第六章　立体几何初步 §2　直观图--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§2　直观图
基础过关练
题组一　水平放置的平面图形的直观图画法
1.(多选题)(2025陕西安康期中)下列关于平面图形直观图的斜二测画法,说法正确的是(　　)
A.原图形中平行于x轴、y轴的线段,其对应线段平行于x'轴、y'轴,长度变为原来的
B.画与平面直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
C.在原图形中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行
D.在画直观图时,选的轴不同,所得直观图可能不同
2.(2024上海七宝中学开学考试)如图所示,在水平放置的△ABC的直观图中,A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,由图形可知在△ABC中,下列四个结论中正确的是(　　)
A.AB=BC=AC　　B.AD⊥BC
C.AC>AD>AB　　D.AC>AD>AB=BC
3.画出如图所示的水平放置的直角梯形的直观图.
题组二　空间几何体的直观图
4.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例尺画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5.画出一个三棱台,其上、下底面分别是边长为1 cm,2 cm的正三角形,高为2 cm.
题组三　平面图形的直观图的有关计算
6.(2025山东淄博第五中学期中)在如图所示的正方形ABCO中,点B的坐标为(2,2),则在由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图A'B'C'O'中,顶点B'到x'轴的距离为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
7.(2025江西景德镇期末质量检测)如图,矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图,其中O'A'=3,O'C'=1,则平面四边形OABC的周长为(　　)
A.14　　B.12　　C.10　　D.8
8.(2025山西部分学校期中测评)若用斜二测画法画得的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为2的正三角形,如图所示,则△ABC的面积为　　　　.
答案与分层梯度式解析
§2　直观图
基础过关练
1.CD 2.C 4.C 6.B 7.B
1.CD　根据斜二测画法的规则可知,平行于x轴或在x轴上的线段,其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段,其长度在直观图中变为原来的,并且∠x'O'y'为45°或135°,所以A,B错误;在原图中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行,且选的轴不同时得到的直观图可能不同,所以C,D正确.
2.C　根据斜二测画法,把直观图中的△A1B1C1还原成原图形,如图所示:
△ABC为直角三角形,AB⊥BC,且AB=2BC,AC>AD>AB.
3.解析　(1)在直角梯形OBCD中,以OB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图①.
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向截取D'C',使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.
(3)四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
4.C　按比例尺缩小后,长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别变为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,故在直观图中,对应的尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
5.解析　(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,∠yOz=90°.
(2)画下底面.以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB=2 cm,在y轴上取线段OC,使OC= cm.连接BC,CA,则△ABC确定的面为下底面的直观图.
(3)画上底面.在z轴上取OO',使OO'=2 cm,过点O'作O'x'∥Ox,O'y'∥Oy,建立坐标系x'O'y'.在坐标系x'O'y'中,重复步骤(2)中的画法得上底面的直观图对应的图形△A'B'C'.
(4)连线成图.连接AA',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC-A'B'C'即为要画的三棱台的直观图(如图②所示).
6.B　正方形ABCO的直观图如图中A'B'C'O'所示,
则O'A'=B'C'=1,∠A'O'C'=45°,所以顶点B'到x'轴的距离为1×
sin 45°=.
7.B　由直观图可知,O'C'=C'D'=1,则O'D'=,
将直观图还原,得平行四边形OABC,如图所示,
则OD=2,CD=1,OA=3,所以OC==3,
所以平行四边形OABC为菱形,其周长为3×4=12.
8.答案　2
解析　解法一:如图,过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M',过点C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',M',D'在△ABC中对应M,D,
则C'D'=,又∠C'M'D'=45°,所以C'M'=,
所以△ABC的高为CM=2,底边长为AB=2,则△ABC的面积S=·AB·CM=×2×2=2.
解法二:由斜二测画法原理可得=,即==,得S△ABC=2.
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