第四章　三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求角的三角函数值
1.(2024江西景德镇期末质量检测)已知β是第三象限角,且sin β=-,则tan β=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
2.(2025甘肃甘南州临潭一中期中)若cos(α+π)=,π≤α<2π,则sin(-α-2π)的值是(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
3.(2025江西宜春丰城九中期中)已知tan α=3,则sin α-2cos α=(　　)
A.　　B.-　　C.±　　D.
4.(2025安徽师范大学附属中学质量检测)设0<θ<,若tan θsin θ=1,则cos θ=(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
5.(2025江苏镇江第一中学月考)已知=2,则tan θ=　　　　.
题组二　三角函数式的化简、求值与证明
6.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.
7.(2025四川绵阳诊断性测试)已知tan αsin α=3,则tan2α-sin2α的值为(　　)
A.　　B.3　　C.9　　D.81
8.(2025四川成都石室中学期中)已知A,B是两个锐角,且满足sin2A+cos2B=t,cos2A+sin2B=t2,则实数t的所有可能取值的和为(　　)
A.-　　B.-　　C.1　　D.
9.(2025海南海口月考)已知sin=,且010.(2025北京第一六一中学月考)化简:=　　　　.
11.(2024江西九江同文中学阶段考试)已知α∈,且sin α=,那么sin-cos(π-α)=　　　　.
12.证明:=.
题组三　利用sin α±cos α,sin αcos α的关系求值
(2025辽宁辽阳段考)已知α为第一象限角,且sin αcos α=,则
sin α+cos α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
14.(2025江西重点中学盟校联考)已知sin θ+cos θ=,则
tan θ+=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
15.(多选题)(2024江西南昌师大附中月考)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列选项中正确的是(　　)
A.sin αcos α=　　
B.sin α+cos α=
C.cos4α+sin4α=　　
D.cos4α+sin4α=
16.(2025湖南长沙长郡中学月考)已知θ∈,sin θ-cos θ=,则sin3θ+cos3θ=(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.
题组四　三角函数中的齐次式问题
17.(2025河北张家口阶段测试)已知2tan θ-1=0,则=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
18.(2025广东汕头潮阳棉城中学期中)已知=-1,则sin2α+sin αcos α+2=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
19.(2025四川眉山中学校期中)已知tan α=2,则的值是　　　　.
20.(2024江西南昌第一中学期中)已知f(α)=.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),求f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
(2023江苏五校期末联考)设sin α+cos α=x,且sin 3α+
cos 3α=a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3=(　　)
A.-1　　B.　　C.1　　D.
2.(多选题)(2025内蒙古呼和浩特第一中学月考)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的是　　(　　)
A.m=-　　B.sin α-cos α=
C.tan α=　　D.cos2α-sin2α=-
3.(2025江西景德镇乐平中学期中)已知cos(33°+α)=,且0°<α<90°,则tan(33°+α)·sin(57°-α)-cos(147°-α)=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
4.(2024江西师大附中素养测试)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=25,则的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2023黑龙江佳木斯开学考试)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于　　　　.
6.(2024江西九江期末)已知α,β是函数f(x)=13sin-12在上的两个零点,且α<β,则α+β=　　　　,sin(α-β)=　　　　.
7.(2025江西南昌第二中学月考)已知向量m=(cos α+1,-sin α),n=(-cos α,sin α),其中α∈R,|m-n|=.
(1)求的值;
(2)若角α为第三象限角,求的值.
题组二　利用同角三角函数的基本关系化简与证明
8.(2024江苏连云港海头高级中学期末)若π<α<,则+=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
9.(多选题)已知tan2x-2tan2y-1=0,则下列式子中成立的是(　　)
A.sin2y=2sin2x+1　　B.sin2y=-2sin2x-1
C.sin2y=2sin2x-1　　D.sin2y=1-2cos2x
10.(2023安徽师范大学附属中学月考)求证:=.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
基础过关练
1.B 2.C 3.C 4.B 6.C 7.C 8.C 13.C
14.B 15.ABD 16.C 17.D 18.D
1.B　因为β是第三象限角,且sin β=-,
所以cos β=-=-=-,
所以tan β===.
2.C　因为cos(α+π)=-cos α=,所以cos α=-,
又因为π≤α<2π,所以π<α<π,所以sin α<0,
故sin α=-=-,
故sin(-α-2π)=-sin(α+2π)=-sin α=.
3.C　由tan α==3得sin α=3cos α,
又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,即cos α=±.
当cos α=时,sin α=,所以sin α-2cos α=;
当cos α=-时,sin α=-,所以sin α-2cos α=-.
综上,sin α-2cos α=±.
B　由0<θ<知cos θ>0,又tan θsin θ===1,所以cos2θ+
cos θ-1=0,
解得cos θ=或cos θ=(舍去).
5.答案　-
解析　由=2,得sin θ=2+2cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,所以(2+
2cos θ)2+cos2θ=1,整理,得5cos2θ+8cos θ+3=0,解得cos θ=-或
cos θ=-1(舍去),
所以sin θ=2×=,则tan θ==-.
6.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
7.C　tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α=sin2α·=sin2α·=sin2αtan2α=32=9.
8.C　由sin2A+cos2B=t,cos2A+sin2B=t2,
得sin2A+cos2B+cos2A+sin2B=t+t2=2,
即3t2+5t-8=0,解得t=-或t=1,
由题意知t>0,所以实数t的所有可能取值的和为1.
9.答案　
解析　由0所以sin=sin=cos===.
10.答案　1
解析　
=
=,
因为1-2cos 10°sin 10°=cos210°-2cos 10°·sin 10°+sin210°=(cos 10°-sin 10°)2,1-cos210°=sin210°,且cos 10°>sin 10°>0,
所以原式==1.
11.答案　
解析　由α∈,sin α=,得cos α==,所以sin-cos(π-α)=cos α-(-cos α)=2cos α=.
12.证明　左边=
=-=
=
=
==右边,故原等式成立.
方法总结
　　证明三角恒等式,实质上是通过变形、转化消去等式两边的差异,来促成统一的过程,在证明过程中常用的技巧:(1)“1”的代换;(2)弦切互化;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式等).
13.C　易得(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2×=.
因为α为第一象限角,所以sin α>0,cos α>0,
故sin α+cos α=.
B　等式sin θ+cos θ=的两边平方可得1+2sin θcos θ=,可得
sin θcos θ=-,
所以tan θ+=+===-.
方法总结
sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三个式子中,已知其中一个可以求出其他两个,即“知一求二”.它们的关系是(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=
(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
15.ABD　由sin α-cos α=的两边平方得(sin α-cos α)2
=1-2sin αcos α=,
即2sin αcos α=,则sin αcos α=,故A正确;
因为0<α<π,sin αcos α=>0,所以sin α>0,cos α>0,
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,
所以sin α+cos α=,故B正确;
cos4α+sin4α=-2sin2αcos2α=1-2×=,故C错误,D正确.
16.C　由sin θ-cos θ=的两边平方,得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-,
故(sin θ+cos θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因为θ∈,所以
|cos θ|>|sin θ|且sin θ>0,cos θ<0,
所以sin θ+cos θ=-,
所以sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=-×1-=-.
17.D　由题意可得tan θ=,则===-.
18.D　因为=-1,所以tan α=.
sin2α+sin αcos α+2
=
=(分子分母同时除以cos2α),
将tan α=代入,得原式==.
19.答案　1
解析　因为tan α=2,
所以====1.
20.解析　f(α)=
==-tan α.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),则tan α=-,
所以f(α)=-tan α=.
(2)若f(α)=2,即-tan α=2,则tan α=-2,
所以===3;
4sin2α-3sin αcos α=
===.
能力提升练
1.C 2.BD 3.A 4.C 8.D 9.CD
1.C　因为sin α+cos α=x,所以(sin α+cos α)2=x2,
即1+2sin αcos α=x2,所以sin αcos α=.
sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 2α)
==-,
所以-=a3x3+a2x2+a1x+a0,
所以a0=0,a1=,a2=0,a3=-,
则a0+a1+a2+a3=1.
2.BD　对于A,由sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,得
又sin αcos α==-,
即-=-,故m=,
此时Δ=1+12m>0,符合题意,因此m=,A错误;
对于B,由α∈(0,π),sin αcos α<0,得sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α=
=
==,B正确;
对于C,由上述分析可解得则tan α===-,C错误;
对于D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,D正确.
3.A　由0°<α<90°,可得33°<α+33°<123°,
又cos(33°+α)=,所以sin(33°+α)==,
又sin(57°-α)=sin[90°-(33°+α)]=cos(33°+α),
cos(147°-α)=cos[180°-(33°+α)]=-cos(33°+α),
所以tan(33°+α)sin(57°-α)-cos(147°-α)=·cos(33°+α)+cos(33°+α)=sin(33°+α)+cos(33°+α)=+=.
4.C　设大正方形的边长为a,则直角三角形的较短与较长的直角边长分别为asin α,acos α,
因为α是直角三角形较小的锐角,所以0<α<,
可得S1=a2,S2=S1-4×a2sin αcos α=a2-2a2sin αcos α,
则===25,
即==25,
解得tan α=或tan α=(舍去),
所以===.
5.答案　44.5
解析　设S=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°,①
因为sin 21°=cos 289°,sin 22°=cos 288°,sin 23°=cos 287°,……,sin 289°=cos 21°,
所以S=cos 289°+cos 288°+cos 287°+…+cos 21°,②
①+②,得2S=1×89,所以S=44.5.
6.答案　;-
解析　由f(x)=0,得sin=,
∵α,β是函数f(x)在上的两个零点,
∴α,β是方程sin=的两个根,
则sin2α+=sin=,
故=,∴α+β=.
∵0<β<,即0<-α<且2α<,∴-<α<,
∴-<2α+<,故cos>0,
∴cos==,
故sin(α-β)=sin=sin=-cos=-.
7.解析　∵|m-n|=,∴(m-n)2=5+3sin α,
又m-n=(2cos α+1,-2sin α),
∴(2cos α+1)2+4sin2α=5+3sin α,
即4cos2α+4cos α+1+4sin2α=5+3sin α,可得tan α=.
(1)=
=,
因为tan α=,所以原式==-.
(2)由及角α为第三象限角,
可得sin α=-,cos α=-,
所以原式==.
8.D　+
=+
=+,
因为π<α<,所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,
故原式=--=-.
9.CD　∵tan2x-2tan2y-1=0,∴-2·-1=0,
∴sin2xcos2y-2sin2ycos2x=cos2ycos2x,
∴(1-cos2x)(1-sin2y)-sin2ycos2x=(cos2y+sin2y)cos2x,
即1-cos2x-sin2y+sin2ycos2x-sin2ycos2x=cos2x,
∴sin2y=1-2cos2x=2sin2x-1,故C,D正确.
10.证明　左边=
=
=
=
===右边,
所以原等式成立.
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