第四章　三角恒等变换 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
题组一　对两角和与差的余弦公式的理解
1.下列结论中正确的是(　　)
A.对任意角α,β,有cos(α-β)=cos α-cos β
B.对任意角α,β,有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.存在角α,β,使cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立
D.不存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β成立　　 　　　　
2.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值可能是(　　)
A.α=β=90°　　B.α=130°,β=40°
C.α=18°,β=72°　　D.α=140°,β=40°
3.(2025江西赣州期末)cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α等于(　　)
A.sin(2α-β)　　B.cos(2α-β)　　
C.cos β　　D.-cos β
题组二　给角求值问题
4.(2025辽宁沈阳第二中学月考)cos 255°的值是(　　)
A.　　B.
C.　　D.-
5.(2025湖北黄冈黄梅月考)cos 87°sin 33°+sin 87°sin 57°=(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.
6.(2025江苏连云港东海期中)的值为　　　　.
7.(1)求sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值;
(2)求cos 15°+sin 15°的值.
题组三　给值求值问题
8.(2025江苏淮安涟水一中月考)已知α∈,cos α=,则cos的值为(　　)
A.　　B.
C.-　　D.或-
9.(2025湖北部分高中期中联考)已知0<β<α<,sin(α-β)=,sin β=,则cos α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(2024江西南昌外国语学校月考)已知cos=,cos=,α,β∈,则cos(α+β)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　)
A.　　B.　　
C.或　　D.-
12.(2025四川内江第一中学月考)已知sin=,<α<,则cos α的值为(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
13.(多选题)(2025湖北宜昌第一中学等四校联考)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则(　　)
A.sin αsin β=　　B.cos(α-β)=
C.tan αtan β=　　D.cos(α-β)=
题组四　给值求角问题
14.若cos αcos β=-sin αsin β,且α∈,β∈,则α-β等于(　　)
A.-　　B.-　　
C.　　D.
15.(2024江西南昌第二中学月考)已知α,β都是锐角,且cos α=,cos β=,则α+β=(　　)
A.　　B.　　
C.或　　D.或
16.(2024吉林长春东北师大附中模拟)已知cos 2α=-,sin(α+β)=-,α∈,β∈,则α-β=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.或
17.(2024江苏南京六校联合体期中)已知cos α=,α∈.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β.
答案与分层梯度式解析
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 8.C 9.C 10.D
11.A 12.B 13.ACD 14.A 15.B 16.B
1.C　A,B显然不正确;当α=0时,有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立,故C正确;当α=,β=-时,cos(α+β)=cos α+cos β成立,故D不正确.
2.B　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有B选项符合.
3.C　cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos β.
4.C　cos 255°=cos(180°+75°)=-cos 75°=-cos(30°+45°)
=-(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°)
=-=-=.
D　cos 87°sin 33°+sin 87°sin 57°=cos 87°sin(90°-57°)+
sin 87°sin 57°=cos 87°cos 57°+sin 87°sin 57°=cos(87°-57°)
=cos 30°=.
6.答案　1
解析　=
==
==1.
7.解析　(1)原式=sin(270°-25°)·sin(90°+35°)+sin(180°-25°)·sin 35°=-cos 25°·cos 35°+sin 25°·sin 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.
(2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.
8.C　由α∈,cos α=,
可得sin α==,
故cos=cos αcos -sin αsin =×-×=-.
9.C　因为0<β<α<,所以0<α-β<,
又因为sin(α-β)=,sin β=,所以cos(α-β)==,cos β==,
所以cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)·sin β=×-×=.
10.D　∵α,β∈,∴α+∈,β-∈,∴sin>0,sin<0,
∴sin==,
sin=-=-,
∴cos(α+β)=cos
=coscos-sinsin
=×-×=.
11.A　因为A,B,C为△ABC的内角,
所以A,B,C∈(0,π).
因为cos B=,所以sin B==,则sin A因为sin A=,所以cos A==,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=sin Asin B-cos Acos B=×-×=.
12.B　因为<α<,所以<α+<π,
又因为sin=,
所以cos=-=-,
所以cos α=cos-=coscos +sinsin =-×+×=-.
ACD　由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,
得sin αsin β=,故A正确;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,故B错误,D正确;
tan αtan β===,故C正确.
14.A　因为cos αcos β=-sin αsin β,所以cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=,
又α∈,β∈,所以α-β∈(-π,0),
所以α-β=-.
15.B　由题意得sin α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,又α+β∈(0,π),∴α+β=.
16.B　因为α∈,β∈,
所以2α∈[0,π],α+β∈,α-β∈[0,π],
所以sin 2α===,
cos(α+β)===,
故cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+
sin 2αsin(α+β)=×+×=-,
又因为α-β∈[0,π],所以α-β=.
17.解析　(1)由题意可得sin α=-,
∴cos=cos αcos +sin αsin =×+×=.
(2)由α∈,β∈,可得α+β∈,
∴cos(α+β)==,
则cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·
sin α=×+×=,
∵β∈,∴β=.
方法总结
　　利用两角和与差的余弦公式解决“给值求值”“给值求角”问题的具体策略:
(1)当已知三角函数值的角有两个时,所求角一般表示为这两个角的和或差的形式;
(2)当已知三角函数值的角只有一个时,应着眼于所求角与该角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角转化为已知角.
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