第六章　立体几何初步 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
基础过关练
题组一　球的结构特征
1.(2025河北沧州四县期中联考)构成空间几何体的基本元素有点、线、面,下列含有这些元素最少的几何体是(　　)
A.圆柱　　B.圆锥
C.球　　D.圆台
2.(多选题)(2025陕西渭南期中质量检测)下列叙述正确的是(　　)
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球的直径是球面上任意两点间的连线
C.用一个平面截一个球,得到的是一个圆
D.不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径
题组二　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
3.(2024上海奉贤四校期中联考)下列说法正确的是(　　)
A.分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴旋转一周得到的两个圆柱是不同的圆柱
B.以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是圆台
C.一个几何体上、下两个面是全等的圆面,那么它一定是一个圆柱
D.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是圆锥
4.(2025广东实验中学期中)下列说法中,正确的是(　　)
A.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
B.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
C.用一个平面去截圆柱,截面一定是圆
D.过圆锥顶点的截面中,轴截面的面积最大
题组三　简单组合体
5.(2024安徽皖北名校联考)如图所示的几何体是某竞赛的奖杯模型,该几何体由(　　)
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长方体、一个棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
6.(2023辽宁部分学校期末)若正五边形ABCDE的中心为O,以AO所在直线为轴旋转一周形成一个几何体,则该几何体是(　　)
A.圆台
B.由圆台和圆锥组合而成的几何体
C.圆柱
D.由圆柱和圆锥组合而成的几何体
7.(2025北京中关村中学期中)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是　　　　.(填序号)
8.如图,在五边形ABCDE中,AB⊥AE,CD∥AE,∠AED<90°,∠ABC>90°,将五边形ABCDE绕AE所在直线旋转一周,能形成怎样的几何体
题组四　旋转体中的计算问题
9.(2025山东枣庄期中)已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形,则该圆锥的母线长为(　　)
A.6　　B.12　　C.3　　D.2
10.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°,SA=2,SB=4,则该圆台的高为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.4
11.(2025广东惠州调研考试)已知“水滴”的表面由圆锥的侧面和部分球面(常称为“球冠”)所围成.如图所示,将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形,其中点B,C所在直线与水平面平行,AB和AC与圆弧BC相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为,则sin∠BAC=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
12.(2024山东枣庄滕州第一中学月考)已知球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,球O的半径为10,则这两个平行截面之间的距离为　　　　.
13.(2025贵州六盘水期中质量监测)已知M,E,F均为圆柱O1O2表面上的动点,直线EF经过圆柱O1O2的中心O,O1O2=24,圆柱O1O2的底面圆的半径为5,则·的最大值为　　　　.
14.(教材习题改编)一个圆台的母线长为13 cm,两底面面积分别为16π cm2和81π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
答案与分层梯度式解析
1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
基础过关练
1.C 2.AD 3.A 4.B 5.B 6.B 9.A 10.C
11.D
1.C　
2.AD　易知A正确;球的直径一定过球心,故B不正确;用平面截球,得到的是一个圆面,而不是一个圆,故C不正确;过球心的截面是半径最大的截面,且截面的半径就是球的半径,故D正确.
3.A　对于A,分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴旋转一周得到的两个圆柱的底面和高均不同,是两个不同的圆柱,故A正确;对于B,以垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转一周才能得到圆台,故B不正确;对于C,两个相同的圆台倒扣在一起,这个几何体的上、下两个面是全等的圆面,但该几何体不是圆柱,故C不正确;对于D,只有以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体才是圆锥,故D不正确.
方法总结
　　判断简单旋转体结构特征的方法:(1)明确其可由哪个平面图形旋转而成;(2)明确旋转轴是哪条直线.
4.B　圆台可看成由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,圆台的母线可看成由此平面截圆锥的母线得到的,由圆锥母线的定义可知A错误;
因为圆柱的母线都平行于旋转轴,所以圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故B正确;
用一个平行于底面的平面去截圆柱,截面一定是圆,用一个不平行于底面的平面去截圆柱,得到的截面不是圆,故C错误;
过圆锥顶点的截面中,是不是轴截面的面积最大,取决于截面等腰三角形的顶角是否小于或等于90°,故D错误.
5.B　
6.B　由题意可知旋转后形成如图所示的几何体,
该几何体是由圆台和圆锥组合而成的几何体.
7.答案　①④
解析　当截面过底面直径时,截面如题图①;当截面不过底面直径时,截面如题图④.
8.解析　过点C,D作AE的垂线,垂足分别为F,G,则四边形ABCF是一个直角梯形,四边形CDGF是一个矩形,△DEG是一个直角三角形,所以五边形ABCDE绕AE所在直线旋转一周后,得到如图所示的几何体,它是圆台、圆柱、圆锥的组合体.
9.A　设圆锥的母线长为l,侧面展开图的圆心角为α,
则α=60°=,
因为圆锥的侧面展开图为扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,
所以αl=2π×1,即×l=2π,所以l=6.
10.C　在圆锥SO1中,2π·O1A=×2π·SA=2π,所以O1A=1,
在圆锥SO中,2π·OB=×2π·SB=4π,所以OB=2,
所以该圆台的高为===.
11.D　设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,如图所示.
易知“水滴”的“竖直高度”为OA+R,“水平宽度”为2R,由题意知=,解得OA=R,
因为AB与圆弧BC相切于点B,所以OB⊥AB,
在Rt△ABO中,sin∠BAO===,
又∠BAO∈,
所以cos∠BAO==,
由对称性知,∠BAO=∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,
所以sin∠BAC=sin 2∠BAO=2sin∠BAOcos∠BAO=2××=.
12.答案　1或17
解析　因为球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,所以这两个平行截面的半径分别为和6,
则球心到两个平行截面的距离分别为=9,=8.
当两个平行截面在球心O的同侧时,如图1所示,
则这两个平行截面之间的距离为O1O2=9-8=1;
当两个平行截面在球心O的两侧时,如图2所示,
则这两个平行截面之间的距离为O1O2=9+8=17.
故这两个平行截面之间的距离为1或17.
　　
13.答案　144
解析　·=(+)·(+)=(+)·(-)=-.
不妨设上、下底面圆的圆心分别为O2,O1,如图,
因为O为圆柱O1O2的中心,且M,E,F均为圆柱O1O2表面上的动点,O1O2=24,底面圆的半径为5,
所以≤52+122=169,当且仅当点M在底面圆周上时,等号成立,
同理,≥52=25,当且仅当点E在过O且与底面平行的圆周上时,等号成立,
可得·=-≤169-25=144,所以·的最大值为144.
14.解析　(1)设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示,易知上底面圆的半径O1A=4 cm,下底面圆的半径OB=9 cm,腰长AB=13 cm,所以圆台的高AM==12(cm).
(2)延长BA,OO1,CD,交于点S,
设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,则由△SAO1∽△SBO,得=,即=,解得l=,所以截得此圆台的圆锥的母线长为 cm.
方法总结
　　解决与圆台相关的计算问题主要有两种策略:一是作出轴截面,将空间图形平面化,再利用平面几何知识求解;二是还台为锥,即构造相应的圆锥,借助圆锥进行求解.
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