第二章　平面向量及其应用 6.2 平面向量在几何物理中的应用举例--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
基础过关练
题组一　向量在几何中的应用
1.(2025江苏淮安高新区高级中学月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=,b=1,c=3,则BC边上的中线AD的长为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2025江西宜春丰城中学段考)如图,在平面直角坐标系xOy中,O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,若A1,则点A3的纵坐标为(　　)
B.
C. D.
3.(2025江西南昌第十九中学月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2024山东师范大学附属中学月考)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,b),B(-a,0),C(a,0),且ab≠0,D为AB的中点,E为△ACD的重心,F为△ABC的外心.
(1)求重心E的坐标;
(2)用向量法证明:CD⊥EF.
5.(2025安徽芜湖第一中学期中)如图,在△ABC中,已知AB=6,AC=9,∠BAC=60°,=2,N为AC边的中点,AM,BN相交于点P.
(1)求cos∠MPN;
(2)求||.
6.在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,E为线段BC的中点,P为线段AB上一点.
(1)利用向量知识判断点P在什么位置时,∠PED=45°;
(2)若∠PED=45°,求证:D,P,E,C四点共圆.
题组二　向量在物理中的应用
7.(2024河北沧州月考)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动,在冰球运动中,冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-1)移动到点B(1,-1),则F对冰球所做的功为(　　)
A.-18　　B.18　　C.-12　　D.12
8.(2025陕西咸阳礼泉期中)某种礼物降落伞的示意图如图所示,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法线的夹角都为30°.已知该礼物的质量为10 kg,降落伞自身的质量为2 kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(重力加速度g取9.8 N/kg,≈1.732,计算结果精确到0.01 N)(　　)
A.1.41 N　　B.1.56 N　　C.16.97 N　　D.17.04 N
9.(2024广东广州第六十五中学月考)有一条东西方向的小河,一艘小船从河南岸的渡口A出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h,方向为北偏西30°,水流速度的大小为7.5 km/h,方向向东,则小船实际航行速度的大小与方向为(　　)
A. km/h,正北
B. km/h,与水流方向夹角为63.4°
C. km/h,与水流方向夹角为41°
D. km/h,垂直于河岸
10.(多选题)(2025山东东营第二中学期中)长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1 km.一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=20 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向,则(　　)
A.当船的航行时间最短时,θ=90°
B.当船的航行距离最短时,cos θ=-
C.当θ=30°时,船的航行时间为12分钟
D.当θ=120°时,船的航行距离为 km
11.(2025重庆万州第三中学等多校月考)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,从连接点O出发的三根绳的端点处分别挂着一个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则cos∠AOB=　　　　.
12.如图,在同一平面内,一个质点O受三个力F1,F2,F3的作用保持平衡,其中F3与F2的夹角为α,F3与F1的夹角为β.
(1)若α=120°,β=150°,|F3|=10,求力F1,F2的大小;
(2)若|F1|∶|F2|∶|F3|=1∶∶,求α与β的余弦值.
答案与分层梯度式解析
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
基础过关练
1.A 2.C 3.C 7.D 8.C 9.A 10.AB
1.A　由题意可得=(+),
则=(++2·),
故=(c2+b2+2cbcos∠BAC)=(c2+b2+b2+c2-a2)
=(2c2+2b2-a2)=×(18+2-7)=,
所以||=,即AD=.
2.C　因为O(0,0),A1,所以=,
所以OA1=||==1,
设A3(x,y),则=(x,y),
根据正六边形的性质可得OA3=OA1,所以x2+y2=1,且·=||·||cos =-,即x+y=-.
联立整理得16y2+4y-11=0,解得y=,
根据题意知y>0,所以y=,即点A3的纵坐标为.
3.C　解法一:由题可设=λ,λ>0,
∵AD⊥CF,∴·=0,
又D是CB边的中点,∴=(+),
∴(+)·(-)=0,
∴(+)·(λ-)=0,
∴(λ-1)·+λ-=0,①
∵AC=BC=1,∠ACB=90°,所以AB==,且∠BAC=45°,
∴=1,=2,·=×1×=1,
代入①式得(λ-1)×1+2λ-1=0,解得λ=,
∴=,∴BF=AB=.
解法二:∵∠ACB=90°,AC=BC=1,
∴△ABC为等腰直角三角形,
又AD为BC边上的中线,∴CD=,
以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(0,0),A(0,1),B(1,0),D,=,
过点F作FH⊥CB,交CB于点H,则FH=HB,由CH+HB=1得CH+FH=1,
∴可设F(x,1-x),则=(x,1-x),
由AD⊥CF得·=x-(1-x)=0,解得x=,
故F,∴=,∴BF=||=.
4.解析　(1)∵A(0,b),B(-a,0),D为AB的中点,
∴D,又C(a,0),E为△ACD的重心,
∴E.
(2)证明:由(1)知,=,易知△ABC的外心F在y轴上,可设F(0,y).
如图,
∵F为△ABC的外心,∴||=||,
即(y-b)2=(-a)2+y2,
∴y=,即F,
∴=,
∴·=×+×=0,
∴⊥,即CD⊥EF.
5.解析　(1)如图,以A为原点,直线AC为x轴建立平面直角坐标系.
依题意得A(0,0),B(3,3),N,C(9,0),
设点M(x,y),
由=2,可得(x-3,y-3)=2(9-x,-y),
即解得∴M(7,),
∴=(7,),则||==2,
又=,∴||==,
则cos∠MPN=cos<,>=
==.
(2)∵A,P,M三点共线,∴存在实数λ使得=λ,
∵=+=+=+(-)=+,
∴=λ=λ=+=+,
又∵P,B,N三点共线,∴+=1,即λ=,
∴=+=+,
∴||=
=
==.
6.解析　(1)如图,建立平面直角坐标系,
则D(2,3),E(1,0),设P(0,y),0≤y≤3,
则=(1,3),=(-1,y),
∴||=,||=,·=3y-1,
∴cos 45°===,
解得y=2(负值舍去),
∴点P为线段AB上靠近点A的三等分点时,∠PED=45°.
(2)证明:连接DP,由(1)知当∠PED=45°时,P(0,2),
则=(2,1),=(-1,2),
∴·=0,∴∠DPE=90°,
又∠DCE=90°,
∴D,P,E,C四点在以DE为直径的圆上,即D,P,E,C四点共圆.
7.D　因为A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0),又F=(6,24),所以力F对冰球所做的功为F·=12.
8.C　设每根绳子拉力的大小为T N,礼物降落伞的总质量为m kg,
根据平衡条件可得,8T·cos 30°=mg,
解得T===9.8≈16.97,
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为16.97 N.
9.A　如图,为水流速度,为小船航行速度,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则为小船实际的航行速度,
易知∠ADC=90°,∠CAD=30°,||=15,||=7.5,
∴||==.∴小船实际航行的速度的大小为 km/h,方向为正北.
10.AB　对于A,船的航行时间为=(h),若要使船的航行时间最短,则sin θ最大,当且仅当θ=90°时,船的航行时间最短,故A正确;
对于B,当船的航行距离最短时,v1+v2的方向与河岸垂直,从而cos θ=
-cos(π-θ)=-=-=-,故B正确;
对于C,当θ=30°时,船的航行时间为=(h),即6分钟,故C错误;
对于D,由题意设航行时间为t,位移分量为s1=v1t,s2=v2t,位移为s,
则s=s1+s2=v1t+v2t=(v1+v2)t,其中t==(h),
故|s|=|v1+v2|t=t=×=(km),故D错误.
11.答案　
解析　不妨设OA,OB段绳子的拉力对应的向量分别为,.依题意可得||=||=4,|+|=7,则+2·+=49,
即16+2·+16=49,解得·=,
所以cos∠AOB==.
12.解析　(1)因为质点在F1,F2,F3的作用下保持平衡,所以F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2),
又α=120°,β=150°,
所以F1与F2的夹角为90°,所以F1·F2=0,
则|F3|2=[-(F1+F2)]2=+2F1·F2+=+,
将|F3|=10代入可得+=100.
如图.
易得∠1=30°, 所以|F1|=|F3|×cos 30°=10×=5,
|F2|=|F3|×sin 30°=10×=5.
(2)因为|F1|∶|F2|∶|F3|=1∶∶,且质点处于平衡状态,
所以以|F1|,|F2|,|F3|为边长的三角形为直角三角形,如图所示,
则cos∠3==,cos∠2==,
所以cos β=cos(π-∠3)=-cos∠3=-,
cos α=cos(π-∠2)=-cos∠2=-.
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