第六章　立体几何初步 6.2 柱锥台的体积--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
6.2　柱、锥、台的体积
基础过关练
题组一　柱、锥、台的体积
1.(2025浙江金华义乌适应性考试)将一个棱长为6 cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3 cm的圆锥体零件,则该圆锥体零件的高约为(π取3)(　　)
A.8 cm　　B.12 cm　　
C.16 cm　　D.24 cm
2.(2025湖南长沙长郡中学期中)已知圆柱和圆锥的底面半径和侧面积都相等,且它们的高均为,则该圆锥的体积为(　　)
A.5π　　B.5π　　
C.10π　　D.15π
3.(2024浙江三锋教研联盟期中)如图,四面体P-ABC的各个面都是边长为2的正三角形,其中顶点A,B,C在一个圆柱的下底面圆周上,顶点P是上底面圆的圆心,则圆柱的体积是(　　)
π　　B.π　　
C.π　　D.π
4.(2025江西六校联考)白舍窑位于江西省南丰县白舍镇,是宋元时期“江西五大名窑”之一,其瓷器以白瓷最为闻名,素有“白如玉,薄如纸”的特点.下图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯,茶杯外形的上部为一个圆台,下部是实心的圆柱.现测得圆台的下底面直径为6 cm,上底面直径为12 cm,茶杯侧面与水平面的夹角为60°,则该茶杯的容量(单位:cm3,茶杯杯壁的厚度忽略不计)约为(　　)
A.π　　B.19π　　C.π　　D.63π
5.(2025江西上饶期末质量测试)如图1,一个全封闭的正三棱柱容器的底面边长为1,高为2,内装水若干.现将该容器放倒,把一个侧面作为底面,如图2,这时水面恰好是中截面(即经过边CA,CB,C1A1,C1B1的中点),则图1中容器内水面的高是(　　)
　
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024江西赣州期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为4的正方形,PD⊥平面ABCD,PC与平面ABCD的夹角为,E为PA上的点.
(1)若E为PA的中点,证明:PC∥平面BDE;
(2)若E为PA上靠近A的三等分点,求三棱锥C-BDE的体积.
7.(2024安徽合肥一中期中)如图所示,底面边长为4的正四棱锥P-ABCD被平行于底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1.
(1)求棱台A1B1C1D1-ABCD的体积;
(2)求棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积.
题组二　组合体的体积
8.(2025安徽皖中名校联盟期中检测)如图,该几何体为“四角反棱台”,它是由两个相互平行的正方形经过旋转后连接而成,且上底面正方形的四个顶点在下底面内的射影为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形的边长为2,“四角反棱台”的高为,则该几何体的体积为(　　)
A.2+　　B.　　C.　　D.20
9.(2025天津第一百中学、咸水沽第一中学期中联考)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形,底面ABCD为矩形.若AB=18,BC=8,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的体积为(　　)
A.312　　B.304　　C.192　　D.184
10.(2023吉林长春二中期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,其高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底面的内切圆为底面,挖去一个圆柱,则剩余部分的几何体的体积为　　　　.
11.(2025陕西西安铁一中学期中)如图1所示,四边形O'A'B'C'为水平放置的四边形OABC的斜二测直观图,其中∠x'O'y'=45°,O'A'=4,O'C'=1,B'C'=2.
(1)在图2所示的直角坐标系中画出四边形OABC,并求四边形OABC的面积;
(2)若将四边形OABC以直线OA为轴旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
　
能力提升练
题组一　柱、锥、台的体积
1.(2025江西部分学校考前演练)在四面体O-ABC中,D为OA的中点,且=,已知四面体O-BDE的体积为1,则四面体O-ABC的体积为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
2.(2024上海青浦高级中学月考)如图所示,过三棱台上底面的一边A1C1,作一个平行于棱BB1的截面,与下底面的交线为DE,若D,E分别是AB,BC的中点,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2024江西南昌期末调研)如图,边长为2的正方形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面,EF是圆O1的一条直径,点E从点B1出发,沿着圆O1的圆周按逆时针方向转动一圈,记点E运动的路程为x,三棱锥E-FBA的体积为y,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
　　
　　
4.(多选题)(2023河北保定一模)沙漏是古代的一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图①,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部容器时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部容器后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,如图②.以下结论正确的是(　　)
A.沙漏的侧面积是9π cm2
B.沙漏中的细沙体积为 cm3
C.细沙全部漏入下部容器后的圆锥形沙堆的高约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(π≈3.14)
5.(多选题)(2025安徽天一大联考期末)如图,在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,且AA'=2AB=4,∠ABC=,若E为棱AB的中点,F为棱CC'上的动点(含端点),则下列说法正确的是(　　)
A.三棱锥D'-DEF的体积为定值
B.记直线EF与平面D'DE的夹角为θ,则sin θ的最大值为
C.若CF=FC',则异面直线D'F与BC'的夹角的余弦值为
D.若CF=FC',则过D,E,F三点的平面截该棱柱所得截面图形的面积为
6.(2024上海宝山模拟)如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O的圆周上,AB为圆O的直径.
(1)求证:BP⊥A1P;
(2)若OA=2,∠BOP=60°,圆柱的体积为16π,求异面直线AP与A1B夹角的大小.
7.(2025广西玉林五校联考)图1是一个正四棱台形状的铁料,其上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm,高为30 cm.
(1)求正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积;
(2)若要将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台(如图2),求削去部分的体积与圆台的体积的比值.
　
题组二　组合体的表面积和体积
8.(多选题)(2024浙江杭州外国语学校期中)《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1垂直于底面,AA1=5,底面扇环所对的圆心角为,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,CD=2,则下列说法正确的是(　　)
A.弧AD的长度为
B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为20+14π
D.三棱锥A-CC1D的体积为5
9.(2025陕西榆林府谷第一中学期中)如图,一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A1B1C1(该棱柱的各个顶点均在圆锥的侧面上),且棱柱的侧面ABB1A1落在圆锥的底面上,已知该正三棱柱的底面边长为6,高为8.
(1)求挖掉的正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)求剩余几何体的体积和表面积.
答案与分层梯度式解析
6.2　柱、锥、台的体积
基础过关练
1.D 2.B 3.C 4.D 5.D 8.C 9.D
1.D　由题意可知,正方体的体积为63=216(cm3),
设该圆锥体零件的高为h,则该圆锥体零件的体积为×32×3h=9h(cm3),
即9h=216,解得h=24 cm,
所以该圆锥体零件的高约为24 cm.
2.B　设圆柱和圆锥的底面半径为r,高为h,则h=,
因为圆柱和圆锥的侧面积相等,所以2πr×=πr,
即2=,所以r2=15,
所以该圆锥的体积V=πr2h=π×15×=5π.
3.C　设圆柱底面半径为r,
在△ABC中,易得2r=,解得r=,
故圆柱的高h===,
所以圆柱的体积V=πr2h=π××=.
4.D　依题意知,圆台的体积即为该茶杯的容量,
如图,AB=6 cm,CD=12 cm,过点A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD于点E,F,
则EF=AB=6 cm,DE==3(cm),又∠ADE=60°,
所以圆台的高为AE=DE·tan 60°=3(cm),
故圆台的体积为π·+π·+·3=63π(cm3),
即该茶杯的容量为63π cm3.
5.D　设AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,如下图:
易知EF∥AB,则△CEF∽△CAB,由E为AC的中点,得=,所以=,
设三棱柱CEF-C1E1F1与三棱柱CAB-C1A1B1的体积分别为V1,V2,容器内水的体积为V,在题图1中,容器内水面的高为h,则==,==,所以==,
解得h=.
6.解析　(1)证明:连接AC,记AC∩BD=O,连接OE,则O为AC的中点,
∵E为PA的中点,
∴OE是△ACP的中位线,
∴OE∥PC,
又∵OE 平面BDE,PC 平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
(2)∵PD⊥平面ABCD,
∴PC与平面ABCD的夹角为∠PCD,即∠PCD=,
∴△PCD为等腰直角三角形,∴PD=CD=4,
易得点E到平面ABCD的距离h=PD=,
∴VC-BDE=VE-BCD=S△BCD·h=×BC·CD·h=××4×4×=.
7.解析　(1)如图,过点P作PO⊥底面ABCD于点O,PO交平面A1B1C1D1于点O1,故O为底面ABCD的中心,
则O1O=PO-PO1=×PO1-PO1=PO1=4,
即棱台A1B1C1D1-ABCD的高O1O=4,
故=×[++]×4=×56×4=.
(2)连接OA,则AO=AB=×4=4,AA1=AP=×=2,
过A1作A1M⊥AB于点M,
则A1M==3,
故=S正方形ABCD++4
=++4××(2+4)×3
=32+8+72=112.
8.C　如图,把几何体补全为长方体,则A1E=A1H=A1B1=1,AA1=,
所以该几何体的体积为-4=2×2×-4×××1×1×=.
9.D　如图,过E作EO⊥平面ABCD,EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为O,G,M,连接OG,OM,
因为EO⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以EO⊥BC,
因为EG⊥BC,EO,EG 平面EOG,EO∩EG=E,
所以BC⊥平面EOG,
又OG 平面EOG,所以BC⊥OG,
同理可得,OM⊥BM,
故等腰梯形ABEF所在的平面、等腰三角形BCE所在的平面与平面ABCD的夹角分别为∠EMO和∠EGO,
所以tan∠EMO=tan∠EGO=.
又BM⊥BG,所以四边形OMBG是矩形,
所以由BC=8得OM=4,所以EO=3,OG=4,
即BM=4,所以EF=AB-4-4=18-4-4=10,
所以该五面体的体积V=×2OM·EO·EF+2××BM·BC·EO=4×3×10+2××4×8×3=184.
方法点睛
组合体体积的常见解法
(1)补形法:将不规则的几何体补形成常规的几何体,然后利用大几何体的体积减去小几何体的体积得到结果,此法多适用于大、小几何体的体积都能直接求解的类型;
(2)切割法:将不规则的几何体切割成若干个常规的几何体,将所有切割后的小几何体的体积相加得到结果,此法多适用于不规则几何体能分割成常规几何体的类型.
10.答案　(36-6π)cm3
解析　根据题意,得=×6=36(cm3).
设圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,
则r===1,
故V圆柱=πr2h=6π(cm3),
所以剩余部分的几何体的体积V=-V圆柱=(36-6π) cm3.
11.解析　(1)在直观图中,O'A'=4,O'C'=1,B'C'=2,
则在四边形OABC中,OA=O'A'=4,OC=2O'C'=2,
BC=B'C'=2,OC⊥OA,
所以四边形OABC如图所示,
由图可知,四边形OABC为直角梯形,其面积为=6.
(2)将直角梯形OABC以直线OA为轴旋转一周,所形成的几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成,
由(1)可知几何体的底面半径r=2,圆柱的高h1=2,圆锥的高h2=2,圆锥的母线长l==2,
所以该几何体的体积V=V圆柱+V圆锥=πr2h1+πr2h2=8π+=,
表面积S=πr2+2πrh1+πrl=4π+8π+4π=(12+4)π.
能力提升练
1.B 2.A 3.D 4.BD 5.ACD 8.ACD
1.B　根据题意作图如下,
过点E作EM⊥AO,垂足为M,过点C作CN⊥AO,垂足为N,易得EM∥CN,
又=,所以==,
因为D为OA的中点,所以=,所以==,
设点B到平面OAC的距离为h,
则===,
又因为四面体O-BDE的体积为1,
所以四面体O-ABC的体积为3.
2.A　因为BB1∥平面A1C1ED,平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E,平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D,所以BB1∥A1D,BB1∥C1E,
因为平面A1B1C1∥平面ABC,平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1,平面ABC∩平面A1C1ED=DE,所以A1C1∥DE,
故几何体A1B1C1-DBE为棱柱,设棱柱的高为h,
故=S△BDE·h,
又D,E分别是AB,BC的中点,所以S△ABC=4S△BDE,
所以=(S△BDE+S△ABC+)h=S△BDE·h,故=.
3.D　连接O1A,O1B,把三棱锥E-FBA分成三棱锥E-O1AB和三棱锥F-O1AB,则这两个三棱锥的体积相等,所以VE-FBA=2,
设点F到平面O1AB的距离为h,根据题意可得h=sin x,x∈[0,2π],
易知△O1AB的边AB上的高为2,
所以=×2×2=2,
所以VE-FBA=2=2××2×sin x=sin x,x∈[0,2π].
当点E从点B1出发,沿着圆O1按逆时针方向转动通过A1时,在x∈(π,2π)内的体积变化情况与在[0,π]内的体积变化情况一致,结合选项可知D符合题意.
4.BD　A选项,设下圆锥的母线长为l,则l==3(cm),
故下圆锥的侧面积S=3×3π=9π(cm2),故沙漏的侧面积为2S=18π cm2,故A错误;
B选项,当细沙全部在上部容器时,其高度为圆锥高度的,所以细沙形成的圆锥的底面半径为×3=2(cm),高为6×=4(cm),故细沙形成的圆锥的底面积为π×22=4π(cm2),所以沙漏中的细沙体积为×4π×4=(cm3),故B正确;
C选项,由B选项可知,细沙全部漏入下部容器后的圆锥形沙堆的体积为 cm3,此圆锥形沙堆的底面积为π×32=9π(cm2),故其高为=≈1.8(cm),故C错误;
D选项,÷0.02≈≈837(秒),故该沙漏的一个沙时大约是837秒,故D正确.
5.ACD　在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,DD'⊥平面ABCD,DE 平面ABCD,所以DD'⊥DE,
由E为菱形ABCD的边AB的中点,∠ABC=,可得DE⊥AB,因为AB∥CD,所以DE⊥CD,
又DD'∩CD=D,DD',CD 平面DCC'D',
所以DE⊥平面DCC'D'.
对于A,S△D'DF=DD'·DC=4,DE=ADsin =,所以VD'-DEF=VE-D'DF=,为定值,A正确;
对于B,连接CE,易得CE==,
由CC'⊥平面ABCD,CE 平面ABCD,可知CC'⊥CE,则EF=,S△D'DE=DE·DD'=2,
设点F到平面D'DE的距离为d,
由VF-D'DE=VD'-DEF=,得×2d=,解得d=2,
则sin θ==≤,当且仅当F,C重合时取等号,B错误;
对于C,连接AD',AF,
由D'C'∥DC∥AB,D'C'=DC=AB,得四边形ABC'D'是平行四边形,所以AD'∥BC',
故∠AD'F(或其补角)就是异面直线D'F与BC'的夹角,
易得AC=2ADcos =2,AF==4,AD'==2,D'F==2,
所以由余弦定理得cos∠AD'F==,C正确;
对于D,取BB'的中点H,BH的中点G,连接AH,FH,EG,FG,
则FH∥BC∥AD,FH=BC=AD,则四边形ADFH是平行四边形,所以DF∥AH,又E,G分别为AB,BH的中点,所以AH∥EG,所以DF∥EG,故过D,E,F三点的平面截该棱柱所得的截面图形为四边形DEGF,
因为DE⊥平面DCC'D',DF 平面DCC'D',所以DE⊥DF,又EG=AH=,DF=2,所以S四边形DEGF=·DE=,D正确.
6.解析　(1)证明:易知AP⊥BP,由AA1⊥平面PAB,BP 平面PAB,得AA1⊥BP,
因为AP∩AA1=A,AP,AA1 平面PAA1,所以BP⊥平面PAA1,又A1P 平面PAA1,所以BP⊥A1P.
(2)如图,延长PO交圆O于点Q,连接BQ,A1Q,AQ,
易知BQ∥AP,则∠A1BQ(或其补角)即为异面直线AP与A1B的夹角,
由题知V圆柱=π·OA2·AA1=4π·AA1=16π,解得AA1=4,
易得BQ=AP=2,A1Q=6,A1B=4,
在△A1BQ中,由余弦定理得cos∠A1BQ==,
又0<∠A1BQ<π,所以∠A1BQ=60°,
所以异面直线AP与A1B的夹角为60°.
7.解析　(1)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,分别取上、下底面的中心O1,O,连接O1O,则O1O=30 cm,
分别取B1C1,BC的中点M,N,连接O1M,ON,MN,过M作MH⊥ON于H,如图,
因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=20 cm,AB=40 cm,O1O=30 cm,
所以MH=O1O=30 cm,O1M=A1B1=10 cm,ON=AB=20 cm,
在Rt△MNH中,MN===10(cm),
所以正四棱台的表面积S=202+402+4××(20+40)×10=2 000+1 200(cm2).
(2)若要将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台,则圆台的上、下底面圆应分别与正四棱台的上、下底面正方形的各边相切,高应等于正四棱台的高,
则圆台的上底面半径r1=10 cm,下底面半径r2=20 cm,高为O1O=30 cm,
所以圆台的体积V1=×(102π+202π+)×30=7 000π(cm3),
又因为正四棱台的体积V=×(202+402+)×30=28 000(cm3),
所以削去部分的体积V2=V-V1=(28 000-7 000π)cm3,
所以削去部分的体积与圆台的体积的比值为=.
8.ACD　设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,
∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍,
∴R=3×r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3,
∴弧AD的长度为,故A正确;
曲池的体积为×AA1=π×32-π×12×5=10π,故B错误;
曲池的表面积为×2+×5+2×5×2=×2+×3+×1×5+20=20+14π,故C正确;
==××2×3×5=5,故D正确.
9.解析　(1)由题意可知,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积S△ABC=×6×6×=9,高AA1=8,
∴=9×8=72.
(2)如图,过点V,C,C1作圆锥的轴截面VEF,分别交AB,A1B1于点M,N,连接A1B.
由题可知☉O是矩形ABB1A1的外接圆,
∵BB1=8,AB=6,
∴A1B==10,即☉O的半径为5.
∵ON=MN=4,OF=EF=5,
∴NF=1,
∵C1N==3,且△FC1N与△FVO相似,
∴=,即=,
∴VO=15,
∴VF==10,
∴V圆锥=×25π×15=125π,
则剩余几何体的体积为125π-72.
易得圆锥的侧面积为10×5π=50π,底面积为25π,
∴剩余几何体的表面积为50π+25π-6×8+6×8×2+9×2=(50+25)π+48+18.
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