC=，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD
∴，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；
（2）连接OC，OD，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，
∵OA=OB，
∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S△AOD=×AO×OD=×22=2，
∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．
【点睛】考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
22．证明见解析.
【分析】由圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点，继而可得EM=EN，即可证得：PE⊥PF．
【详解】∵四边形内接于圆，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23．(1)
(2)不成立，，见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，作辅助线构造圆内接四边形，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．
（1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案；
（2）延长交圆于点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
，
故答案为：；
（2）解：结论不成立，，证明如下：
如图，延长交圆于点，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
．
24．证明见解析．
【分析】由为的直径，得到，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】证明：为的直径，
，
于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和性质、等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
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