第六章　立体几何初步 4.2 平面与平面平行--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
4.2　平面与平面平行
基础过关练
题组一　平面与平面平行的性质
1.(2024山东省实验中学月考)设α,β,γ是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“l∥m”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024福建南平三检)如图,在正四面体A-BCD中,P为棱AD的中点,过点A的平面α与平面PBC平行,平面α∩平面ABD=m,平面α∩平面ACD=n,则m,n夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
3.(2025山东济宁微山第二中学质量检测)如图所示,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外一点,且直线PB分别与α,β交于点A,B,直线PD分别与α,β交于点C,D,若PA=6,AB=2,BD=12,则AC=　　　　.
4.(2023四川仁寿文宫中学月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则MN与AC的数量关系是　　　.
5.(2025江西上饶中学月考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,Q为BB1的中点,过A1,Q,D三点的平面记为α,平面α与平面A1B1C1D1的交线记为l.求证:l∥CD.
6.(2024江西五校联考)在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD∥BC,AD⊥AB,AC与BD交于点O,过点O作平行于平面PAB的平面α.若平面α分别交PC,BC于点E,F,求△OEF的周长.
题组二　平面与平面平行的判定
7.(2025河北唐山滦南期中)平面α与平面β平行的充分条件是(　　)
A.平面α内的任意一条直线都与平面β平行
B.直线n∥平面α,直线n∥平面β
C.直线a 平面α,直线b 平面β,且直线a∥平面β,直线b∥平面α
D.平面α内有无数条直线都与平面β平行
8.(2025江西景德镇质检)设m,n表示两条不重合的直线,α,β表示两个不重合的平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若m α,n β,m∥n,则α∥β
B.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若m α,n β,α∥β,则m∥n
D.若存在一对异面直线m,n,m α,n β,m∥β,n∥α,则α∥β
9.(2023黑龙江哈尔滨期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,R,Q,M,N,G,H均为所在棱的中点,则阴影平面与平面PQR平行的是(　　)
　　
　　
10.(2025山东济南平阴一中期中)如图,在四棱锥P-ABCE中,四边形ABCE是梯形,AB∥CE,且AB=3CE,点F在棱PA上,且EF∥平面PBC,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别为A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为　　(　　)
A.　　B.2　　C.2　　D.4
12.(2025江西景德镇乐平中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,A1B1,AA1的中点.
(1)求证:平面A1DC∥平面BEC1;
(2)求证:在BB1上存在一点P,使得平面EC1P∥平面DCF.
能力提升练
题组一　平面与平面平行的判定与性质的综合问题
1.(2025浙江G5联盟期中)若a,b表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,则下列说法中错误的是(　　)
A.若α∥β,a∥α,a β,则a∥β
B.若α∥β,β∥γ,则α∥γ
C.若a∥α,b∥β,a与b相交,则a∥β
D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
2.(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,D,E,F,M,N分别是BC,B1C1,AA1,CC1,A1C的中点,则下列判断错误的是(　　)
A.EF∥平面ADB1
B.A1M∥平面ADB1
C.平面EMN∥平面ADB1
D.平面A1EN∥平面ADB1
3.(2024山东枣庄期中)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,Q是侧面BCC1B1内一点,若A1Q∥平面AEF,则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为(　　)
A.+　　B.　　C.　　D.
4.(2025江西九江十校联考)如图,在矩形ABCD中,AB=3AD=3,E在AB上且AE=,将△ADE沿DE折起到△FDE的位置,F 平面BCDE,点G在线段CF上,若BG∥平面FDE,则的值等于　　　　.
5.(2023海南中学期中)如图,正三棱柱A1B1C1-ABC的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,则线段MN长度的最大值为　　　　.
6.如图,多面体ABCGDEF中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.
(1)证明:四边形ABED是正方形;
(2)判断点B,C,F,G是否共面,并说明理由.
7.(2024山东枣庄三中期中)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证:BC∥GH;
(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.
题组二　面面平行中的探索性问题
8.(2025吉林松原期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,E是棱PB上的一点,且PD∥平面EAC.
(1)求证:E是PB的中点;
(2)在棱BC上是否存在点G,使得平面EOG∥平面PCD 若存在,请加以证明,并求出的值;若不存在,请说明理由.
9.如图所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,点M,N分别在AE,DB上,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD;
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗 如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件,使上述结论成立.
答案与分层梯度式解析
4.2　平面与平面平行
基础过关练
1.B 2.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.C
1.B　由α∩γ=l,β∩γ=m,l∥m推不出α∥β,故充分性不成立;由面面平行的性质定理知必要性成立,故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件.
2.B　因为平面α∥平面PBC,平面α∩平面ABD=m,平面PBC∩平面ABD=BP,所以m∥BP,
因为平面α∥平面PBC,平面α∩平面ACD=n,平面PBC∩平面ACD=PC,所以n∥PC,
所以m,n的夹角即为BP,PC的夹角,易知BP与PC的夹角为∠BPC(或其补角),
设正四面体A-BCD的棱长为2,
则BP=CP==,
在△PBC中,cos∠BPC===.
3.答案　9
解析　由平面α∥平面β,结合面面平行的性质定理,可得AC∥BD,所以∠PAC=∠PBD,∠PCA=∠PDB,
又∠APC=∠BPD,所以△PAC∽△PBD,
所以====,
又BD=12,所以AC=9.
4.答案　MN=AC
解析　∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴EM∥B1A,EN∥B1C.
∴=,=,
又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,
∴MN=AC.
5.证明　如图,延长AB,DC交于点P,连接A1P,
因为AD∥BC,且AD=2BC,所以AB=BP,
又Q为BB1的中点,所以A1,Q,P三点共线,此时平面α与平面ABCD的交线为CD,
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以根据面面平行的性质定理可得,平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD,即l∥CD.
6.解析　由题意可知,四边形ABCD是直角梯形,
所以△AOD∽△COB,
又AD=BC,所以AO=OC,OD=OB,
因为过点O作平行于平面PAB的平面α分别交PC,BC于点E,F,所以平面OEF∥平面PAB,
因为平面OEF∩平面PBC=EF,平面PBC∩平面PAB=PB,所以EF∥PB,
因为平面OEF∩平面PAC=OE,平面PAB∩平面PAC=PA,所以OE∥PA,
因为平面OEF∩平面ABC=OF,平面PAB∩平面ABC=AB,所以OF∥AB,
所以△PAB∽△EOF,且相似比为3∶2,
因为△PAB的周长为6,所以△OEF的周长为4.
7.A　对于A,因为平面α内的任意一条直线都与平面β平行,所以一定能找到两条相交的直线a,b,使得直线a∥平面β,直线b∥平面β,又直线a 平面α,直线b 平面α,且a,b相交,所以由面面平行的判定定理可得α∥β,故A正确;
对于B,由图1可知,直线n∥平面α,直线n∥平面β,且直线n不在平面α内,也不在平面β内,但是平面α与平面β相交,故B错误;
对于C,由图2可知,直线a 平面α,直线b 平面β,且直线a∥平面β,直线b∥平面α,但是平面α与平面β相交,故C错误;
对于D,由图3可知,平面α内只要与直线a平行的直线都与平面β平行,这样的直线有无数条,但是平面α与平面β相交,故D错误.
8.D　对于A,若m α,n β,m∥n,则α∥β或α与β相交,A错误;
对于B,若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β或α与β相交,B错误;
对于C,若m α,n β,α∥β,则m∥n或m与n异面,C错误;
对于D,设过直线m的平面为γ,且γ∩β=l,由m∥β,得m∥l,又m α,l α,所以l∥α,由m,n是异面直线,n β,得直线l与n相交,又n∥α,l β,所以α∥β,D正确.
9.D　易得经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ(S为AA1的中点),如图所示.
对于A,MC1与QN相交,所以A不符合;
对于B,C,点N在平面PQR上,所以B,C不符合;
对于D,因为A1C1∥RH,A1C1 平面PQR,RH 平面PQR,所以A1C1∥平面PQR,同理,BC1∥平面PQR,
又因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1 平面A1C1B,
所以平面A1C1B∥平面PQR,所以D符合.
10.B　过E作EG∥BC交AB于G,连接FG,如图所示.
因为EG∥BC,BC 平面PBC,EG 平面PBC,
所以EG∥平面PBC.
又因为EF∥平面PBC,EG∩EF=E,EG,EF 平面EFG,
所以平面EFG∥平面PBC.
又平面PAB∩平面EFG=FG,平面PAB∩平面PBC=PB,所以FG∥PB.
根据相似三角形的性质可得=.
因为EG∥BC,CE∥AB,
所以四边形BCEG为平行四边形,所以CE=EG.
又AB=3CE,所以AG=2BG,所以==.
11.C　取AB的中点P,BC的中点M,CD的中点N,连接FP,EP,MN,MG,NH,由正方体的结构特征可得MG∥NH,则四边形MGHN为平面图形.
又EP∥MG,MG 平面MGHN,EP 平面MGHN,
∴EP∥平面MGHN.
∵FP∥MN,MN 平面MGHN,FP 平面MGHN,
∴FP∥平面MGHN.
∵EP∩FP=P,
∴平面EFP∥平面MGHN,
又EF 平面EFP,
∴EF∥平面MGHN,
∴过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形MGHN.
∵MG=2,GH==,∴S矩形MGHN=2.
12.证明　(1)连接DE,由题意知,DB=A1E,DB∥A1E,
即四边形DBEA1为平行四边形,所以DA1∥BE,
又DA1 平面BEC1,BE 平面BEC1,
所以DA1∥平面BEC1.
同理,四边形DEC1C为平行四边形,所以CD∥EC1,
因为CD 平面BEC1,EC1 平面BEC1,
所以CD∥平面BEC1,
又CD∩DA1=D,CD,DA1 平面A1DC,
所以平面A1DC∥平面BEC1.
(2)如图,取BB1的中点P,连接EP,PC1,A1B,
由(1)知CD∥EC1,因为E,P分别是A1B1,BB1的中点,
所以EP∥A1B,因为F,D分别为AA1,AB的中点,
所以FD∥A1B,所以EP∥FD,
又EP∩EC1=E,FD∩CD=D,EP,EC1 平面EC1P,FD,CD 平面DCF,所以平面EC1P∥平面DCF.
能力提升练
1.C 2.ABC 3.C
1.C　对于A,若α∥β,a∥α,a β,则由面面平行的性质可知a∥β,故A中说法正确;
对于B,根据平行的传递性可知B中说法正确;
对于C,当满足a∥α,b∥β,a与b相交时,α,β可能相交,
如图所示,故C中说法错误;
对于D,∵a∥b,a γ,b γ,∴a∥γ,又a α,且α∩γ=c,∴a∥c,∴b∥c,故D中说法正确.
2.ABC　连接AC1,ED,如图所示,
易得N为AC1的中点,
又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1,
因为AB1 平面ADB1,EN 平面ADB1,所以EN∥平面ADB1.
因为四边形BCC1B1是平行四边形,D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DE BB1 AA1,
所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD,
又AD 平面ADB1,A1E 平面ADB1,所以A1E∥平面ADB1,
又A1E,EN 平面A1EN,A1E∩EN=E,
所以平面A1EN∥平面ADB1,所以D中判断正确;
因为EF,A1M均与平面A1EN相交,所以EF,A1M均与平面ADB1相交,所以A,B中判断错误;
又MN∥AC,AC与平面ADB1相交,所以MN与平面ADB1也相交,所以C中判断错误.
3.C　分别取棱BB1,B1C1的中点M,N,连接A1M,A1N,MN,BC1,NE,如图所示,
则MN∥BC1,EF∥BC1,∴MN∥EF,
又MN 平面AEF,EF 平面AEF,∴MN∥平面AEF.
易知AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,∴A1N∥AE,
又A1N 平面AEF,AE 平面AEF,∴A1N∥平面AEF,
又A1N∩MN=N,A1N,MN 平面A1MN,
∴平面A1MN∥平面AEF,
∵Q是侧面BCC1B1内一点,且A1Q∥平面AEF,
∴Q必在线段MN上,
易得A1N=A1M==,
故△A1MN为等腰三角形,
则当Q为MN的中点时,A1Q⊥MN,A1Q最短,此时A1Q===,
当Q在M或N处时,A1Q最长,
此时A1Q=A1M=A1N=,
所以线段A1Q长度的最大值与最小值之和为+=.
解后反思
　　本题求线段长度的最值,解题的关键是利用A1Q∥平面AEF推测出点Q的轨迹,一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来确定点 Q的轨迹,然后转化为平面问题求解.
4.答案　
解析　作BM∥DE交CD于M,连接GM,如图.
则四边形BEDM是平行四边形,故DM=BE=2,CM=,
因为BM∥DE,BM 平面FDE,DE 平面FDE,
所以BM∥平面FDE.
又BG∥平面FDE,BM∩BG=B,BM,BG 平面BGM,
所以平面FDE∥平面BGM.
又平面FDE∩平面FDC=FD,平面BGM∩平面FDC=GM,所以GM∥FD,所以==.
5.答案　2
解析　如图所示,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME.
∵D,M分别为B1C1,A1C1的中点,∴DM∥A1B1,
又在正三棱柱中,AB∥A1B1,∴DM∥AB,
∵DM 平面ABC1,AB 平面ABC1,∴DM∥平面ABC1,
同理可得DE∥平面ABC1,
又DM∩DE=D,DM,DE 平面DEM,∴平面DEM∥平面ABC1,
又平面DEM∩平面BCC1B1=DE,MN∥平面ABC1,
∴点N在线段DE上,
当点N在点E处时,线段MN最长.
连接MB1,则MB1=,ME===2,所以线段MN长度的最大值为2.
6.解析　(1)证明:因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABED∩平面ABC=AB,平面ABED∩平面DEFG=DE,
所以AB∥DE.
同理AD∥BE,所以四边形ABED为平行四边形.
又AB⊥AD,AB=AD,所以四边形ABED是正方形.
(2)点B,C,F,G共面.理由如下:
取DG的中点P,连接PA,PF.
因为平面BEF∥平面ADGC,平面EFGD∩平面BEF=EF,平面EFGD∩平面ADGC=DG,
所以EF∥DG,同理AC∥DG.
因为P为DG的中点,DG=2,EF=1,
所以EF PD,所以四边形EFPD为平行四边形,
所以DE∥PF且DE=PF.
又AB∥DE,AB=DE,所以AB∥PF且AB=PF,
所以四边形ABFP为平行四边形,所以AP∥BF.
因为P为DG的中点,所以PG=DG=1=AC,
又因为AC∥PG,所以四边形ACGP为平行四边形,
所以AP∥CG,所以BF∥CG.故B,C,F,G四点共面.
7.证明　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1C1∥平面ABC,平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,故BC∥GH.
(2)∵E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,
∴A1G BE,
∴四边形BGA1E是平行四边形,∴A1E∥BG,
∵BG 平面A1EF,A1E 平面A1EF,
∴BG∥平面A1EF.
又EF∥BC,BC 平面A1EF,FE 平面A1EF,
∴BC∥平面A1EF.
又BG∩BC=B,BG,BC 平面BCHG,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
方法技巧
　　要证面面平行,可转化为证线面平行,要证线面平行,可转化为证线线平行或面面平行,熟练掌握这种转化的思想方法,就能找到解题的突破口.
8.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是BD的中点,因为PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=EO,PD 平面PBD,所以PD∥EO,所以==,所以E是PB的中点.
(2)在棱BC上存在点G,使得平面EOG∥平面PCD,此时=.
证明如下:取BC的中点M,
因为O是BD的中点,所以CD∥MO,
又CD 平面PCD,MO 平面PCD,所以MO∥平面PCD,
由(1)知PD∥EO,同理可得,EO∥平面PCD,
又EO∩MO=O,EO,MO 平面EOM,
所以平面EOM∥平面PCD,
所以点M即为所求的点G,
即=时,平面EOG∥平面PCD.
9.解析　(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G.易知MG∥AF,NG∥AD.
当F,A,D三点不共线时,如图所示,
由翻折的性质知MG∥AF,NG∥AD.
又MG∩NG=G,AD∩AF=A,∴平面MGN∥平面FAD.
又MN 平面MGN,∴MN∥平面FAD.
∴当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
(2)结论不正确.要使结论成立,M,N应分别为AE,DB的中点.
理由:当F,A,D三点共线时,易证得MN∥FD.
当F,A,D三点不共线时,
由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,根据面面平行的性质定理知,只要FD与MN共面即可.
连接FM,要使FD与MN共面,只要FM与DN相交即可.
∵FM 平面ABEF,DN 平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时M,N分别为AE,DB的中点.
由FM∩DN=B可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD.
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