第六章　立体几何初步 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2 第1课时　基本事实1~3--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第二册
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
题组一　点、直线、平面之间的位置关系的三种语言转换
1.(2025浙江温州新力量联盟期中联考)“平面α内有一条直线l,则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是(　　)
A. A α　　B. A α
C. A∈α　　D. A∈α
2.如图所示,下列用符号语言表述正确的是(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
题组二　基本事实1,2,3的应用
3.(2024海南中学期中)有下列四个判断:①两条相交直线确定一个平面;②两条平行直线确定一个平面;③三个点确定一个平面;④一条直线和一点确定一个平面.正确判断的个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.(2025浙江嘉兴八校期中联考)下列说法正确的是(　　)
A.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B.四边形可以确定一个平面
C.经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个
D.圆心和圆上两点可确定一个平面
5.(多选题)(2025广东广州第二中学期中)下列说法正确的是(　　)
A.若一条直线上有无数个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内
B.若A,B,C三点既在平面α内,又在平面β内,则平面α与β重合
C.△ABC在平面α外,其三边所在直线分别和α交于点P,Q,R,则P,Q,R一定共线
D.若平面α与平面β交于直线l,直线m在平面α内,且与平面β交于点A,则点A在直线l上
6.已知平面α与平面β,γ分别相交,则这三个平面的交线有(　　)
A.1条或2条　　B.2条或3条
C.1条或3条　　D.1条或2条或3条
7.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　)
A.点A　　B.点B
C.点C但不过点M　　D.点C和点M
8.(2025河北邢台卓越联盟期中)如图,在四棱锥E-ABCD中,点G在正方形ABCD内,点F在棱BE上,若DF与EG相交,则下列说法一定正确的是(　　)
A.点G在AC上
B.BG=GD
C.AG=GD
D.直线EB,GD交于点B
题组三　共点、共线、共面问题
9.(2025重庆第十八中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AB共面且与CC1共面的棱的条数为(　　)
A.4　　B.5　　C.7　　D.8
10.(多选题)(2024山西大同第一中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线　　
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面　　
D.B,B1,O,M四点共面
11.已知三条直线a,b,c互相平行,且分别与l相交于A,B,C三点.证明:四条直线a,b,c,l必共面.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1,AA1的中点.
(1)画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由;
(2)设H为直线B1D与平面BED1F的交点,求证:B,H,D1三点共线.
13.(2025福建福州闽侯第六中学期中质量检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)如图1,若AC∩BD=O,A1C∩平面BDC1=E,求证:C1,E,O三点共线;
(2)M,N分别为AB,C1D1的中点,P,Q分别为BC,CC1的一个三等分点(都靠近C点).
①如图2,求证:AP,DC,D1Q三线共点;
②过M,N,Q三点作该正方体的截面,在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由,但要保留作图痕迹).
　
答案与分层梯度式解析
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
1.C 2.A 3.B 4.A 5.ACD 6.D 7.D 8.D
9.B 10.ABC
1.C　
2.A　
3.B　两条相交直线和两条平行直线均能确定一个平面,①②正确;在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误;直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确判断的个数为2.
4.A　对于A,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,因为三个交点不在一条直线上,所以有且只有一个平面,A正确;
对于B,四边形包括平面四边形和空间四边形,空间四边形不能确定一个平面,B错误;
对于C,经过同一直线上的3个点的平面有无数个,C错误;
对于D,如果圆上两点是直径的两个端点,此时三点共线,不能确定一个平面,故D错误.
5.ACD　对于A,由基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,知A正确;
对于B,当A,B,C三点在同一条直线上时,平面α与β可以不重合,故B错误;
对于C,易知△ABC所在平面与平面α相交,由基本事实3知,公共点P,Q,R都在交线上,即P,Q,R一定共线,故C正确;
对于D,由直线m在平面α内,且与平面β交于点A可知点A既在平面α内,又在平面β内,则点A在平面α与平面β的交线l上,故D正确.
6.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.
7.D　对于A,B,易得A,B β,故A,B不在γ与β的交线上,故A,B错误;
对于C,D,因为过A,B,C三点的平面记作γ,所以AB 平面γ,C∈γ.因为直线AB∩l=M,所以M∈AB,则M∈γ,又C∈γ,所以MC γ.
因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l β,又C∈β,所以MC β,所以β∩γ=MC,
故γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确.
8.D　因为DF与EG相交,所以E,F,G,D四点共面,
又点B在EF上,所以点B在平面EFGD上,
所以平面EFGD∩平面ABCD=BD,
所以直线EB,GD交于点B,故D正确.
又G可为BD上任意一点,所以A,B,C错误.
9.B　AB与CC1不共面,因此正方体中没有同时与这两条棱平行的棱;
与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1;
与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;
与AB相交且与CC1相交的棱有BC,
所以满足条件的棱共有5条.
10.ABC　连接A1C1,AC,AO,因为O为B1D1的中点,所以A1C1∩B1D1=O,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AO,
因为A1C∩平面AB1D1=M,A1C 平面AA1C1C,所以点M在平面AA1C1C和平面AB1D1的交线上,
即M∈AO,A,M,O三点共线,故A正确;
因为A,M,O三点共线,所以A,M,O,A1四点共面,A,M,O,C四点共面,故B,C正确;
取AC的中点O1,连接OO1,交A1C于点E,则E为A1C的中点,易得△A1OM∽△CAM,
所以==,即M为A1C上靠近A1的三等分点,连接BD,因为平面BB1D1D∩A1C=E,所以点M 平面BB1D1D,因为O,B1,B不共线,O,B1,B∈平面BB1D1D,所以B,B1,O,M四点不共面,故D错误.
11.证明　证法一(平面重合法):∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,
又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l α,
同理b,c确定平面β,且l β.
又b∩l=B,∴b与l确定一个平面γ.
∴α,β,γ共有两相交直线b,l,从而α,β,γ为同一平面,∴a,b,c,l四线共面.
证法二(反证法):∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,
又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l α.
假设c α,过点C在平面α内作c'∥b,则c∩c'=C,
又c∥b,∴c'∥c,这与c∩c'=C矛盾,∴c α,
∴a,b,c,l四线共面.
方法总结
证明共面问题常用的三种方法
(1)纳入平面法:先用部分点、线确定一个平面,再证明其余点、线在此平面内;
(2)辅助平面法(平面重合法):分别用部分点、线确定两个(或多个)平面,再证明这些平面重合;
(3)反证法.
12.解析　(1)如图所示,延长D1F交DA的延长线于点P,连接PB,则直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
理由如下:∵P∈AD,P∈D1F,DA 平面ABCD,D1F 平面BED1F,
∴P∈平面ABCD,P∈平面BED1F,
即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
∴直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.
(2)证明:连接BD,B1D1,
∵BB1 DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形.
∵H为直线B1D与平面BED1F的交点,∴H∈B1D,
又∵B1D 平面BB1D1D,∴H∈平面BB1D1D,
又∵H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1,∴H∈BD1,∴B,H,D1三点共线.
13.解析　(1)证明:如图,连接A1C1,
∵C1∈平面A1ACC1,且C1∈平面BDC1,
∴C1是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点,
∵AC∩BD=O,O∈AC,AC 平面A1ACC1,O∈BD,BD 平面BDC1,∴O是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点,
∴平面A1ACC1∩平面BDC1=OC1,
又A1C∩平面BDC1=E,E∈A1C,A1C 平面A1ACC1,E∈平面BDC1,∴E是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点,
∴E∈OC1,即C1,E,O三点共线.
(2)①证明:如图,分别延长AP,DC交于点R,连接D1R,
∵R∈直线DC,DC 平面ABCD,
∴R∈平面ABCD,
又PC=AD,BC∥AD,
∴CR=DR,
又D1D∥C1C,∴D1R与C1C的交点为C1C上靠近点C的一个三等分点,即点Q,
∴AP,DC,D1Q三线共点.
②如图,该正方体过M,N,Q三点的截面即为六边形MPONTS.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)