第二章 平面向量及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）
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| 名称 | 第二章 平面向量及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 404.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 16:02:07 | ||
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文档简介
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2026北师大版高中数学必修第二册
第二章 平面向量及其应用
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.- B.-
C.+ D.+
2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=4,cos C=,则△ABC的周长为( )
A.9 B.10 C.12 D.14
3.已知|a|=|b|=1,|c|=,且a+b-c=0,则cos=( )
A.- B.- C. D.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B=3∶5,c=2b-a,则cos B=( )
A. B.- C. D.
5.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,该直线被称为三角形的欧拉线.设点O,G,H分别为△ABC的外心、重心、垂心,则下列各式一定正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
6.已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形ABCD所在平面内一点,则(+)·的最小值是( )
A.- B.-
C.- D.-
7.在正六边形ABCDEF中,P是其内部以及边界上任意一点,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图,为了测量某湿地内A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的D,C,E三点.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2百米,CE=百米,则A,B两点间的距离为( )
A.百米 B.2百米 C.3百米 D.2百米
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知平面向量a=(1,-2),b=(4,y),则下列判断正确的是( )
A.若a∥b,则y=-8
B.若a⊥b,则a在a+b上的投影向量是(1,0)
C.若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为
D.若a,b的夹角为120°,则y=3
10.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有( )
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形
11.在△ABC中,AB=4,AC=6,·=12,P为△ABC内(包含边界)任意一点,则( )
A.BC=2
B.若||=||=||,则S△PBC=
C.若++=0,则||=
D.若=λ(λ∈R),则λ的最大值为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.已知向量a=(1,2),b=(-3,t),若a⊥b,则|a+2b|= .
13.已知△ABC中,AB=,∠ACB=,O是△ABC外接圆的圆心,则·-·的最大值为 .
14.某同学在学习和探索三角形的相关知识时,发现了一个有趣的性质:将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折,则三条圆弧交于该三角形内部一点,且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图,已知锐角△ABC外接圆的半径为4,且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=6,则cos∠PAC= ;若AC∶AB∶BC=6∶5∶4,则PA+PB+PC的值为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)若=2a+b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值;
(2)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C.
(1)求角A;
(2)若a=,求△ABC的周长的取值范围.
17.(15分)如图,在平面四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=2,AD=4,∠BAD=120°,E,F分别是AD,DC的中点,G为线段BC上一点,且=λ(λ∈R).设=a,=b.
(1)若λ=,用a,b表示向量和;
(2)若λ∈(0,1),求·的取值范围.
18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R处有一个路灯,经测量,点R到区域边界PA,PB的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M,N分别落在射线PA,射线PB上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计),供购买冷饮的人休息.
(1)求点P到点R的距离;
(2)为优化经营面积,当PM的长为多少时,三角形PMN的面积最小 并求出最小面积.
19.(17分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=(sin B,a+c),n=(b-c,sin C-sin A),且m⊥n.
(1)求A;
(2)著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决与不等式证明有关的问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式:(x1x2+y1y2)2≤(+)(+);
②已知三维分式型柯西不等式:y1,y2,y3均为正实数,则++≥,当且仅当==时,等号成立.若a=4,M是△ABC内一点,过M作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F,求T=++的最小值.
答案全解全析
1.B ∵AD为BC边上的中线,∴=(+),
又∵E为AD的中点,∴=+=+=(+)+(-)=-.
2.B 在△ABC中,由余弦定理得cos C=,
∵a=2,b=4,cos C=,∴=,
∴c2=16,解得c=4(负值舍去),∴△ABC的周长为2+4+4=10.
3.D 因为a+b-c=0,所以b=c-a,即a2+c2-2a·c=b2,即1+3-2a·c=1,所以a·c=|a|·|c|cos=,故cos=.
4.A ∵sin A∶sin B=3∶5,∴由正弦定理可得=,可得a=b,∴c=2b-a=b,∴cos B===.
5.D 如图.∵O,G,H依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴=,∴=,=,A错误,B错误;
=+=+=+(-)=,C错误;
=+=+=+(-)=,D正确.
6.C 如图所示,以A为原点,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,3),
设P(x,y),可得=(-x,-y),=(1-x,3-y),=(1-x,-y),
则(+)·=(1-2x,3-2y)·(1-x,-y)=2+2-,当且仅当x=,y=时,(+)·取得最小值,为-.
7.C 如图,连接AD,过P作PM⊥AD于M,
设正六边形ABCDEF的边长为a,则AD=2a,易知∠BAD=∠FAD=,
则·=||·||·cos =a·2a·=a2,·=||·||·cos =a·2a·=a2,
因为=λ+μ,所以·=λ·+μ·=a2(λ+μ),
由于P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点,所以0≤AM≤AD=2a,
又·=||·||·cos∠PAD=||·||,
所以0≤·≤=4a2,即0≤a2(λ+μ)≤4a2,所以0≤λ+μ≤4,
故λ+μ的最大值为4.
8.C 在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,
则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,∴AC=DC=2百米.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,则∠EBC=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得=,∴BC===(百米).
在△ABC中,AC=2百米,BC=百米,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,∴AB=3百米,即A,B两点间的距离为3百米.
9.AB A选项,由a∥b,得y-(-2)×4=0,解得y=-8,A正确;
B选项,由a⊥b,得1×4-2y=0,解得y=2,故a+b=(1,-2)+(4,2)=(5,0),
故a在a+b上的投影向量为·=(1,0),B正确;
C选项,若a与a+b的夹角为锐角,则a·(a+b)>0,且a与a+b不同向共线,易得a+b=(1,-2)+(4,y)=(5,-2+y),
由a·(a+b)=(1,-2)·(5,-2+y)=5+4-2y>0,解得y<,
若a与a+b同向共线,则需满足-2+y-5×(-2)=0,且-2+y<0,解得y=-8,
故若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为(-∞,-8)∪,C错误;
D选项,若a,b的夹角为120°,则==-,
所以4y-8=·,整理得11y2-64y-16=0,
显然y=3不是此方程的解,D错误.
10.BCD 若a·b>0,则cos(π-C)>0,即cos C<0,即角C是钝角,
所以△ABC是钝角三角形,故A为假命题;
若a·b=0,则⊥,即BC⊥CA,所以△ABC为直角三角形,故B为真命题;
若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即·(-)=0,即·(+)=0,
取AC的中点D,则·=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,故C为真命题;
若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,
所以cos A==-cos A,所以cos A=0,即A=,所以△ABC为直角三角形,故D为真命题.
11.AB 对于A,=(-)2=+-2·=62+42-2×12=28,∴||=2,即BC=2,故A正确;
图1
对于B,由||=||=||,可知P为△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,如图1所示,
∵·=||·||·cos∠BAC=4×6×cos∠BAC=12,∴cos∠BAC=,又∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=,∴sin∠BAC=,由圆的性质知∠BPC=2∠BAC=,
在△ABC中,由正弦定理,得2PA===,
∴PA=,∴PB=PC=,∴S△PBC=||·||·sin∠BPC=×××=,故B正确;
对于C,由++=0,得++++=0,∴3=+,
等号两边平方,得9=(+)2=++2·=42+62+2×12=76,∴||=,故C错误;
对于D,
图2
易知,分别为,方向上的单位向量,分别用,表示,,
以AE,AF为邻边作平行四边形AEDF,则四边形AEDF为菱形,如图2所示,
∴AD平分∠BAC,且=λ=λ(+)=λ(λ∈R),故与共线,
∴P为△ABC的角平分线AM上一点,
由S△ABC=S△ABM+S△ACM,得||·||·sin∠BAC=||·||·sin∠BAM+||·||·sin∠CAM,
即×4×6×=×4×||×+×6×||×,解得||=,
又||==
=|λ|,∴|λ|≤,解得|λ|≤,即λ的最大值为,故D错误.
12.答案 5
解析 ∵a⊥b,∴1×(-3)+2×t=0,解得t=,∴b=,则a+2b=(-5,5),故|a+2b|==5.
13.答案 2
解析 过点O作OD⊥AC,垂足为D,如图,
因为O是△ABC外接圆的圆心,所以D为AC的中点,
则·-·=·=||||cos∠OCA=||·||=||2,
在△ABC中,由正弦定理得CA===2sin∠ABC≤2,当且仅当∠ABC=时等号成立,
则||2≤×4=2,所以·-·的最大值为2.
14.答案 ;
解析 设△ABC外接圆的半径为R,则R=4,
在△ABC中,易知==2R=8,即sin∠ACB=,
又由题意可知P为△ABC的垂心,即PA⊥BC,故∠PAC=-∠ACB,所以cos∠PAC=cos=sin∠ACB=.
设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β,则∠PAC=-β,∠PBA=-θ,∠PAB=-α,
由于AC∶AB∶BC=6∶5∶4,所以不妨设AC=6k,AB=5k,BC=4k,k>0,
在△ABC中,由余弦定理知,cos θ==,cos α==,cos β==,
设AD,CE,BF分别为△ABC的BC,AB,AC边上的高,由∠ECB+∠EBC=,∠PCD+∠CPD=,∠ECB=∠PCD,可得∠EBC=∠CPD,
则∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC,
所以在△APC中,===2R=8,
同理可得=8,=8,
所以PA+PB+PC=8(cos θ+cos α+cos β)=8×=.
15.解析 (1)=2a+b=(4,1),=a+mb=(2m+1,m),(3分)
∵A,B,C三点共线,∴∥,(5分)
∴4m-(2m+1)=0,解得m=.(7分)
(2)ka-b=(k-2,-1),a+2b=(5,2), (10分)
若ka-b与a+2b共线,则2(k-2)+5=0,解得k=-.(13分)
16.解析 (1)设△ABC的外接圆的半径为r,r>0,
则sin A=,sin B=,sin C=,(2分)
因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,
所以+-=·,所以b2+c2-a2=bc,(5分)
在△ABC中,由余弦定理可得cos A===,
又0(2)由题意及(1)可得a=,A=,
在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
则(b+c)2-3=a2+3bc-3=3bc≤3×,(9分)
所以(b+c)2≤12,所以0又b+c>a=,故2即△ABC的周长的取值范围为(2,3].(15分)
17.解析 (1)=++=a+b+=a+b+(++)=a+b+=a+b.(4分)
因为λ=,所以=++=-b+a+=-b+a+b=a-b.(6分)
(2)=++=-b+a+λ=-b+a+λb=a+(λ-1)b.(8分)
因为∠BAD=120°,|a|=2,|b|=4,
所以a·b=|a|·|b|cos 120°=2×4×=-4,(9分)
所以·=·=a2+a·b+(λ-1)b2=×22+×(-4)+(λ-1)×42=5λ-6,(13分)
因为0<λ<1,所以-6<5λ-6<-1,所以-6<·<-1,
故·的取值范围为(-6,-1).(15分)
18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,
在△RST中,由余弦定理知ST2=RS2+RT2-2RS·RTcos∠SRT=42+62-2×4×6×cos 60°=28,∴ST=2,(3分)
∴cos∠STR===.(5分)
∵∠PTS+∠STR=90°,∴sin∠PTS=cos∠STR=.(7分)
在△PST中,由正弦定理知=,即=,
∴SP=.
在Rt△SPR中,PR2=RS2+SP2=42+=,
∴PR=,∴点P到点R的距离为.(9分)
(2)由三角形面积公式知S△PMN=PM·PN·sin 120°=PM·PN.(12分)
又S△PMN=S△PRM+S△PRN=PM·RS+PN·RT
=PM×4+PN×6=2PM+3PN,
∴PM·PN=2PM+3PN≥2,∴PM·PN≥128,当且仅当2PM=3PN,即PM=8,PN=时,等号成立,(15分)
∴S△PMN=PM·PN≥×128=32,
故当PM=8时,三角形PMN的面积最小,最小面积为32.(17分)
19.解析 (1)由向量m=(sin B,a+c),n=(b-c,sin C-sin A),m⊥n,
可得m·n=(b-c)sin B+(a+c)(sin C-sin A)=0,(2分)
结合正弦定理可得b(b-c)+(a+c)(c-a)=0,即b2-bc+c2-a2=0,
所以在△ABC中,cos A==,又A∈(0,π),故A=.(4分)
(2)①证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),由a·b=|a||b|cos,得|a·b|≤|a||b|,即|x1x2+y1y2|≤·,两边平方得(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),故得证.(7分)
②易得T=++=++=++,
又S△MAB=cMD,S△MBC=aME,S△MAC=bMF,S△MAB+S△MBC+S△MAC=S△ABC,所以cMD+aME+bMF=2S△ABC,(9分)
根据三维分式型柯西不等式,可得T=++≥=,当且仅当==,即ME=4MD=4MF时,等号成立,(11分)
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即16=b2+c2-bc,
所以(b+c)2-16=3bc,即bc=,
则T≥=,(13分)
令t=b+c+16,则t>16,T≥==.
由可得4所以20令u=,y=240u2-32u+1,则u∈,
易知函数y=240u2-32u+1在R上的图象开口向上,对称轴方程为u=,则y=240u2-32u+1在上单调递减,
当u=,即t=24=b+c+16,即b=c=4时,ymax=,所以Tmin==24.(17分)
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第二章 平面向量及其应用
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.- B.-
C.+ D.+
2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=4,cos C=,则△ABC的周长为( )
A.9 B.10 C.12 D.14
3.已知|a|=|b|=1,|c|=,且a+b-c=0,则cos
A.- B.- C. D.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B=3∶5,c=2b-a,则cos B=( )
A. B.- C. D.
5.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,该直线被称为三角形的欧拉线.设点O,G,H分别为△ABC的外心、重心、垂心,则下列各式一定正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
6.已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形ABCD所在平面内一点,则(+)·的最小值是( )
A.- B.-
C.- D.-
7.在正六边形ABCDEF中,P是其内部以及边界上任意一点,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图,为了测量某湿地内A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的D,C,E三点.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2百米,CE=百米,则A,B两点间的距离为( )
A.百米 B.2百米 C.3百米 D.2百米
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知平面向量a=(1,-2),b=(4,y),则下列判断正确的是( )
A.若a∥b,则y=-8
B.若a⊥b,则a在a+b上的投影向量是(1,0)
C.若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为
D.若a,b的夹角为120°,则y=3
10.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有( )
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形
11.在△ABC中,AB=4,AC=6,·=12,P为△ABC内(包含边界)任意一点,则( )
A.BC=2
B.若||=||=||,则S△PBC=
C.若++=0,则||=
D.若=λ(λ∈R),则λ的最大值为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.已知向量a=(1,2),b=(-3,t),若a⊥b,则|a+2b|= .
13.已知△ABC中,AB=,∠ACB=,O是△ABC外接圆的圆心,则·-·的最大值为 .
14.某同学在学习和探索三角形的相关知识时,发现了一个有趣的性质:将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折,则三条圆弧交于该三角形内部一点,且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图,已知锐角△ABC外接圆的半径为4,且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=6,则cos∠PAC= ;若AC∶AB∶BC=6∶5∶4,则PA+PB+PC的值为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)若=2a+b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值;
(2)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C.
(1)求角A;
(2)若a=,求△ABC的周长的取值范围.
17.(15分)如图,在平面四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=2,AD=4,∠BAD=120°,E,F分别是AD,DC的中点,G为线段BC上一点,且=λ(λ∈R).设=a,=b.
(1)若λ=,用a,b表示向量和;
(2)若λ∈(0,1),求·的取值范围.
18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R处有一个路灯,经测量,点R到区域边界PA,PB的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M,N分别落在射线PA,射线PB上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计),供购买冷饮的人休息.
(1)求点P到点R的距离;
(2)为优化经营面积,当PM的长为多少时,三角形PMN的面积最小 并求出最小面积.
19.(17分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=(sin B,a+c),n=(b-c,sin C-sin A),且m⊥n.
(1)求A;
(2)著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决与不等式证明有关的问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式:(x1x2+y1y2)2≤(+)(+);
②已知三维分式型柯西不等式:y1,y2,y3均为正实数,则++≥,当且仅当==时,等号成立.若a=4,M是△ABC内一点,过M作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F,求T=++的最小值.
答案全解全析
1.B ∵AD为BC边上的中线,∴=(+),
又∵E为AD的中点,∴=+=+=(+)+(-)=-.
2.B 在△ABC中,由余弦定理得cos C=,
∵a=2,b=4,cos C=,∴=,
∴c2=16,解得c=4(负值舍去),∴△ABC的周长为2+4+4=10.
3.D 因为a+b-c=0,所以b=c-a,即a2+c2-2a·c=b2,即1+3-2a·c=1,所以a·c=|a|·|c|cos
4.A ∵sin A∶sin B=3∶5,∴由正弦定理可得=,可得a=b,∴c=2b-a=b,∴cos B===.
5.D 如图.∵O,G,H依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴=,∴=,=,A错误,B错误;
=+=+=+(-)=,C错误;
=+=+=+(-)=,D正确.
6.C 如图所示,以A为原点,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,3),
设P(x,y),可得=(-x,-y),=(1-x,3-y),=(1-x,-y),
则(+)·=(1-2x,3-2y)·(1-x,-y)=2+2-,当且仅当x=,y=时,(+)·取得最小值,为-.
7.C 如图,连接AD,过P作PM⊥AD于M,
设正六边形ABCDEF的边长为a,则AD=2a,易知∠BAD=∠FAD=,
则·=||·||·cos =a·2a·=a2,·=||·||·cos =a·2a·=a2,
因为=λ+μ,所以·=λ·+μ·=a2(λ+μ),
由于P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点,所以0≤AM≤AD=2a,
又·=||·||·cos∠PAD=||·||,
所以0≤·≤=4a2,即0≤a2(λ+μ)≤4a2,所以0≤λ+μ≤4,
故λ+μ的最大值为4.
8.C 在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,
则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,∴AC=DC=2百米.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,则∠EBC=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得=,∴BC===(百米).
在△ABC中,AC=2百米,BC=百米,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,∴AB=3百米,即A,B两点间的距离为3百米.
9.AB A选项,由a∥b,得y-(-2)×4=0,解得y=-8,A正确;
B选项,由a⊥b,得1×4-2y=0,解得y=2,故a+b=(1,-2)+(4,2)=(5,0),
故a在a+b上的投影向量为·=(1,0),B正确;
C选项,若a与a+b的夹角为锐角,则a·(a+b)>0,且a与a+b不同向共线,易得a+b=(1,-2)+(4,y)=(5,-2+y),
由a·(a+b)=(1,-2)·(5,-2+y)=5+4-2y>0,解得y<,
若a与a+b同向共线,则需满足-2+y-5×(-2)=0,且-2+y<0,解得y=-8,
故若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为(-∞,-8)∪,C错误;
D选项,若a,b的夹角为120°,则==-,
所以4y-8=·,整理得11y2-64y-16=0,
显然y=3不是此方程的解,D错误.
10.BCD 若a·b>0,则cos(π-C)>0,即cos C<0,即角C是钝角,
所以△ABC是钝角三角形,故A为假命题;
若a·b=0,则⊥,即BC⊥CA,所以△ABC为直角三角形,故B为真命题;
若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即·(-)=0,即·(+)=0,
取AC的中点D,则·=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,故C为真命题;
若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,
所以cos A==-cos A,所以cos A=0,即A=,所以△ABC为直角三角形,故D为真命题.
11.AB 对于A,=(-)2=+-2·=62+42-2×12=28,∴||=2,即BC=2,故A正确;
图1
对于B,由||=||=||,可知P为△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,如图1所示,
∵·=||·||·cos∠BAC=4×6×cos∠BAC=12,∴cos∠BAC=,又∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=,∴sin∠BAC=,由圆的性质知∠BPC=2∠BAC=,
在△ABC中,由正弦定理,得2PA===,
∴PA=,∴PB=PC=,∴S△PBC=||·||·sin∠BPC=×××=,故B正确;
对于C,由++=0,得++++=0,∴3=+,
等号两边平方,得9=(+)2=++2·=42+62+2×12=76,∴||=,故C错误;
对于D,
图2
易知,分别为,方向上的单位向量,分别用,表示,,
以AE,AF为邻边作平行四边形AEDF,则四边形AEDF为菱形,如图2所示,
∴AD平分∠BAC,且=λ=λ(+)=λ(λ∈R),故与共线,
∴P为△ABC的角平分线AM上一点,
由S△ABC=S△ABM+S△ACM,得||·||·sin∠BAC=||·||·sin∠BAM+||·||·sin∠CAM,
即×4×6×=×4×||×+×6×||×,解得||=,
又||==
=|λ|,∴|λ|≤,解得|λ|≤,即λ的最大值为,故D错误.
12.答案 5
解析 ∵a⊥b,∴1×(-3)+2×t=0,解得t=,∴b=,则a+2b=(-5,5),故|a+2b|==5.
13.答案 2
解析 过点O作OD⊥AC,垂足为D,如图,
因为O是△ABC外接圆的圆心,所以D为AC的中点,
则·-·=·=||||cos∠OCA=||·||=||2,
在△ABC中,由正弦定理得CA===2sin∠ABC≤2,当且仅当∠ABC=时等号成立,
则||2≤×4=2,所以·-·的最大值为2.
14.答案 ;
解析 设△ABC外接圆的半径为R,则R=4,
在△ABC中,易知==2R=8,即sin∠ACB=,
又由题意可知P为△ABC的垂心,即PA⊥BC,故∠PAC=-∠ACB,所以cos∠PAC=cos=sin∠ACB=.
设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β,则∠PAC=-β,∠PBA=-θ,∠PAB=-α,
由于AC∶AB∶BC=6∶5∶4,所以不妨设AC=6k,AB=5k,BC=4k,k>0,
在△ABC中,由余弦定理知,cos θ==,cos α==,cos β==,
设AD,CE,BF分别为△ABC的BC,AB,AC边上的高,由∠ECB+∠EBC=,∠PCD+∠CPD=,∠ECB=∠PCD,可得∠EBC=∠CPD,
则∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC,
所以在△APC中,===2R=8,
同理可得=8,=8,
所以PA+PB+PC=8(cos θ+cos α+cos β)=8×=.
15.解析 (1)=2a+b=(4,1),=a+mb=(2m+1,m),(3分)
∵A,B,C三点共线,∴∥,(5分)
∴4m-(2m+1)=0,解得m=.(7分)
(2)ka-b=(k-2,-1),a+2b=(5,2), (10分)
若ka-b与a+2b共线,则2(k-2)+5=0,解得k=-.(13分)
16.解析 (1)设△ABC的外接圆的半径为r,r>0,
则sin A=,sin B=,sin C=,(2分)
因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,
所以+-=·,所以b2+c2-a2=bc,(5分)
在△ABC中,由余弦定理可得cos A===,
又0
在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
则(b+c)2-3=a2+3bc-3=3bc≤3×,(9分)
所以(b+c)2≤12,所以0
17.解析 (1)=++=a+b+=a+b+(++)=a+b+=a+b.(4分)
因为λ=,所以=++=-b+a+=-b+a+b=a-b.(6分)
(2)=++=-b+a+λ=-b+a+λb=a+(λ-1)b.(8分)
因为∠BAD=120°,|a|=2,|b|=4,
所以a·b=|a|·|b|cos 120°=2×4×=-4,(9分)
所以·=·=a2+a·b+(λ-1)b2=×22+×(-4)+(λ-1)×42=5λ-6,(13分)
因为0<λ<1,所以-6<5λ-6<-1,所以-6<·<-1,
故·的取值范围为(-6,-1).(15分)
18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,
在△RST中,由余弦定理知ST2=RS2+RT2-2RS·RTcos∠SRT=42+62-2×4×6×cos 60°=28,∴ST=2,(3分)
∴cos∠STR===.(5分)
∵∠PTS+∠STR=90°,∴sin∠PTS=cos∠STR=.(7分)
在△PST中,由正弦定理知=,即=,
∴SP=.
在Rt△SPR中,PR2=RS2+SP2=42+=,
∴PR=,∴点P到点R的距离为.(9分)
(2)由三角形面积公式知S△PMN=PM·PN·sin 120°=PM·PN.(12分)
又S△PMN=S△PRM+S△PRN=PM·RS+PN·RT
=PM×4+PN×6=2PM+3PN,
∴PM·PN=2PM+3PN≥2,∴PM·PN≥128,当且仅当2PM=3PN,即PM=8,PN=时,等号成立,(15分)
∴S△PMN=PM·PN≥×128=32,
故当PM=8时,三角形PMN的面积最小,最小面积为32.(17分)
19.解析 (1)由向量m=(sin B,a+c),n=(b-c,sin C-sin A),m⊥n,
可得m·n=(b-c)sin B+(a+c)(sin C-sin A)=0,(2分)
结合正弦定理可得b(b-c)+(a+c)(c-a)=0,即b2-bc+c2-a2=0,
所以在△ABC中,cos A==,又A∈(0,π),故A=.(4分)
(2)①证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),由a·b=|a||b|cos
②易得T=++=++=++,
又S△MAB=cMD,S△MBC=aME,S△MAC=bMF,S△MAB+S△MBC+S△MAC=S△ABC,所以cMD+aME+bMF=2S△ABC,(9分)
根据三维分式型柯西不等式,可得T=++≥=,当且仅当==,即ME=4MD=4MF时,等号成立,(11分)
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即16=b2+c2-bc,
所以(b+c)2-16=3bc,即bc=,
则T≥=,(13分)
令t=b+c+16,则t>16,T≥==.
由可得4
易知函数y=240u2-32u+1在R上的图象开口向上,对称轴方程为u=,则y=240u2-32u+1在上单调递减,
当u=,即t=24=b+c+16,即b=c=4时,ymax=,所以Tmin==24.(17分)
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同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识