第六章　立体几何初步 第2课时　基本事实4与等角定理--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
题组一　空间两条直线的位置关系
1.(2024吉林长春二中月考)下列关于异面直线的说法正确的是(　　)
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
2.(2025湖南湘一名校联盟期中联考)如图,N为正方形ABCD的中心,点E在平面ABCD外,M是线段ED的中点,则下列各选项中的两条直线不是异面直线的为(　　)
A.AB与DE　　B.BC与EN
C.CD与BM　　D.BM与EN
3.(2025湖南常德临澧一中期中)下图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列说法错误的是(　　)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN相交
D.DE与MN为异面直线
4.(2024上海曹杨中学期中)如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点,下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
A.直线DD1　　B.直线B1C　　
C.直线AD1　　D.直线AC
5.(2025福建泉州期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线及直线BD,A1C1,B1D1中,与直线AC是异面直线的直线共有　　　　条.
题组二　基本事实4及等角定理的应用
6.(2025广东广州期中)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交　　B.异面
C.平行　　D.无法确定
7.(2025江苏无锡梅村高级中学期中)若∠AOB=∠A1O1B1,且两个角的其中一边满足OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是(　　)
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等　　B.互补　　
C.相等或互补　　D.不确定
9.(多选题)(2024吉林通化梅河口第五中学期中)下列说法中,正确的是(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
10. (2023山东德州月考)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(　　)
A.M,N,P,Q四点共面　　
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ　　
D.四边形MNPQ为梯形
11.如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
题组三　异面直线的夹角
12.在正四面体A-BCD中,E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,则EF与GH的夹角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
13.(2024江西宜春宜丰中学月考)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
14.(2025浙江温州十校联合体期中联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=AD=2,AA1=4,则异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
15.(2025江苏南通如皋教学质量调研)已知圆锥SO的轴截面SAB是正三角形,P为圆锥SO底面圆周上的一点,若∠PBA=,则异面直线SP与AB夹角的余弦值为　　　　.
能力提升练
题组一　空间中两条直线的位置关系
1.(2025陕西榆林府谷一中期中)已知m,n,l为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,若α∩β=l,m α,n β,且m与n异面,则(　　)
A.l至多与m,n中的一条相交
B.l与m,n均相交
C.l与m,n均平行
D.l至少与m,n中的一条相交
2.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点,F是AB的中点,则(　　)
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
3.(2023河北沧衡八校联盟期中)一个四棱锥P-ABCD的平面展开图如图所示,其中E,F,M,N,Q分别为P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中点,关于该四棱锥,现有下列四个结论:
①直线AF与直线BQ是异面直线;
②直线BE与直线MN是异面直线;
③直线BQ与直线MN共面;
④直线BE与直线AF是异面直线.
其中正确结论的个数为(　　)
A.4　　B.3　　C.2　　D.1
题组二　异面直线的夹角及其应用
4.(2024浙江杭州第二中学期中)在正四面体S-ABC中,M是SC的中点,N是SB的中点,则异面直线BM与AN夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(多选题)(2024山东德州夏津第一中学月考)已知E,F分别是三棱锥P-ABC的棱PA,BC的中点,且PC=6,AB=8.若异面直线PC与AB的夹角的大小为60°,则线段EF的长可能为(　　)
A.　　B.　　C.5　　D.
6.(2025辽宁名校联盟联合考试)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E,F,G分别是CC1,BD,C1D1的中点,则异面直线A1G与EF的夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.
C.　　D.
7.(2024上海青浦高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足直线D1P与CC1的夹角的大小为,则线段DP扫过的面积为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2025辽宁沈阳第二十中学月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,∠BAC=120°,D,E,F分别是棱B1C1,BC,A1C1的中点,则异面直线AD与EF的夹角的余弦值为　　　　.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为A1B1,BB1的中点.
(1)求直线AP与CQ夹角的余弦值;
(2)求直线AP与BD夹角的余弦值;
(3)连接BC1,A1D,证明:BC1⊥A1D.
题组三　空间四边形
10.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为　　　　.
11.(2023安徽合肥六校联盟期中)在四面体A-BCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别是AB,BC上的点,且==.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)直线EH,BD,FG相交于一点.
12.如图,空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的夹角为θ,AC=a,BD=b,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,当θ为何值时,四边形EFGH的面积最大 最大值是多少
答案与分层梯度式解析
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.D 6.C 7.D 8.B 9.BD
10.D 12.C 13.B 14.B
1.D　对于A,如图①,此时a与b相交,A中说法错误;对于B,如图②,此时a与c平行,B中说法错误;对于C,如图①,此时a与b相交,C中说法错误;根据异面直线的定义知D中说法正确.
2.D　在正方形ABCD中,AB∥CD,
所以点D在平面ABCD内,且点D不在直线AB上,
又点E不在平面ABCD内,所以AB与DE异面.
同理,BC与EN异面,CD与BM异面.
连接BD,BE,MN,如图,
因为N为正方形ABCD的中心,所以N为BD的中点,又M为线段ED的中点,
所以MN∥BE,所以B,N,M,E四点共面,所以BM与EN不是异面直线.
3.A　根据平面展开图还原正四面体,如图所示,
由图可知,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,DE与MN为异面直线,H与N重合,所以GH与MN相交,故A中说法错误.
4.D　当P位于A1C1的中点时,易知P∈B1D1,由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形,此时BP、DD1 平面BB1D1D,故A错误;
当P与C1重合时,BP、B1C 平面BB1C1C,四边形ABPD1为平行四边形,此时BP∥AD1,故B、C错误;
易知四边形ACC1A1为平行四边形,B 平面ACC1A1,P∈平面ACC1A1,AC∥A1C1,AC、A1C1 平面ACC1A1,BP∩A1C1=P,故AC与BP始终异面,故D正确.
5.答案　7
解析　与直线AC是异面直线的直线有BB1,DD1,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,B1D1,共7条.
6.C　如图,连接AD1,CD1,AC,
因为E,F分别为侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,
所以E,F分别为AD1,CD1的中点,所以EF∥AC,
又G,H分别是线段AB,BC的中点,所以GH∥AC,
所以EF∥GH.
7.D　如图1,满足∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,此时OB与O1B1不平行.
如图2,满足∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,此时OB∥O1B1且方向相同.
综上所述,OB与O1B1不一定平行,故D正确.
　　
8.B　因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,
所以EF∥A1B1,FG∥BC1,
又A1B1∥AB,所以EF∥AB,
所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,且一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.
9.BD　由等角定理可知,A错误,B正确;由基本事实4可知,D正确;对于C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角不一定相等,如图.
10.D　由三角形中位线定理知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由基本事实4得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;对于B、C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故B、C中说法正确;易得MQ NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中说法不正确.
11.证明　(1)连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,
∴MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
12.C　因为E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,所以AB∥EF,BC∥GH,因此EF与GH的夹角为AB与BC的夹角.
因为在正四面体A-BCD中,∠ABC=,所以EF与GH的夹角为.
13.B　连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB,
由题意知EO∥PC,则异面直线BE与PC的夹角为∠BEO(或其补角),
在△BEO中,EO=1,BO=,BE=,
则由余弦定理得cos∠BEO==,
则异面直线BE与PC夹角的余弦值为.
解题模板
求异面直线的夹角的一般步骤
(1)作:通过作平行线或平移直线,构造异面直线的夹角;
(2)证:证明所作的角或其补角为异面直线的夹角;
(3)计算:一般在三角形中求角.
14.B　连接D1C,AC,如图,
由题可得A1D1∥AD∥BC,A1D1=BC,
所以四边形A1D1CB为平行四边形,
所以D1C∥A1B,
所以∠AD1C(或其补角)就是异面直线A1B与AD1的夹角,
由题可得AD1=CD1==2,AC==2,
在△AD1C中,由余弦定理得cos∠AD1C===.
所以异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为.
15.答案　
解析　过P作PC∥AB,交底面圆周于C,连接SC,
故异面直线SP与AB的夹角即为∠SPC(或其补角),
设圆锥SO的底面半径为r,因为轴截面SAB是正三角形,SA,SB,SP,SC均为圆锥的母线,所以SA=SB=SP=SC=AB=2r,
连接OP,OC,由∠ABP=得∠BPC=,又OP=OB,所以∠OPB=,所以∠OPC=,即△OPC为正三角形,所以PC=r,所以在△SPC中,由余弦定理得cos∠SPC===,
故异面直线SP与AB夹角的余弦值为.
能力提升练
1.D 2.A 3.B 4.A 5.BD 6.D 7.A
1.D　由题意知m与l平行或相交,n与l平行或相交,但直线l与m,n不能同时平行(若直线l与m,n同时平行,则m与n平行,与m,n异面矛盾),
所以l至少与m,n中的一条相交,故D正确.
2.A　由题意知,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,因为E是BC的中点,F是AB的中点,所以AC∥EF,所以AC与EF是共面直线,易知AE=CF==.
3.B　将平面展开图还原,如图所示,
对于①,易知FN∥CD,又AB∥CD,所以FN∥AB,故F,N,A,B四点共面,故直线AF与直线BQ(即直线BN)共面,①错误;
对于②,E在平面ABNF外,故直线BE与直线MN是异面直线,②正确;
对于③,N,Q重合,故直线BQ(即直线BN)与直线MN共面,③正确;
对于④,E在平面ABNF外,故直线BE与直线AF是异面直线,④正确.
综上,正确结论的个数为3.
4.A　取SM的中点E,连接EN,AE,如图,
∵N是SB的中点,∴EN∥MB,EN=MB,
∴∠ANE(或其补角)即为异面直线BM与AN的夹角.
设正四面体的棱长为4,
∵M是SC的中点,N是SB的中点,△SAB和△SBC均为正三角形,∴BM⊥SC,AN⊥SB,且BM=AN=2,
∴EN=,
在△ASE中,由余弦定理得AE2=SA2+SE2-2SA·SE·cos∠ASE=16+1-2×4×1×=13,
在△ANE中,由余弦定理得cos∠ANE===,
∴异面直线BM与AN夹角的余弦值为.
5.BD　如图,取AC的中点H,连接EH,FH,
因为E,F分别为PA,BC的中点,PC=6,AB=8,
所以AB∥HF,HE∥PC,HF=4,HE=3,
所以异面直线PC与AB所成的角即为∠EHF(或其补角),所以∠EHF=60°或∠EHF=120°.
当∠EHF=60°时,根据余弦定理得cos∠EHF===,解得EF=;
当∠EHF=120°时,根据余弦定理得cos∠EHF===-,解得EF=.
易错警示
　　通过立体图形无法直接判断∠EHF是锐角还是钝角,因此∠EHF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.
6.D　设AB=2,则AA1=4,
如图所示,取A1B1的中点P,连接AP,PC1,AC1,AC,
在正方形A1B1C1D1中,可得PC1∥A1G,
在△ACC1中,E,F分别是CC1,AC的中点,所以AC1∥EF,
所以∠PC1A(或其补角)就是异面直线A1G与EF的夹角,
在Rt△AA1P中,可得AP==,
在Rt△PB1C1中,可得PC1==,
在Rt△ACC1中,可得AC1==2,
在△PC1A中,由余弦定理得cos∠PC1A===,即异面直线A1G与EF的夹角的余弦值为.
7.A　因为DD1∥CC1,所以直线D1P与CC1的夹角即为DD1与D1P的夹角,
易知DD1⊥PD,所以DD1与D1P的夹角为∠DD1P,即∠DD1P=,故tan∠DD1P==,即DP=,
所以点P的轨迹是以D为圆心,为半径的圆的四分之一,
故线段DP扫过的面积为π×=.
8.答案　
解析　把直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个底面为菱形的直四棱柱ABNC-A1B1MC1,连接A1M,AN,EM,FM,如图所示,
易知DM=AE,且DM∥AE,
所以四边形ADME为平行四边形,所以AD∥EM,
所以异面直线AD与EF的夹角为∠FEM(或其补角),
不妨设AC=AB=AA1=a,
因为∠BAC=120°,所以∠ABN=60°,
所以△ABN为等边三角形,所以AN=a,EN=AN=a,
所以EM===a,
易知△A1MC1是边长为a的等边三角形,所以FM=a,
又因为EF==a,
所以在△EFM中,由余弦定理可得cos∠FEM==,
故异面直线AD与EF的夹角的余弦值为.
9.解析　(1)取AB的中点F,FB的中点E,连接B1F,QE,CE,如图a,易知AF PB1,
所以四边形APB1F为平行四边形,所以AP∥B1F.
因为E为FB的中点,Q为BB1的中点,所以EQ∥B1F,所以AP∥EQ,所以∠EQC(或其补角)是直线AP与CQ的夹角.
设正方体的棱长为1,则BE=,BQ=,所以EQ==,CQ==,CE==,
所以cos∠EQC===,
即直线AP与CQ夹角的余弦值为.
(2)取A1D1的中点M,连接AM,PM,B1D1,如图b,
因为BB1 DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD∥B1D1,
因为M为A1D1的中点,P为A1B1的中点,
所以PM∥B1D1,所以PM∥BD,
所以∠APM(或其补角)是直线AP与BD的夹角.
设正方体的棱长为1,则A1P=,A1M=,
所以AP==,AM==,PM==,
所以cos∠APM===,
即直线AP与BD夹角的余弦值为.
(3)证明:连接AD1,如图c,
因为AB D1C1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,所以BC1∥AD1.
又因为AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D.
10.答案　6
解析　因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,且EF=AC=2,HG=AC=2,EH=BD=1,FG=BD=1,
所以四边形EFGH的周长为2EH+2HG=6.
11.证明　(1)连接EF,HG,
在△ABC中,==,∴EF∥AC,
∵H,G分别是AD,CD的中点,
∴GH∥AC,
∴EF∥GH,则E,F,G,H四点共面.
(2)∵=,H为AD的中点,∴EH与BD不平行,
∵EH,BD 平面ABD,
∴EH与BD相交,设交点为P,
∵P∈BD,BD 平面BCD,∴P∈平面BCD,
同理P∈平面EFGH,
∵平面BCD∩平面EFGH=FG,∴P∈FG,
∴直线EH,BD,FG相交于一点.
12.解析　∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,且EF=GH=AC=a,EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD=b,∴四边形EFGH为平行四边形.∵AC,BD的夹角为θ,
∴∠EFG=θ或∠EFG=π-θ,∴sin∠EFG=sin θ,
∴四边形EFGH的面积S=EF·FG·sin θ=a··bsin θ=absin θ,
∴当θ=时,四边形EFGH的面积最大,为ab.
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