3.5确定圆的条件寒假练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个说法：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心一定在三角形内；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）

A． B． C． D．
3．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
5．如图，坐标平面上有，，点，其中，若，则的外心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　）
A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点
C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点
7．已知的面积为，则其内接正三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知内接于，连接，，，设，，．则下列叙述中正确的有（ ）
①若，，且，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
9．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
10．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（　　）
A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC
11．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（ ）.
A．13 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm
12．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（ ）

A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1)
二、填空题
13．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点 .
14．已知的两条直角边长为a和b，且a，b是方程的两根，则的外接圆面积为 ．
15．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 ．
16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．
已知：．
求作：所在的圆．
作法：如图，

(1)在上任取三个点D，C，E；
(2)连接DC，EC；
（3）分别作DC和EC的垂直平分线， 两垂直平分线的交点为点O．
（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 ．
三、解答题
18．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．
19．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
20．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上．
21．如图，已知线段，，求作等腰三角形，使高为，腰长为．，尺规作图，保留作图痕迹）

22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)的外接圆的半径为 　 　．
(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出△A1BC1．
(3)连结，求四边形的面积．
23．如图，四边形为圆内接四边形，对角线、交于点E，延长、交于点F，且，．
求证：
(1)；
(2)A为的外心（即外接圆的圆心）．
24．已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
《3.5确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D D D C A C C
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】利用确定圆的条件、三角形的外心的定义、等腰三角形的性质及外接圆的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②三角形的外心可能在三角形的外部或斜边上，故错误；
③等腰三角形的外心肯定在底边上的中线所在直线上，故错误；
④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点，故正确．
故选A．
【点睛】本题考查确定圆的条件、三角形的外心、等腰三角形的性质及外接圆的定义，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
2．D
【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答．
【详解】解：如图，由勾股定理得：，

∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是的外心，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念．
3．B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
【详解】方法一、如图，连接，

∵点是的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、如图，

∵点是的外心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用．
4．D
【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．
5．D
【分析】根据钝角三角形的外心在三角形的外部即可得出结论．
【详解】解析：∵点，点，
∴的外心在直线上．
∵，
∴的外心在三角形的外部，
∴的外心在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知钝角三角形的外心在三角形的外部是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键．
【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
7．C
【分析】由圆内接正三角形的性质可知，正三角形两条高的交点即为圆心，利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理解直角三角形，求出正三角形的边和高，即可求出面积．
【详解】解：如图，是的内接正三角形，作，，则和的交点即为点O，

设，则，
解得，
是正三角形，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查圆和等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握正三角形高线（中线、角平分线）的交点即为外接圆的圆心．
8．A
【分析】①由得，再利用三角形内角和定理，可得到，故①正确；
②由可知：，再根据三角形内角和定理可得∶；故②正确；
③显然有，故，故③不正确；
④易得∶，故④不正确．
【详解】解：①如图1：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，故①正确；
②如图2，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③如图3，
∵，
∴，
∴，
∴，故③不正确；
④如图3，，故④不正确；
综上：①②正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆及圆心，圆周角定理，三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形．
9．C
【分析】以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，
过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∠A＝60°，AE＝6，
∴AF＝3，EF＝，
在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5，
∴OE＝，
∴PE＝﹣4，
即线段PE的最小值为﹣4，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．
10．C
【详解】设三角形的外接圆的半径是R．
连接OB，OC．
∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．
∴∠BOD=∠COD=∠A
在直角△OBD中，OD=OB cos∠BOD=R cosA．
同理，OE=R cosB，OF=R cosC．
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．
故选C．
【点睛】设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．
11．D
【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边AB的长度为29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点C与外心的距离即为斜边的中线．
【详解】先根据题意画图，知道AB为三角形的斜边求得AB2=AC2+BC2=202+212=841=292 ，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为AB边的一半， 求得AB的一半为14.5，应该选择答案为D.
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的圆心.
12．C
【详解】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.
故选C.
13．Q
【分析】利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，作两条弦的中垂线即可判断.
【详解】根据圆心为弦垂直平分线的交点，故分别作AB、BC的中垂线，交点即为所求，如图所示：
由图可知，这条圆弧所在圆的圆心是点Q.
故答案为Q.
【点睛】此题考查的是圆心的确定，掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键.
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的外接圆，完全平方公式的变形求值，先根据两直角边a、b分别是一元二次方程的两根，得出，，根据，求出，再求出的外接圆面积即可．
【详解】解：∵两直角边a、b分别是一元二次方程的两根，
∴，，
，
∴斜边
∴圆的半径，
的外接圆的面积为．
故答案为：．
15．（2，0）
【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）．
【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M，
由中垂线性质有AM=BM=CM，
∵AM=BM=CM，
∴点M为圆心，
由平面直角坐标系可知，
圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标．
16．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．
【详解】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．
∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．
17．
【分析】根据等腰三角形三线合一判断AD为BC的垂直平分线，再根据外接圆圆心为三角形边的垂直平分线交点确定O为外接圆圆心，最后根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线
∴，，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点为外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴外接圆的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的三线合一、三角形外接圆圆心即三角形外心以及圆面积公式．三角形的外心实质上是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆半径．
18．见解析
【分析】由已知弧连接出两条弦，根据垂径定理的推论，作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心，从而确定各段弧所在圆的半径的大小．
【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD；
②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心；
③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心；
④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心．
根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
【点睛】本题考查的是作图，垂径定理的应用，只要熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧即可轻松作答．
19．见详解
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O
【详解】
20．见解析
【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论．
【详解】证明：连接，．
分别是的高，为的中点，
，
∴点在以点为圆心的同一圆上．
【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键．
21．见解析
【分析】若高为底边上的高：在直线上取点，作于，在上截取，然后以点为圆心，为半径画弧交于、两点，则满足条件．若高为腰上的高：先作，再作的垂中平分线得到的中点，接着以为直径作圆，再圆上截取，然后在的延长线上的反向延长线上）截取，则满足条件．
【详解】
解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据网格的特点，勾股定理求得的长，进而即可求解．
（2）利用旋转变换的性质作出的对应点即可；
（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去两个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵是直角三角形，，
∴，
∴的外接圆的半径为；
（2）如图，为所作；
（3）
四边形的面积．
【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆半径，勾股定理与网格，画旋转图形，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出，根据三角形的内角和得出，根据等边对等角得出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，故， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，根据同弧所对的圆周角相等得出， 所以，根据等角对等边得出；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角及对顶角相等得出，故，根据等角对等边得出，又，故，即A是三角形的外心．
【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：四边形内接于圆，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即A是三角形的外心．
【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，以及三角形的外心．熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角相等，等边对等角，是解题的关键．
24．见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
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