第二章　平面向量及其应用 复习提升--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
复习提升
易混易错练
易错点1　忽视向量的方向致错
1.(2024河南周口西华第二高级中学开学考试)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,O为△ABC的外心,则·=(　　)
A.5　　B.2　　
C.-4　　D.-6
2.(2023浙南名校联盟期中)在△ABC中,已知命题p:△ABC为钝角三角形,命题q:·>0,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
易错点2　已知两向量夹角为锐角(钝角)求参数时忽略向量共线致错
3.(2025江西景德镇一中期末)已知=(2,3),=(-1,k).若,的夹角为钝角,则k的取值范围为　　　　.
4.(2024陕西咸阳实验中学月考)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为　　　　;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为　.
易错点3　解三角形时弄不清解的个数致错
5.(2025广东东莞翰林实验学校月考)在△ABC中,若a=25,b=30,A=42°,则此三角形解的情况为(　　)
A.无解　　B.有两解
C.有一解　　D.有无数解
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,不解三角形,下列判断正确的是(　　)
A.B=60°,c=4,b=5,有两解
B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解
C.B=60°,c=4,b=3,有一解
D.B=60°,c=4,b=2,无解
易错点4　解三角形时忽视隐含条件致错
7.(2025湖南永州期中联考)已知钝角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=k,b=k+2,c=k+4,则实数k的取值范围为　　　　.
8.(2024四川成都石室中学月考)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a2-c2=a-b且b=1,则△ABC的面积的取值范围为　　　　.
9.(2025安徽A10联盟期中)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,sin B+sin A=2,求△ABC的面积.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.(多选题)(2024江苏南通质量监测)已知一平行四边形的三个顶点的坐标分别为(0,3),(-1,0),(3,0),则第四个顶点的坐标可以是(　　)
A.(-4,3)　　B.(-5,3)　　
C.(4,3)　　D.(2,-3)
2.(2025河南驻马店期末检测)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=-sin Bsin C,b=4.若△ABC为直角三角形,则△ABC的面积为　　　　.
二、数形结合思想
3.(多选题)(2024江西重点中学期末)已知a≠e,|e|=1,满足对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则(　　)
A.a·e=0　　B.e·(a-e)=0
C.a·e=1　　D.e·(a-e)=1
4.(2025天津第五中学月考)已知正方形ABCD的边长为1,=2,若=λ+μ,其中λ,μ为实数,则λ+2μ=　　　　;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则·的最小值为　　　　.
三、函数与方程思想
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,A=,△ABC的面积为2,则b+c=(　　)
A.4　　B.6　　C.8　　D.10
6.(2025湖北“宜荆荆恩”起点考试)已知点P在△ABC所在的平面内,且2++=0.过点P的直线与AB,AC分别交于点M,N,设=α,=β(0<α≤1,0<β≤1),则+的最小值为　　　　.
7.(2024广东深圳致理中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,∠DAB=,∠ABC=,AB∥DC,||=3,||=2.
(1)求·;
(2)若k-与共线,求实数k的值;
(3)若P为BC边上的动点(不包括端点),求(+)·的最小值.
四、转化与化归思想
8.(2023河南安阳重点高中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A-csin C=(b-c)sin B.若D是BC边的中点,且AD=4,则△ABC面积的最大值为(　　)
A.16　　B.32-16　　
C.64　　D.32+16
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 2.B 5.B 6.D
1.D　由已知得∠ABC=30°,∴<,>=150°(易错点),又O为Rt△ABC的外心,∴O是AB的中点,∴AO=AB=2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,∴BC==2,∴·=||·||·cos 150°=2×2×=-6.
2.B　若·>0,则-||·||·cos B>0,即cos B<0,又B∈(0,π),所以B为钝角,故必要性成立;
由△ABC为钝角三角形不一定得出B为钝角,故充分性不成立.
故p是q的必要不充分条件.
易错警示
　　在求向量夹角时,一定要先看两向量是否共起点,若不共起点,则需先将向量平移到同一起点再计算.
3.答案　
解析　若,的夹角为钝角,则·<0,且与不反向共线,即-2+3k<0,且≠,解得k<且k≠-.
4.答案　;∪
解析　因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos==,即a与b夹角的余弦值为.
若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线,
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),
即ka+b=λa+3λb(λ∈R),
易知a与b不共线,所以解得k=,
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠,
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-,
所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为∪.
易错警示
　　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况.
5.B　由正弦定理得=,
∴sin B= sin B=sin A,
∵sin 30°∴∵b>a,∴B>A,∴B可能为锐角,也可能为钝角,
∴此三角形有两解.
6.D　结合各选项可知,B=60°,c=4,作AD⊥BD,垂足为D,如图所示,
在Rt△ABD中,AD=c×sin 60°=2.
由图可知,当b=2或b≥4时,有一解;
当b<2时,无解;
当2结合选项可知D正确.
易错警示
　　“已知两边a,b和其中一边的对角A,解三角形”会有一解、两解或无解三种情况.其判断和验证方法一般有以下几种:(1)利用三角函数的有界性.(2)依据“大边对大角”.(3)利用a与bsin A之间的大小关系:当A为直角或钝角时,若a≤b,则无解,若a>b,则有一解;当A为锐角时,若a7.答案　(2,6)
解析　因为c>b>a,且三角形为钝角三角形,
所以C为钝角,
在三角形ABC中,由余弦定理得cos C===<0,
所以k2-4k-12<0,解得-2又因为两边之和大于第三边,所以k+k+2>k+4,所以k>2.
综上,k的取值范围为2易错警示
　　解三角形时要注意挖掘三角形中所有的隐含条件,常用的隐含条件有:三边长均为正数,大角对大边,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等.
8.答案　
解析　∵a2-c2=a-b,b=1,
∴a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,∴cos C==,
又0则S△ABC=absin C=a,
∵△ABC为锐角三角形, c2=a2+b2-2abcos C=a2+1-a,
∴
即解得∴故△ABC的面积的取值范围为.
易错警示
　　若△ABC为锐角三角形,则角A,B,C的范围均为,余弦值均大于0,本题易缺少cos A>0或cos B>0中的一个而致错.
9.解析　由=,得=,
即sin B=3sin A,
∵sin B+sin A=2,
∴3sin A+sin A=2,即sin A=.
∵a由a2=b2+c2-2bccos A,得7=9+c2-3c,
解得c=1或c=2.
当c=1时,由余弦定理,得cos B===-<0,则角B为钝角,不符合题设条件,舍去;
当c=2时,由余弦定理,得cos B===>0,符合题设条件.
故c=2,∴S△ABC=bcsin A=.
易错警示
　　此类题常因求得c的值后没有对其进行检验,舍去c=1的情况而出错.
思想方法练
1.ACD 3.BC 5.B 8.B
1.ACD　设点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),第四个顶点为D(x,y),
该平行四边形各顶点的顺序未确定,故需分类讨论.
若该平行四边形为ABCD,则=,即(-1,-3)=(3-x,-y),则解得即D(4,3);
若该平行四边形为ACDB,则=,即(3,-3)=(x+1,y),则解得即D(2,-3);
若该平行四边形为ACBD,则=,即(3,-3)=(-1-x,-y),则解得即D(-4,3).
2.答案　2或8
解析　由正弦定理知,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=-sin Bsin C可化为(a+b-c)(b-a-c)=-bc,即b2+c2-a2=bc,
所以cos A==,而A∈(0,π),所以A=.
因为△ABC为直角三角形,
不确定哪个内角为直角,故分情况讨论.
所以若B=,则C=,又b=4,所以c=2,a=2,故S△ABC=ac=×2×2=2;
若C=,则B=,又b=4,所以c=8,a=4,
故S△ABC=ab=×4×4=8.
思想方法
　　在向量这一章中,分类讨论思想主要体现在:向量方向的不确定,图形位置的不确定,参数符号的不确定以及条件(或结论)的不唯一性等.
3.BC　不妨设=e=(1,0),=a,=te=(t,0),
将e,a,te用有向线段表示出来,根据向量减法法则将|a-te|表示出来,通过画出图形解决问题.
如图,
则|a-te|=|-|=||,即为定点A到x轴上的动点T的距离,
显然当AT⊥x轴时,||取得最小值,
若对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,
则(a-e)⊥e,可得e·(a-e)=0,故B正确,D错误;
∵e·(a-e)=e·a-e2=e·a-1=0,
∴e·a=1,故A错误,C正确.
4.答案　;-
解析　根据正方形的特点,建立平面直角坐标系,利用向量加法的坐标运算求参数,利用数量积的坐标运算求最值,可以化繁为简.
如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,1),C(1,0),D(1,1),
因为=2,所以E,
易得=,=(0,1),=(1,0),
因为=λ+μ,所以=λ(0,1)+μ(1,0)=(μ,λ),所以λ=,μ=1,所以λ+2μ=+2=.
设=m=,m∈[0,1],
则F,G,
所以=,=,
所以·=m+=m2-m+=-,m∈[0,1],
由二次函数的性质可知,当m=1时,·取得最小值,最小值为-.
思想方法
　　数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用:
1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题.
2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题.
5.B　由题意得bcsin A=2,则有bc=8,①
由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=20,②
根据三角形的面积公式和余弦定理建立关于b,c的方程组,通过解方程组求解.
联立①②,解得或则b+c=6.
6.答案　4
解析　设BC的中点为D,连接PD,则2=+,
又2++=0,所以2+2=0,即=,故P为AD的中点,
因为P,M,N三点共线,所以存在实数s,使得=s+(1-s),故=sα+(1-s)β,
又==(+),且,不共线,
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
所以整理得+=4,即=4-,
所以+=-+4=+,
建立关于的二次函数,结合α的范围求最小值.
又因为0<α≤1,所以当α=1时,+取得最小值,为4.
7.解析　过C作CH⊥AB于H,易知HB=AB-CD=1,
又∠CBA=45°,所以HC=1,
以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,0),B(3,0),D(0,1),C(2,1),
则=(2,1),=(-3,1),=(3,0),=(0,1),=(1,-1).
(1)·=2×(-3)+1×1=-5.
(2)k-=(3k,0)-(0,1)=(3k,-1),
若k-与共线,则3k×1=-2,
根据向量共线列关于k的方程,解方程求值.
解得k=-.
设=λ,λ∈(0,1),则=λ=(λ,-λ),易知P(λ+2,1-λ),则=(-λ-2,λ-1),=(1-λ,λ-1),=(-λ,λ),则(+)·=(-2λ-1,2λ-2)·
(-λ,λ)=2λ2+λ+2λ2-2λ=4λ2-λ,
通过坐标运算,将(+)·表示成关于λ的二次函数,利用函数的性质求得最值.
对于y=4λ2-λ,λ∈(0,1),其图象的对称轴为直线λ=,故其最小值为4×-=-,
故(+)·的最小值为-.
思想方法
　　一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
　　一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
8.B　因为asin A-csin C=(b-c)sin B,
所以a2-c2=b2-bc,
通过正弦定理将角转化为边.
所以b2+c2-a2=bc,故cos∠BAC==,
通过余弦定理将边的关系转化为角的余弦值.
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.
因为D是BC边的中点,所以=+,
利用平面向量的运算,将线段的长度转化为向量的模.
则=+·+,
即16=c2+b2+bc,
故16≥bc+bc=bc,
所以bc≤64(2-),当且仅当b=c时,等号成立.
所以S△ABC=bcsin∠BAC≤16(2-)=32-16,
即△ABC面积的最大值为32-16.
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