第六章　立体几何初步 1.1　构成空间几何体的基本元素1.2　棱柱、棱锥和棱台--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基础过关练
题组一　空间几何体的基本元素
1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是　(　　)
A.点　　
B.线
C.曲面　　
D.多边形(不包括内部的点)
2.在第24届冬奥会上,中国代表队创造了历史最好成绩,首都北京也成为第一座“双奥之城”.如图所示,坐落于北京的国家游泳中心(又称“水立方”)是中国健儿为国争光的地方,“水立方”可以抽象出的几何体是(　　)
A.圆柱　　B.四棱锥　　
C.四棱台　　D.长方体
题组二　棱柱的结构特征
3.(2025江苏南通海安期中学业质量监测)下列命题中错误的是(　　)
A.棱柱的侧面一定是平行四边形
B.一个棱柱至少有5个面
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体是直四棱柱,正四棱柱是平行六面体
4.(2023四川眉山月考)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)
　　　　　　
5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,请说明是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
题组三　棱锥的结构特征
6.(2025福建福州闽侯六中期中质量检测)下列说法中,正确的是(　　)
A.正六棱锥的侧面都是正三角形
B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥
C.任意n面体都可以分割成n个棱锥
D.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
7.(2024河北邢台期中)在四面体D-ABC中,已知底面ABC为正三角形,则“三棱锥D-ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的(　　)
A.充要条件　　
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件　　
D.既不充分也不必要条件
8.(2023安徽淮北一模)如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,沿面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是(　　)
A.三棱锥　　B.四棱锥　　
C.三棱柱　　D.组合体
题组四　棱台的结构特征
9.(2024海南海口开学考试)棱台不具备的特点是(　　)
A.两底面相似　　B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等　　D.侧棱延长后交于一点
10.一个棱台至少有　　　个面,面数最少的棱台有　　　个顶点,有　　　条棱.
11.下列空间图形是棱台的为　　　　.(填序号)
题组五　多面体中的有关计算
12.(2023河南新乡模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面的周长为(　　)
A.3+2　　
B.2++3　　
C.　　
D.2+2
13.(2024天津重点校期中联考)已知一个正三棱锥的侧棱长为3,其底面是边长为的等边三角形,则此正三棱锥的高为　　　　.
14.(2025上海奉贤中学期中)如图1,西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑,可视为一个正四棱台,现有一个揽月阁模型,如图2,其下底面边长为4,上底面边长为2,侧棱长为,则该模型的高为　　　　.
　
15.(2024辽宁抚顺德才高级中学月考)如图,已知四棱锥V-ABCD的底面是面积为16的正方形,侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为6.
(1)求四棱锥V-ABCD的高;
(2)求四棱锥V-ABCD的斜高.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基础过关练
1.D 2.D 3.C 4.A 6.C 7.C 8.B 9.C
12.A
1.D　
2.D
3.C　对于A,根据棱柱的定义,可得棱柱的侧面一定是平行四边形,故A中说法正确;对于B,棱柱的底面至少有3条边,所以一个棱柱至少有5个面,故B中说法正确;对于C,斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形,故C中说法错误;对于D,易知长方体的侧棱和底面垂直,所以是直四棱柱,而正四棱柱的底面是正方形,所以正四棱柱是平行六面体,故D中说法正确.
4.A　无论沿正方体的哪条棱剪开,相邻面在展开图中可以不相邻,未剪开的相邻面在展开图中一定相邻,又正方体对面图案均相同,所以展开后相同图案绝不会相邻.
5.解析　(1)是棱柱,是四棱柱,因为长方体有相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义,又底面是四边形,所以长方体是四棱柱.
(2)是.截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
6.C　A中,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故A错误;B中,没有强调这些三角形有一个公共顶点,故B错误;C中,对于任意n面体,在其内部任取一点P,则以P为顶点,以n面体的n个面为底面即可构成n个棱锥,故C正确;D中,各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,故D错误.
7.C　正三棱锥的底面为正三角形,侧面为全等的等腰三角形,故充分性成立;
当△ABD与△BCD均为等腰三角形,但不全等时,如AB=BC=AC=CD=2,AD=BD=3,此时三棱锥不是正三棱锥,必要性不成立,故为充分不必要条件.
8.B　截去三棱锥后剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'.
9.C　因为棱锥的侧棱不一定相等,所以截得的棱台的侧棱也不一定相等.
10.答案　5;6;9
解析　面数最少的棱台为三棱台,它有5个面,6个顶点,9条棱.
11.答案　③
解析　由棱台的定义知,棱台的上、下底面平行,且侧棱的延长线能交于一点.
①中,侧棱延长后不能交于一点;②中,上、下底面不平行;③符合棱台的结构特征.
12.A　取BC的中点F,连接AF,EF,图略,
则四边形AFED1为截面四边形,
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
所以EF==,D1E=AF==,AD1==2,
所以四边形AFED1的周长为3+2.
13.答案　2
解析　如图,在正三棱锥P-ABC中,PA=3,AB=,
由正三棱锥的性质可知,顶点P在底面内的射影为正三角形ABC的中心,记为O,
取BC的中点D,连接AD,
则AO=AD=AB·sin 60°=××=1,
所以PO===2.
14.答案　
解析　在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1=,
连接AC,A1C1,得AC=8,A1C1=4,
过A1作A1G⊥AC,过C1作C1H⊥AC,垂足分别为G,H,如图,
则GH=A1C1=4,AG=HC=2,
在Rt△AA1G中,A1G===,
所以此正四棱台的高为,即该模型的高为.
15.解析　(1)由于四棱锥V-ABCD的侧面是全等的等腰三角形,底面为正方形,故该四棱锥是正四棱锥,
如图,连接AC,BD,交于点O,连接VO,
则VO为正四棱锥的高,△VCO为直角三角形,且VO⊥AC,易知正方形ABCD的边长为4,则AC=4,所以OC=2,所以VO==8,
故四棱锥V-ABCD的高为8.
(2)由于正四棱锥的侧面是等腰三角形,
故四棱锥V-ABCD的斜高为=2.
方法技巧
　　在正棱锥的计算问题中要善于应用由高、斜高、斜高在底面上的投影构成的直角三角形和由高、侧棱、侧棱在底面上的投影构成的直角三角形解题.
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